Additiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie Es handelt sich dabei um Funktoren zwischen praadditiven Kategorien die Gruppenhomomorphismen zwischen den Morphismengruppen definieren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Charakterisierung 3 Beispiele 4 Eigenschaften 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs seien C displaystyle mathfrak C nbsp und D displaystyle mathfrak D nbsp praadditive Kategorien Ein Funktor F C D displaystyle F mathfrak C rightarrow mathfrak D nbsp heisst additiv falls die Abbildungen M o r C X Y M o r D F X F Y f F f displaystyle mathrm Mor mathfrak C X Y rightarrow mathrm Mor mathfrak D FX FY f mapsto Ff nbsp fur je zwei Objekte X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp aus C displaystyle mathfrak C nbsp Gruppenhomomorphismen sind Haufig betrachtet man additive Funktoren auf additiven oder abelschen Kategorien da diese auf solchen Kategorien weitere Eigenschaften haben Die meisten naturlich auftretenden Funktoren zwischen praadditiven Kategorien sind additiv Charakterisierung BearbeitenFur Funktoren zwischen abelschen Kategorien hat man folgende Charakterisierung 1 Ein Funktor F A B displaystyle F mathfrak A rightarrow mathfrak B nbsp ist genau dann additiv wenn F A 1 A 2 F A 1 F A 2 displaystyle F A 1 oplus A 2 F A 1 oplus F A 2 nbsp fur alle Objekte A 1 A 2 displaystyle A 1 A 2 nbsp aus A displaystyle mathfrak A nbsp wobei die Gleichheit folgendes bedeuten soll Ist i j A j A 1 A 2 j 1 2 displaystyle iota j A j rightarrow A 1 oplus A 2 j 1 2 nbsp eine direkte Summe so auch F i j F A j F A 1 A 2 j 1 2 displaystyle F iota j FA j rightarrow F A 1 oplus A 2 j 1 2 nbsp Beispiele BearbeitenDie Hom Funktoren H o m R A displaystyle mathrm Hom R A nbsp von der Kategorie M R displaystyle mathfrak M R nbsp der R displaystyle R nbsp Moduln uber einem Ring R displaystyle R nbsp in die Kategorie A b displaystyle mathfrak Ab nbsp der abelschen Gruppen A displaystyle A nbsp ein fester R displaystyle R nbsp Modul ist additiv Das Gleiche gilt fur die Funktoren H o m R A M R A b displaystyle mathrm Hom R A mathfrak M R rightarrow mathfrak Ab nbsp Die Tensorfunktoren A R M R A b displaystyle A otimes R mathfrak M R rightarrow mathfrak Ab nbsp sind additiv ebenso R A M R A b displaystyle otimes R A mathfrak M R rightarrow mathfrak Ab nbsp Halbexakte Funktoren sind additiv 2 Der Funktor F M R M R displaystyle F mathfrak M R rightarrow mathfrak M R nbsp mit F A A R displaystyle FA A oplus R nbsp fur jeden Modul A displaystyle A nbsp und F f f i d R displaystyle Ff f oplus mathrm id R nbsp fur jeden Morphismus f displaystyle f nbsp ist nicht additiv Eigenschaften BearbeitenAdditive Funktoren zwischen abelschen Kategorien haben folgende Eigenschaften Additive Funktoren uberfuhren Nullobjekte in Nullobjekte 3 Additive Funktoren uberfuhren endliche direkte Summen in direkte Summen 4 Ist 0 A A A 0 displaystyle 0 rightarrow A rightarrow A rightarrow A rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz und F displaystyle F nbsp ein additiver Funktor so hat man eine lange exakte Sequenz L n F A L n F A L n F A L 0 F A L 0 F A L 0 F A 0 displaystyle ldots rightarrow L n FA rightarrow L n FA rightarrow L n FA rightarrow ldots rightarrow L 0 FA rightarrow L 0 FA rightarrow L 0 FA rightarrow 0 nbsp wobei L n displaystyle L n nbsp fur die n displaystyle n nbsp te Linksableitung stehe 5 Insbesondere ist die 0 te Linksableitung eines additiven Funktors rechtsexakt Ist F r F s F displaystyle F xrightarrow rho F xrightarrow sigma F nbsp eine Folge additiver Funktoren und naturlicher Transformationen r displaystyle rho nbsp und s displaystyle sigma nbsp und ist fur jeden projektiven Modul P displaystyle P nbsp die Sequenz0 F P r P F P s P F P 0 displaystyle 0 rightarrow FP xrightarrow rho P F P xrightarrow sigma P F P rightarrow 0 nbsp exakt so hat man fur beliebige Moduln A displaystyle A nbsp eine lange exakte Sequenz 6 L n F A L n F A L n F A L 0 F A L 0 F A L 0 F A 0 displaystyle ldots rightarrow L n FA rightarrow L n F A rightarrow L n F A rightarrow ldots rightarrow L 0 FA rightarrow L 0 F A rightarrow L 0 F A rightarrow 0 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Peter Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 2005 ISBN 0 8218 3872 5 Satz 3 1 Peter Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 2005 ISBN 0 8218 3872 5 Satz 3 2 Gotz Brunner Homologische Algebra B I Wissenschaftsverlag 1973 ISBN 3 411 014420 2 Kapitel III Satz 23 Gotz Brunner Homologische Algebra B I Wissenschaftsverlag 1973 ISBN 3 411 014420 2 Kapitel III Satz 24 Peter Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 2005 ISBN 0 8218 3872 5 Theorem 3 6 Peter Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 2005 ISBN 0 8218 3872 5 Theorem 3 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Additiver Funktor amp oldid 132273311
