www.wikidata.de-de.nina.az

Bloch Funktion Die oder Bloch Welle nach Felix Bloch ist eine allgemeine Form für die Lösung der stationären Schrödinger

Bloch-Funktion

Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist eine allgemeine Form für die Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem periodischen Potential, z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper (Bloch-Elektron).

Darstellung einer Isofläche des Betragsquadrates einer Blochwellenfunktion in Silizium

Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt, welches ein Spezialfall des Floquet-Theorems ist:

Satz: Es sei ein periodisches Potential mit der Periodizität gegeben:

Dann existiert eine Basis von Lösungen der stationären Schrödingergleichung der Form

mit

Die Periodizität des Potentials überträgt sich also auf und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens im Potential. Für ein Elektron in so einem Energieeigenzustand ist daher die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in jeder Elementarzelle gleich groß und zeigt den gleichen räumlichen Verlauf. In einem kristallinen Festkörper ist die Periodizität gegeben durch das Kristallgitter, ist ein Gittervektor. Ist das Potential zeitunabhängig, kann als reell angesetzt werden.

Aussagen Bearbeiten

Nach dem Bloch-Theorem sind die Einteilchen-Energieeigenzustände über einen Wellenvektor parametrisiert, wobei dessen Komponenten alle reellen Zahlen durchlaufen können. Für eine vollständige Parametrisierung genügen schon die Wellenvektoren der ersten Brillouin-Zone ( etc.). Denn eine Blochfunktion bleibt unverändert, wenn durch , mit einem beliebigen Vektor des reziproken Gitters, ersetzt wird und gleichzeitig die Funktion durch . Es gilt , denn per Definition ist , und damit ist auch die Funktion periodisch wie . Das ermöglicht bei der Beschreibung von Wellenfunktionen und Gitter-Energien, vom erweiterten Zonenschema zum reduzierten Zonenschema überzugehen.

Zur Beschreibung aller Einteilchen-Wellenfunktionen des Kristalls , insbesondere der gitterperiodischen Funktion , im reduzierten Zonenschema werden die Beiträge des gesamten reziproken Gitters, d. h., aller äquivalenten reziproken Gittervektoren benötigt, sodass hier ein weiterer Index n eingeführt werden muss. Dieser vermittelt gerade über den reziproken Gittervektor den Beitrag der n-ten Brillouin-Zone zum Energiespektrum und zur Wellenfunktion .

Da aber diskret ist, bildet sich für jedes ein diskretes Energiespektrum aus , das sich aber als Funktion von innerhalb der ersten Brillouin-Zone kontinuierlich verändert. Das quasi-kontinuierliche, aber diskrete Energiespektrum kann dadurch über n diskrete Energiebänder dargestellt werden:

bzw.

bzw.

Das ist die Grundlage der in der Festkörperphysik verbreiteten Darstellung der Bandstruktur im Bändermodell.

Wellenvektor und n, genannt Bandindex, sind daher geeignete Indizes zur Bezeichnung der Einteilchen-Energieeigenzustände und Einteilchen-Wellenfunktion des Gitters. Der Wellenvektor wird auch als Quasiimpuls oder Kristallimpuls bezeichnet. Der Name ist damit begründet, dass im Falle einer schwach veränderlichen Funktion der Impuls des Teilchens näherungsweise durch gegeben ist, so dass der Kristallimpuls noch näherungsweise die Eigenschaften des Impulses hat, z. B. bei der Impulserhaltung bei Stößen oder Emission und Absorption von Photonen. Wenn , gilt das exakt.

Vereinfachte Herleitung Bearbeiten

Da das Potential invariant gegenüber einer Translation um einen Vektor ist (in einem Kristall ist ein Gittervektor), ist es auch der Hamiltonoperator des Teilchens. Eine Eigenfunktion, die um die Strecke verschoben wird, ist daher sicher wieder eine Eigenfunktion zur selben Energie. Wenn keine Entartung vorliegt, beschreibt sie denselben Zustand wie vor der Translation, kann sich von der unverschobenen Funktion also nur um einen festen Phasenfaktor unterscheiden.

Bei n-fach wiederholter Ausführung der Translation multiplizieren sich die Phasenfaktoren (), während sich die Strecken addieren ().

Da aber die Teilchendichte erhalten bleiben soll:

muss allgemein gegeben sein durch

mit einem geeigneten festen Vektor . Für eine aus gebildete Funktion folgt dann einfache Periodizität . Also ist

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Felix Bloch: Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern. In: Zeitschrift für Physik A. 52, 1929, S. 555–600, doi:10.1007/BF01339455.
  • Hartmut Haug, Stephan Koch: Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors. Fourth Edition. World Scientific, Singapore / River Edge / London, S. 29 ff.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1&2. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1999.
  • Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. 14. Auflage. Oldenbourg-Verlag, München 2006, S. 187 f.
  • Harald Ibach, Hans Lüth: Festkörperphysik. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1999, S. 160 ff.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Bloch Funktion oder Bloch Welle nach Felix Bloch ist eine allgemeine Form fur die Losung der stationaren Schrodingergleichung fur ein Teilchen in einem periodischen Potential z B die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkorper Bloch Elektron Darstellung einer Isoflache des Betragsquadrates einer Blochwellenfunktion in SiliziumDie Form dieser Wellenfunktionen ps displaystyle psi wird durch das Bloch Theorem festgelegt welches ein Spezialfall des Floquet Theorems ist Satz Es sei ein periodisches Potential V r displaystyle V vec r mit der Periodizitat R displaystyle vec R gegeben V r V r R displaystyle V vec r V vec r vec R Dann existiert eine Basis von Losungen der stationaren Schrodingergleichung der Form ps k r e i k r u k r displaystyle psi vec k vec r e mathrm i vec k cdot vec r cdot u vec k vec r mit der Eulerschen Zahl e displaystyle e der imaginaren Einheit i displaystyle mathrm i einem beliebigen Vektor k displaystyle vec k einer vom Parameter k displaystyle vec k abhangigen periodischen Funktion u k r displaystyle u vec k vec r mit Periode R displaystyle vec R u k r u k r R displaystyle u vec k vec r u vec k vec r vec R Die Periodizitat des Potentials V r displaystyle V vec r ubertragt sich also auf u k r displaystyle u k vec r und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ps r 2 ps r R 2 displaystyle psi vec r 2 psi vec r vec R 2 des betrachteten Teilchens im Potential Fur ein Elektron in so einem Energieeigenzustand ist daher die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in jeder Elementarzelle gleich gross und zeigt den gleichen raumlichen Verlauf In einem kristallinen Festkorper ist die Periodizitat gegeben durch das Kristallgitter R displaystyle vec R ist ein Gittervektor Ist das Potential zeitunabhangig kann u k r displaystyle u k vec r als reell angesetzt werden Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 2 Vereinfachte Herleitung 3 Siehe auch 4 LiteraturAussagen BearbeitenNach dem Bloch Theorem sind die Einteilchen Energieeigenzustande ps k r displaystyle psi vec k vec r nbsp uber einen Wellenvektor k displaystyle vec k nbsp parametrisiert wobei dessen Komponenten k k x k y k z displaystyle vec k left k x k y k z right nbsp alle reellen Zahlen durchlaufen konnen Fur eine vollstandige Parametrisierung genugen schon die Wellenvektoren k displaystyle vec k nbsp der ersten Brillouin Zone k x p a x displaystyle k x leq pi a x nbsp etc Denn eine Blochfunktion ps r e i k r u k r displaystyle psi vec r e mathrm i vec k cdot vec r cdot u vec k vec r nbsp bleibt unverandert wenn k displaystyle vec k nbsp durch k k G n displaystyle vec k vec k vec G n nbsp mit einem beliebigen Vektor G n i 1 3 n i b i displaystyle vec G n sum i 1 3 n i vec b i nbsp des reziproken Gitters ersetzt wird und gleichzeitig die Funktion u k r displaystyle u vec k vec r nbsp durch u k r e i r G n u k r displaystyle u vec k vec r e mathrm i vec r cdot vec G n u vec k vec r nbsp Es gilt ps r e i k r u k r e i k r u k r displaystyle psi vec r e mathrm i vec k cdot vec r cdot u vec k vec r equiv e mathrm i vec k cdot vec r cdot u vec k vec r nbsp denn per Definition ist e i R G n 1 displaystyle e mathrm i vec R cdot vec G n 1 nbsp und damit ist auch die Funktion u k r displaystyle u vec k vec r nbsp periodisch wie u k r displaystyle u vec k vec r nbsp Das ermoglicht bei der Beschreibung von Wellenfunktionen und Gitter Energien vom erweiterten Zonenschema zum reduzierten Zonenschema uberzugehen Zur Beschreibung aller Einteilchen Wellenfunktionen des Kristalls ps k r displaystyle psi vec k vec r nbsp insbesondere der gitterperiodischen Funktion u k r displaystyle u vec k vec r nbsp im reduzierten Zonenschema werden die Beitrage des gesamten reziproken Gitters d h aller aquivalenten reziproken Gittervektoren G n displaystyle vec G n nbsp benotigt sodass hier ein weiterer Index n eingefuhrt werden muss Dieser vermittelt gerade uber den reziproken Gittervektor G n displaystyle vec G n nbsp den Beitrag der n ten Brillouin Zone zum Energiespektrum E k displaystyle E vec k nbsp und zur Wellenfunktion ps k r displaystyle psi vec k vec r nbsp Da G n displaystyle vec G n nbsp aber diskret ist bildet sich fur jedes k displaystyle vec k nbsp ein diskretes Energiespektrum aus E k k E k G n k G n E n k k G n displaystyle E vec k vec k E vec k vec G n vec k vec G n E n vec k vec k vec G n nbsp das sich aber als Funktion von k displaystyle vec k nbsp innerhalb der ersten Brillouin Zone kontinuierlich verandert Das quasi kontinuierliche aber diskrete Energiespektrum kann dadurch uber n diskrete Energiebander dargestellt werden E k k E n k k G n displaystyle E vec k vec k rightarrow E nk vec k G n nbsp bzw u k r u n k r G n u k r n u n k r G n displaystyle u vec k vec r rightarrow u n vec k vec r G n Rightarrow u vec k vec r sum n u n vec k vec r G n nbsp bzw ps k r e i k r n u n k r G n displaystyle psi vec k vec r e mathrm i vec k cdot vec r cdot sum n u n vec k vec r G n nbsp Das ist die Grundlage der in der Festkorperphysik verbreiteten Darstellung der Bandstruktur im Bandermodell Wellenvektor k displaystyle vec k nbsp und n genannt Bandindex sind daher geeignete Indizes zur Bezeichnung der Einteilchen Energieeigenzustande und Einteilchen Wellenfunktion des Gitters Der Wellenvektor wird auch als Quasiimpuls oder Kristallimpuls bezeichnet Der Name ist damit begrundet dass im Falle einer schwach veranderlichen Funktion u k r c o n s t displaystyle u vec k vec r approx const nbsp der Impuls des Teilchens naherungsweise durch p ℏ k displaystyle langle vec p rangle approx hbar vec k nbsp gegeben ist so dass der Kristallimpuls noch naherungsweise die Eigenschaften des Impulses hat z B bei der Impulserhaltung bei Stossen oder Emission und Absorption von Photonen Wenn u k r c o n s t displaystyle u vec k vec r const nbsp gilt das exakt Vereinfachte Herleitung BearbeitenDa das Potential V r displaystyle V vec r nbsp invariant gegenuber einer Translation um einen Vektor R displaystyle vec R nbsp ist in einem Kristall ist R displaystyle vec R nbsp ein Gittervektor ist es auch der Hamiltonoperator H p 2 2 m V r displaystyle hat H frac hat p 2 2m V vec r nbsp des Teilchens Eine Eigenfunktion die um die Strecke R displaystyle vec R nbsp verschoben wird ist daher sicher wieder eine Eigenfunktion zur selben Energie Wenn keine Entartung vorliegt beschreibt sie denselben Zustand wie vor der Translation kann sich von der unverschobenen Funktion also nur um einen festen Phasenfaktor f displaystyle f nbsp unterscheiden ps r R f ps r displaystyle psi vec r vec R f psi vec r nbsp Bei n fach wiederholter Ausfuhrung der Translation multiplizieren sich die Phasenfaktoren f n displaystyle f n nbsp wahrend sich die Strecken addieren n R displaystyle n vec R nbsp Da aber die Teilchendichte erhalten bleiben soll ps r R 2 ps r 2 displaystyle left psi vec r vec R right 2 left psi vec r right 2 nbsp muss f displaystyle f nbsp allgemein gegeben sein durch f R e i k R displaystyle f vec R e mathrm i vec k cdot vec R nbsp mit einem geeigneten festen Vektor k displaystyle vec k nbsp Fur eine aus ps r displaystyle psi vec r nbsp gebildete Funktion u r e i k r ps r displaystyle u vec r e mathrm i vec k cdot vec r psi vec r nbsp folgt dann einfache Periodizitat u r R u r displaystyle u vec r vec R u vec r nbsp Also ist ps r e i k r u r displaystyle psi vec r e mathrm i vec k cdot vec r u vec r nbsp Siehe auch BearbeitenModell der quasifreien ElektronenLiteratur BearbeitenFelix Bloch Uber die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern In Zeitschrift fur Physik A 52 1929 S 555 600 doi 10 1007 BF01339455 Hartmut Haug Stephan Koch Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors Fourth Edition World Scientific Singapore River Edge London S 29 ff Claude Cohen Tannoudji Bernard Diu Franck Laloe Quantenmechanik 1 amp 2 2 Auflage Walter de Gruyter Berlin New York 1999 Charles Kittel Einfuhrung in die Festkorperphysik 14 Auflage Oldenbourg Verlag Munchen 2006 S 187 f Harald Ibach Hans Luth Festkorperphysik 5 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1999 S 160 ff Normdaten Sachbegriff GND 4436775 2 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bloch Funktion amp oldid 240412819