Ext ist ein Bifunktor der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Funktorialitat 3 Ext als Ableitung des Hom Funktors 4 Zusammenhang zwischen Ext und Ext1 5 Lange exakte Sequenz 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei A displaystyle mathcal A nbsp eine abelsche Kategorie zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist Zu zwei Objekten X displaystyle X nbsp und Z displaystyle Z nbsp aus A displaystyle mathcal A nbsp sei E displaystyle mathcal E nbsp die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp Auf E displaystyle mathcal E nbsp wird nun eine Aquivalenzrelation definiert Zwei exakte Sequenzen 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp und 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp sind aquivalent wenn es einen Morphismus g Y Y displaystyle g colon Y to Y nbsp gibt so dass das Diagramm 0 X Y Z 0 id g id 0 X Y Z 0 displaystyle begin matrix 0 amp to amp X amp to amp Y amp to amp Z amp to amp 0 amp amp downarrow operatorname id amp amp downarrow g amp amp downarrow operatorname id 0 amp to amp X amp to amp Y amp to amp Z amp to amp 0 end matrix nbsp kommutiert Dabei ist id displaystyle operatorname id nbsp der identische Morphismus Aus dem Funferlemma folgt sofort dass wenn es solch einen Morphismus g displaystyle g nbsp gibt dieser ein Isomorphismus sein muss Die Klasse E displaystyle mathcal E nbsp modulo dieser Aquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit E x t Z X displaystyle mathrm Ext Z X nbsp bezeichnet Auf dieser Menge lasst sich eine Gruppenstruktur definieren 1 2 Funktorialitat BearbeitenMorphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext Gruppen so dass E x t displaystyle mathrm Ext nbsp zu einem zweistelligen Funktor wird Zu g X X displaystyle g colon X to X nbsp und der Sequenz 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp kann man den Push out bilden 0 X Y Z 0 g 0 X Y displaystyle begin matrix 0 amp to amp X amp to amp Y amp to amp Z amp to amp 0 amp amp downarrow g amp amp downarrow amp amp 0 amp to amp X amp to amp Y end matrix nbsp Wegen der universellen Eigenschaft des Push outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y nach Z so dass das folgende Diagramm kommutiert 0 X Y Z 0 g id 0 X Y Z 0 displaystyle begin matrix 0 amp to amp X amp to amp Y amp to amp Z amp to amp 0 amp amp downarrow g amp amp downarrow amp amp downarrow operatorname id 0 amp to amp X amp to amp Y amp to amp Z amp to amp 0 end matrix nbsp Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Aquivalenzklasse somit ein Element in E x t Z X displaystyle mathrm Ext Z X nbsp Bildet man die Aquivalenzklasse von 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp auf die Aquivalenzklasse von 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp ab so erhalt man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus E x t Z X E x t Z X displaystyle mathrm Ext Z X rightarrow mathrm Ext Z X nbsp Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z nach Z Zu g Z Z displaystyle g colon Z to Z nbsp und der Sequenz 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp kann man folgenden Pull back bilden Y Z 0 g 0 X Y Z 0 displaystyle begin matrix amp amp amp amp Y amp to amp Z amp to amp 0 amp amp amp amp downarrow amp amp downarrow g 0 amp to amp X amp to amp Y amp to amp Z amp to amp 0 end matrix nbsp Wegen der universellen Eigenschaft des Pull backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y so dass das folgende Diagramm kommutiert 0 X Y Z 0 id g 0 X Y Z 0 displaystyle begin matrix 0 amp to amp X amp to amp Y amp to amp Z amp to amp 0 amp amp downarrow operatorname id amp amp downarrow amp amp downarrow g 0 amp to amp X amp to amp Y amp to amp Z amp to amp 0 end matrix nbsp Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in E x t Z X displaystyle mathrm Ext Z X nbsp Bildet man die Aquivalenzklasse von 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp auf die Aquivalenzklasse von 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp ab so erhalt man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus E x t Z X E x t Z X displaystyle mathrm Ext Z X rightarrow mathrm Ext Z X nbsp Ext als Ableitung des Hom Funktors BearbeitenEine andere Moglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom Funktors identifiziert werden Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten d h jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes den kontravarianten Funktor H o m X displaystyle mathrm Hom X nbsp und definiert E x t n Z X R n H o m X Z displaystyle mathrm Ext n Z X R n mathrm Hom X Z nbsp das heisst man bildet die n displaystyle n nbsp te Rechtsableitung von H o m X displaystyle mathrm Hom X nbsp und wendet den so entstandenen Funktor auf Z displaystyle Z nbsp an Etwas konkreter bedeutet das folgendes Es sei n 1 displaystyle n geq 1 nbsp und P n P n 1 Z 0 l n k n K n displaystyle begin array ccccc ldots rightarrow amp P n amp rightarrow amp P n 1 amp rightarrow ldots rightarrow Z rightarrow 0 amp lambda n downarrow amp nearrow kappa n amp K n end array nbsp eine projektive Auflosung von Z displaystyle Z nbsp mit einem Epimorphismus l n P n K n displaystyle lambda n P n rightarrow K n nbsp und einem Monomorphismus k n K n P n 1 displaystyle kappa n K n rightarrow P n 1 nbsp so dass P n P n 1 k n l n displaystyle P n rightarrow P n 1 kappa n circ lambda n nbsp Weiter sei k n H o m k n X displaystyle kappa n mathrm Hom kappa n X nbsp der induzierte Homomorphismus k n H o m P n 1 X H o m K n X f f k n displaystyle kappa n mathrm Hom P n 1 X rightarrow mathrm Hom K n X f mapsto f circ kappa n nbsp Dann ist E x t n Z X c o k e r k n H o m K n X k n H o m P n 1 X displaystyle mathrm Ext n Z X cong mathrm coker kappa n mathrm Hom K n X kappa n mathrm Hom P n 1 X nbsp Die Elemente aus E x t n Z X displaystyle mathrm Ext n Z X nbsp sind also gewisse Aquivalenzklassen von Elementen aus H o m K n X displaystyle mathrm Hom K n X nbsp 3 Schliesslich sei darauf hingewiesen dass man die Rollen von X displaystyle X nbsp und Z displaystyle Z nbsp auch vertauschen kann man erhalt E x t n Z X R n H o m Z X displaystyle mathrm Ext n Z X cong R n mathrm Hom Z X nbsp Zusammenhang zwischen Ext und Ext1 BearbeitenIn diesem Abschnitt soll erlautert werden wie die oben definierten Konstrukte E x t displaystyle mathrm Ext nbsp und E x t 1 displaystyle mathrm Ext 1 nbsp zusammenhangen Wir konstruieren eine Abbildung E x t Z X E x t 1 Z X displaystyle mathrm Ext Z X rightarrow mathrm Ext 1 Z X nbsp Sei 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz die ein Element aus E x t Z X displaystyle mathrm Ext Z X nbsp definiert Weiter sei 0 K P Z 0 displaystyle 0 rightarrow K rightarrow P rightarrow Z rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz mit projektivem P displaystyle P nbsp Mittels der Projektivitat von P displaystyle P nbsp kann man ein kommutatives Diagramm 0 K P Z 0 ps f 0 X Y Z 0 displaystyle begin array ccccccc 0 rightarrow amp K amp rightarrow amp P amp rightarrow amp Z amp rightarrow 0 amp downarrow psi amp amp downarrow varphi amp amp Vert 0 rightarrow amp X amp rightarrow amp Y amp rightarrow amp Z amp rightarrow 0 end array nbsp konstruieren Dann ist ps H o m K X displaystyle psi in mathrm Hom K X nbsp ein Homomorphismus dessen Aquivalenzklasse nach obiger Darstellung von E x t n Z X displaystyle mathrm Ext n Z X nbsp ein Element aus E x t 1 Z X displaystyle mathrm Ext 1 Z X nbsp definiert Bildet man die Aquivalenzklasse von 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp in E x t Z X displaystyle mathrm Ext Z X nbsp auf die Aquivalenzklasse von ps displaystyle psi nbsp in E x t 1 Z X displaystyle mathrm Ext 1 Z X nbsp ab so erhalt man eine wohldefinierte Abbildung E x t Z X E x t 1 Z X displaystyle mathrm Ext Z X rightarrow mathrm Ext 1 Z X nbsp von der man zeigen kann dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt 4 Daher kann man E x t displaystyle mathrm Ext nbsp mit E x t 1 displaystyle mathrm Ext 1 nbsp identifizieren das heisst E x t displaystyle mathrm Ext nbsp kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des H o m displaystyle mathrm Hom nbsp Funktors definiert werden Lange exakte Sequenz BearbeitenDer Hom Funktor ist linksexakt das heisst fur eine kurze exakte Sequenz 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp und ein weiteres Objekt Modul A displaystyle A nbsp hat man eine exakte Sequenz 0 H o m A X H o m A Y H o m A Z displaystyle 0 rightarrow mathrm Hom A X rightarrow mathrm Hom A Y rightarrow mathrm Hom A Z nbsp und diese lasst sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0 te Ableitung des Hom Funktors mit Hom uberein das heisst wenn man obige Definition von E x t n displaystyle mathrm Ext n nbsp auf n 0 displaystyle n 0 nbsp ausdehnt so hat man E x t 0 H o m displaystyle mathrm Ext 0 mathrm Hom nbsp Die lange exakte Sequenz fur abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz 0 H o m A X H o m A Y H o m A Z displaystyle 0 rightarrow mathrm Hom A X rightarrow mathrm Hom A Y rightarrow mathrm Hom A Z nbsp E x t 1 A X E x t 1 A Y E x t 1 A Z E x t 2 A X displaystyle rightarrow mathrm Ext 1 A X rightarrow mathrm Ext 1 A Y rightarrow mathrm Ext 1 A Z rightarrow mathrm Ext 2 A X rightarrow ldots nbsp dd Analog erhalt man eine lange exakte Sequenz 0 H o m Z A H o m Y A H o m X A displaystyle 0 rightarrow mathrm Hom Z A rightarrow mathrm Hom Y A rightarrow mathrm Hom X A nbsp E x t 1 Z A E x t 1 Y A E x t 1 X A E x t 2 Z A displaystyle rightarrow mathrm Ext 1 Z A rightarrow mathrm Ext 1 Y A rightarrow mathrm Ext 1 X A rightarrow mathrm Ext 2 Z A rightarrow ldots nbsp dd In diesem Sinne schliessen die Ext Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom Funktors entstandene Lucke 5 Einzelnachweise Bearbeiten Sergei I Gelfand amp Yuri Ivanovich Manin Homological Algebra Springer Berlin 1999 ISBN 978 3 540 65378 3 Charles A Weibel An introduction to homological algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38 Cambridge University Press 1999 ISBN 978 0 521 55987 4 Peter Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 2005 ISBN 0 8218 3872 5 Satz 3 13 Peter Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 2005 ISBN 0 8218 3872 5 Theorem 4 5 Saunders Mac Lane Homology Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 1967 Kap III Theorem 3 4 und Theorem 9 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ext Mathematik amp oldid 203021862
