Als Bessel Funktionen bezeichnet man Funktionen welche Losungen der besselschen Differentialgleichung sind die eine lineare gewohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung ist Benannt sind die Funktionen und die Gleichung nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel Die Bessel Funktionen werden auch Zylinderfunktionen genannt Inhaltsverzeichnis 1 Besselsche Differentialgleichung 2 Bessel Funktionen 2 1 Allgemein 2 2 Bessel Funktionen erster Gattung Jn 2 2 1 Integraldarstellungen 2 2 2 Hypergeometrische Funktion 2 3 Bessel Funktionen zweiter Gattung Yn 2 4 Bessel Funktionen dritter Gattung Hn 1 Hn 2 2 5 Eigenschaften 2 5 1 Beziehungen von Ordnungen einer Gattung 2 5 2 Asymptotisches Verhalten 3 Modifizierte Bessel Funktionen In Kn 3 1 Airysche Integrale 3 2 Hypergeometrische Funktion 3 3 Beziehungen von Ordnungen einer Gattung 3 4 Asymptotisches Verhalten 4 Spharische Besselfunktionen jm ym hm 1 2 4 1 Eigenschaften 5 Hankel Transformation 6 Geschichte 7 Literatur 8 Einzelnachweise 9 WeblinksBesselsche Differentialgleichung BearbeitenDie Besselsche Differentialgleichung ist eine gewohnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung die durch x 2 d 2 f d x 2 x d f d x x 2 n 2 f 0 displaystyle x 2 frac mathrm d 2 f mathrm d x 2 x frac mathrm d f mathrm d x left x 2 nu 2 right f 0 nbsp definiert ist wobei x displaystyle x nbsp und n displaystyle nu nbsp reelle oder komplexe Zahlen sind Die Losungen heissen Bessel Funktionen n displaystyle nu nbsp ter Ordnung Entsprechend ist der Bessel Operator ein Differentialoperator zweiter Ordnung Er ist definiert durch B n x 2 d 2 d x 2 x d d x x 2 n 2 displaystyle B nu x 2 frac mathrm d 2 mathrm d x 2 x frac mathrm d mathrm d x left x 2 nu 2 right nbsp Mit ihm kann man die Besselsche Differentialgleichung kurz ausdrucken durch 1 B n f 0 displaystyle B nu f 0 nbsp Bessel Funktionen BearbeitenAllgemein Bearbeiten nbsp Die Bessel Funktionen erster Gattung J 0 J 1 displaystyle J 0 J 1 nbsp und J 2 displaystyle J 2 nbsp nbsp Die Bessel Funktionen zweiter Gattung Y 0 Y 1 displaystyle Y 0 Y 1 nbsp und Y 2 displaystyle Y 2 nbsp Die Losungen der Besselschen Differentialgleichung heissen Bessel Funktionen Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik da die Besselsche Differentialgleichung den radialen Anteil der Laplace Gleichung bei zylindrischer Symmetrie darstellt Auf die Bessel Funktionen trifft man unter anderem bei der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisformigen Membran oder einer Orgelpfeife der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behaltern der Warmeleitung in Staben der Analyse des Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern den stationaren Zustanden von Kastenpotentialen der Leistungsverteilung in Kernreaktoren der Intensitat von Lichtbeugung an kreisformigen Lochern sowie bei Filtern in der Elektrotechnik Bessel Filter Man zahlt die Bessel Funktionen wegen ihrer vielfaltigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen Als Differentialgleichung zweiter Ableitungsordnung besitzt die Besselsche Differentialgleichung zwei linear unabhangige Losungen Sie lassen sich in verschiedenen Varianten beschreiben Bessel Funktionen erster Gattung Jn Bearbeiten Die Bessel Funktion J n displaystyle J nu nbsp erster Gattung n displaystyle nu nbsp ter Ordnung ist definiert als J n x r 0 1 r x 2 2 r n G n r 1 r displaystyle J nu x sum r 0 infty frac 1 r left frac x 2 right 2r nu Gamma nu r 1 r nbsp wobei G displaystyle Gamma cdot nbsp die Gammafunktion ist Im Ursprung x 0 displaystyle x 0 nbsp sind diese Funktionen fur ganzzahlige n displaystyle nu nbsp endlich Fur nicht ganzzahlige n displaystyle nu nbsp sind J n displaystyle J nu nbsp und J n displaystyle J nu nbsp linear unabhangige Losungen Fur ganzzahlige n displaystyle nu nbsp gilt die Beziehung J n x 1 n J n x J n x displaystyle J nu x 1 nu J nu x J nu x nbsp In diesem Fall ist die zweite unabhangige Losung die Bessel Funktion zweiter Gattung die weiter unten diskutiert wird Integraldarstellungen Bearbeiten Fur ganzzahlige n displaystyle nu nbsp kann man die Bessel Funktion erster Gattung auch als Integral darstellen J n x 1 p 0 p cos n f cos x sin f sin n f sin x sin f d f displaystyle J nu x frac 1 pi int 0 pi cos nu varphi cos bigl x sin varphi bigr sin nu varphi sin bigl x sin varphi bigr mathrm d varphi nbsp Mit dem Additionstheorem der Kosinusfunktion kann dann noch folgende Vereinfachung vorgenommen werden J n x 1 p 0 p cos x sin f n f d f 1 2 p p p e i x sin f n f d f displaystyle begin aligned J nu x amp frac 1 pi int 0 pi cos x sin varphi nu varphi mathrm d varphi amp frac 1 2 pi int pi pi e mathrm i x sin varphi nu varphi mathrm d varphi end aligned nbsp Damit ist J n x displaystyle J nu x nbsp der n displaystyle nu nbsp te Fourier Koeffizient der Funktion f e i x sin f displaystyle varphi mapsto e ix sin varphi nbsp Exemplarisch wird im Folgenden die Bessel Funktion J 0 displaystyle J 0 nbsp dargestellt J 0 x n 0 1 n x 2 n 4 n n 2 0 p 1 p cos x sin y d y 0 1 2 cos x z p 1 z 2 d z displaystyle J 0 x sum n 0 infty frac 1 n x 2n 4 n n 2 int 0 pi frac 1 pi cos bigl x sin y bigr mathrm d y int 0 1 frac 2 cos xz pi sqrt 1 z 2 mathrm d z nbsp Hypergeometrische Funktion Bearbeiten Die Bessel Funktion erster Gattung kann durch die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedruckt werden J n x x 2 n G n 1 0 F 1 n 1 x 2 4 displaystyle J nu x frac x 2 nu Gamma nu 1 0 F 1 nu 1 x 2 4 nbsp Dieser Ausdruck hangt mit der Entwicklung der Bessel Funktion in Abhangigkeit zur Bessel Clifford Funktion zusammen Bessel Funktionen zweiter Gattung Yn Bearbeiten Auch die Bessel Funktionen zweiter Gattung Y n x displaystyle Y nu x nbsp auch Weber Funktionen oder Neumann Funktionen genannt losen die Besselsche Differentialgleichung Eine alternative Bezeichnung ist N n x displaystyle N nu x nbsp Fur nicht ganzzahlige n displaystyle nu nbsp kann man die Y n x displaystyle Y nu x nbsp definieren durch Y n x J n x cos n p J n x sin n p displaystyle Y nu x frac J nu x cos nu pi J nu x sin nu pi nbsp Fur ganzzahlige n displaystyle n nbsp ist die durch den Grenzubergang n n displaystyle nu rightarrow n nbsp gebildete Funktion Y n x lim n n Y n x displaystyle Y n x lim nu to n Y nu x nbsp weiterhin eine Losung der Besselschen Differentialgleichung Wie fur die Bessel Funktionen erster Gattung gilt auch fur die Besselfunktionen zweiter Gattung folgende Beziehung Y n x 1 n Y n x displaystyle Y n x 1 n Y n x nbsp Nach Ausfuhrung des Grenzuberganges mit der Regel von de L Hospital ergibt sich Y n x 1 p d d n J n x n n 1 n d d n J n x n n displaystyle Y n x frac 1 pi left operatorname d over operatorname d nu J nu x Big nu n 1 n operatorname d over operatorname d nu J nu x Big nu n right nbsp Explizit findet man Y n x 2 p g ln x 2 J n x 1 p k 0 n 1 n k 1 k x 2 2 k n 1 p k 0 1 k H k H k n k n k x 2 2 k n displaystyle Y n x frac 2 pi left gamma ln frac x 2 right J n x frac 1 pi sum k 0 n 1 frac n k 1 k left frac x 2 right 2k n frac 1 pi sum k 0 infty 1 k frac H k H k n k n k left frac x 2 right 2k n nbsp fur n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp Hierbei ist g displaystyle gamma nbsp die Euler Mascheroni Konstante und H n displaystyle H n nbsp die n displaystyle n nbsp te harmonische Zahl Die Bessel Funktionen zweiter Gattung haben also bei x 0 displaystyle x 0 nbsp eine logarithmische Singularitat und einen Pol n displaystyle n nbsp ter Ordnung Fur alle n displaystyle nu nbsp ist neben der Bessel Funktion erster Gattung J n displaystyle J nu nbsp die Bessel Funktion zweiter Gattung Y n displaystyle Y nu nbsp eine zweite linear unabhangige Losung Bessel Funktionen dritter Gattung Hn 1 Hn 2 Bearbeiten Die Bessel Funktionen dritter Gattung H n 1 displaystyle H nu 1 nbsp H n 2 displaystyle H nu 2 nbsp auch bekannt als Hankel Funktionen sind Linearkombinationen der Bessel Funktionen erster und zweiter Gattung H n 1 x J n x i Y n x H n 2 x J n x i Y n x displaystyle begin aligned H nu 1 x amp J nu x mathrm i cdot Y nu x H nu 2 x amp J nu x mathrm i cdot Y nu x end aligned nbsp wobei i displaystyle mathrm i nbsp die imaginare Einheit bezeichnet Auch diese beiden Funktionen sind linear unabhangige Losungen der Besselschen Differentialgleichung Eigenschaften Bearbeiten Beziehungen von Ordnungen einer Gattung Bearbeiten Fur die Bessel Funktionen J n displaystyle J nu nbsp Y n displaystyle Y nu nbsp H n 1 displaystyle H nu 1 nbsp und H n 2 displaystyle H nu 2 nbsp gelten die Rekursionsbeziehungen n x W n 1 2 W n 1 W n 1 displaystyle frac nu x Omega nu frac 1 2 Omega nu 1 Omega nu 1 nbsp d d x W n 1 2 W n 1 W n 1 displaystyle frac rm d rm d x Omega nu frac 1 2 Omega nu 1 Omega nu 1 nbsp Fur x R displaystyle x in mathbb R nbsp gilt n J n x 2 1 displaystyle sum n infty infty J n x 2 1 nbsp Fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt 1 x d d x n J 0 x J n x x n displaystyle left frac 1 x frac rm d rm d x right n J 0 x frac J n x x n nbsp Asymptotisches Verhalten Bearbeiten Seien x n R n 0 displaystyle x nu in mathbb R nu geq 0 nbsp dann gelten fur 0 lt x n 1 displaystyle 0 lt x ll sqrt nu 1 nbsp die asymptotischen Darstellungen J n x 1 G n 1 x 2 n Y n x 2 p ln x 2 g wenn n 0 G n p 2 x n wenn n gt 0 displaystyle begin aligned J nu x amp approx frac 1 Gamma nu 1 left frac x 2 right nu Y nu x amp approx begin cases frac 2 pi left ln left frac x 2 right gamma right amp text wenn nu 0 frac Gamma nu pi left frac 2 x right nu amp text wenn nu gt 0 end cases end aligned nbsp Fur grosse Argumente x n 2 1 4 displaystyle x gg nu 2 1 4 nbsp findet man J n x 2 p x cos x n p 2 p 4 Y n x 2 p x sin x n p 2 p 4 displaystyle begin aligned J nu x amp approx sqrt frac 2 pi x cos left x frac nu pi 2 frac pi 4 right Y nu x amp approx sqrt frac 2 pi x sin left x frac nu pi 2 frac pi 4 right end aligned nbsp Diese Formeln sind fur n 1 2 displaystyle nu 1 2 nbsp exakt Vergleiche hierfur mit den spharischen Besselfunktionen weiter unten Modifizierte Bessel Funktionen In Kn Bearbeiten nbsp Die modifizierten Bessel Funktionen erster Gattung fur I 0 I 1 I 2 displaystyle I 0 I 1 I 2 nbsp und I 3 displaystyle I 3 nbsp nbsp Die modifizierten Bessel Funktionen zweiter Gattung fur K 0 K 1 K 2 displaystyle K 0 K 1 K 2 nbsp und K 3 displaystyle K 3 nbsp Die Differentialgleichung x 2 d 2 f d x 2 x d f d x x 2 n 2 f 0 displaystyle x 2 frac mathrm d 2 f mathrm d x 2 x frac mathrm d f mathrm d x x 2 nu 2 f 0 nbsp wird durch Bessel Funktionen mit rein imaginarem Argument gelost Man definiert fur ihre Losung normalerweise die modifizierten Bessel Funktionen I n x i n J n i x r 0 x 2 2 r n G r n 1 r displaystyle I nu x i nu J nu ix sum r 0 infty frac frac x 2 2r nu Gamma r nu 1 r nbsp I n x 1 p 0 p cos n f cosh x sin f sin n f sinh x sin f d f displaystyle I nu x frac 1 pi int 0 pi cos nu varphi cosh bigl x sin varphi bigr sin nu varphi sinh bigl x sin varphi bigr mathrm d varphi nbsp und K n x p 2 I n x I n x sin n p p 2 i n 1 H n 1 i x p 2 i n 1 H n 2 i x displaystyle begin aligned K nu x frac pi 2 frac I nu x I nu x sin nu pi frac pi 2 i nu 1 H nu 1 ix frac pi 2 i nu 1 H nu 2 ix end aligned nbsp Die Funktion K n x displaystyle K nu x nbsp ist auch als MacDonald Funktion bekannt Anders als die normalen Besselfunktionen weisen die modifizierten Besselfunktionen kein oszillierendes sondern ein exponentielles Verhalten auf Exemplarisch wird im Folgenden Bessel Funktionen I 0 displaystyle I 0 nbsp dargestellt I 0 x n 0 x 2 n 4 n n 2 0 p 1 p cosh x sin y d y 0 1 2 cosh x z p 1 z 2 d z displaystyle I 0 x sum n 0 infty frac x 2n 4 n n 2 int 0 pi frac 1 pi cosh bigl x sin y bigr mathrm d y int 0 1 frac 2 cosh xz pi sqrt 1 z 2 mathrm d z nbsp Airysche Integrale Bearbeiten Fur die Funktionen K 1 3 displaystyle K 1 3 nbsp und K 2 3 displaystyle K 2 3 nbsp kann man eine Integraldarstellung angeben K 1 3 x 3 0 cos 3 2 x u u 3 3 d u K 2 3 x 3 0 u sin 3 2 x u u 3 3 d u displaystyle begin aligned K 1 3 x amp sqrt 3 int 0 infty cos left frac 3 2 x left u frac u 3 3 right right mathrm d u K 2 3 x amp sqrt 3 int 0 infty u sin left frac 3 2 x left u frac u 3 3 right right mathrm d u end aligned nbsp Hypergeometrische Funktion Bearbeiten Auch die modifizierte Bessel Funktion erster Gattung kann durch eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedruckt werden I n x x 2 n G n 1 0 F 1 n 1 x 2 4 displaystyle I nu x frac x 2 nu Gamma nu 1 0 F 1 nu 1 x 2 4 nbsp Beziehungen von Ordnungen einer Gattung Bearbeiten Fur die Bessel Funktionen K n displaystyle K nu nbsp und I n displaystyle I nu nbsp gelten die Rekursionsbeziehungen n x K n 1 2 K n 1 K n 1 displaystyle frac nu x K nu frac 1 2 left K nu 1 K nu 1 right nbsp n x I n 1 2 I n 1 I n 1 displaystyle frac nu x I nu frac 1 2 left I nu 1 I nu 1 right nbsp d d x K n 1 2 K n 1 K n 1 displaystyle frac rm d rm d x K nu frac 1 2 K nu 1 K nu 1 nbsp d d x I n 1 2 I n 1 I n 1 displaystyle frac rm d rm d x I nu frac 1 2 I nu 1 I nu 1 nbsp Asymptotisches Verhalten Bearbeiten Wir nehmen wieder an dass n displaystyle nu nbsp reell und nicht negativ ist Fur kleine Argumente 0 lt x n 1 displaystyle 0 lt x ll sqrt nu 1 nbsp findet man I n x 1 G n 1 x 2 n K n x ln x 2 g wenn n 0 G n 2 2 x n wenn n gt 0 displaystyle begin aligned I nu x amp approx frac 1 Gamma nu 1 left frac x 2 right nu K nu x amp approx begin cases left ln left frac x 2 right gamma right amp text wenn nu 0 frac Gamma nu 2 left frac 2 x right nu amp text wenn nu gt 0 end cases end aligned nbsp Fur grosse Argumente x n 2 1 4 displaystyle x gg nu 2 1 4 nbsp erhalt man I n x 1 2 p x e x 1 O 1 x K n x p 2 x e x 1 O 1 x displaystyle begin aligned I nu x amp approx frac 1 sqrt 2 pi x e x left 1 mathcal O left frac 1 x right right K nu x amp approx sqrt frac pi 2x e x left 1 mathcal O left frac 1 x right right end aligned nbsp Spharische Besselfunktionen jm ym hm 1 2 BearbeitenDie Helmholtz Gleichung in Kugelkoordinaten fuhrt nach Separation der Variablen auf die Radialgleichung x 2 d 2 f m x d x 2 2 x d f m x d x x 2 m m 1 f m x 0 displaystyle x 2 frac mathrm d 2 f mu x mathrm d x 2 2x frac mathrm d f mu x mathrm d x x 2 mu mu 1 f mu x 0 nbsp Nach der Substitution f m x 1 x u m x displaystyle f mu x frac 1 sqrt x u mu x nbsp erhalt man die Besselsche Differentialgleichung n m 1 2 displaystyle nu mu 1 2 nbsp x 2 d 2 u m x d x 2 x d u m x d x x 2 m 1 2 2 u m x 0 displaystyle x 2 frac mathrm d 2 u mu x mathrm d x 2 x frac mathrm d u mu x mathrm d x left x 2 left mu frac 1 2 right 2 right u mu x 0 nbsp Fur die Losung f m x displaystyle f mu x nbsp der Radialgleichung werden ublicherweise die spharischen Bessel Funktionen j m x displaystyle j mu x nbsp die spharischen Neumann Funktionen y m x n m x displaystyle y mu x n mu x nbsp und die spharischen Hankel Funktionen h m 1 2 x displaystyle h mu 1 2 x nbsp definiert j m x p 2 x J m 1 2 x y m x p 2 x Y m 1 2 x h m 1 2 x p 2 x H m 1 2 1 2 j m x i y m x displaystyle begin aligned amp j mu x quad sqrt frac pi 2x J mu 1 2 x amp y mu x quad sqrt frac pi 2x Y mu 1 2 x amp h mu 1 2 x sqrt frac pi 2x H mu 1 2 1 2 j mu x pm iy mu x end aligned nbsp Es gelten die alternativen Darstellungen fur m N displaystyle m in mathbb N nbsp j m x x m 1 x d d x m sin x x y m x x m 1 x d d x m cos x x h m 1 2 x i x m 1 x d d x m e i x x displaystyle begin aligned amp j m x quad x m left frac 1 x frac mathrm d mathrm d x right m frac sin x x amp y m x quad x m left frac 1 x frac mathrm d mathrm d x right m frac cos x x amp h m 1 2 x mp i x m left frac 1 x frac mathrm d mathrm d x right m frac e pm ix x end aligned nbsp Die spharischen Bessel und Hankelfunktionen werden beispielsweise fur die Behandlung des kugelsymmetrischen Potentialtopfs in der Quantenmechanik benotigt Eigenschaften Bearbeiten Fur die spharischen Bessel Funktionen j m displaystyle j mu nbsp y m displaystyle y mu nbsp h m 1 displaystyle h mu 1 nbsp und h m 2 displaystyle h mu 2 nbsp gelten die Rekursionsbeziehungen 2 m 1 x w m x w m 1 x w m 1 x 2 m 1 w m x m w m 1 x m 1 w m 1 x d d x x w m x x w m 1 x m w m x displaystyle begin aligned amp frac 2 mu 1 x omega mu x omega mu 1 x omega mu 1 x amp 2 mu 1 omega mu x mu omega mu 1 x mu 1 omega mu 1 x amp frac mathrm d mathrm d x x omega mu x quad x omega mu 1 x mu omega mu x end aligned nbsp Fur die Wronski Determinante giltW j m y m 1 i W j m h m 1 W y m h m 1 1 x 2 displaystyle W j mu y mu frac 1 i W j mu h mu 1 W y mu h mu 1 frac 1 x 2 nbsp Hankel Transformation Bearbeiten Hauptartikel Hankel Transformation Die Hankel Transformation ist eine Integraltransformation die eng mit der Fourier Transformation verwandt ist Der Integralkern der Hankel Transformation ist die Bessel Funktion erster Gattung J n displaystyle J n nbsp das heisst der Integraloperator lautet H n f s 0 J n t s t f t d t displaystyle H n f s int 0 infty J n ts tf t mathrm d t nbsp Eine besondere Eigenschaft der Hankel Transformation ist dass mit ihr der Bessel Operator in einen algebraischen Ausdruck eine Multiplikation uberfuhrt werden kann Geschichte BearbeitenBessel Funktionen wurden von Bessel 1824 ausfuhrlich behandelt 2 tauchten aber auch schon vorher bei speziellen physikalischen Problemen auf zum Beispiel bei Daniel Bernoulli Schwingung schwerer Ketten 1738 Leonhard Euler Membranschwingung 1764 in der Himmelsmechanik bei Joseph Louis Lagrange 1770 und bei Pierre Simon Laplace in der Warmeleitung bei Joseph Fourier Warmeausbreitung im Zylinder 1822 und Simeon Denis Poisson 1823 3 4 Literatur BearbeitenMilton Abramowitz Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions Dover New York 1972 S 355 J H Graf E Gubler Einleitung in die Theorie der Bessel schen Funktionen Erster Band Zweiter Band K J Wyss Bern 1900 Carl Gottfried Neumann Theorie der Besselschen Funktionen ein Analogon zur Theorie der Kugelfunktionen B G Teubner Leipzig 1867 Paul Schafheitlin Die Theorie der Besselschen Funktionen B G Teubner Leipzig 1908 G N Watson A Treatise on the Theory of Bessel functions Cambridge University Press 1922 1944 ArchiveBesselfunktionen werden in vielen Lehrbuchern der Theoretischen Physik behandelt z B John David Jackson Classical Electrodynamics John Wiley New York NY 1962 3 edition ebenda 1999 ISBN 0 471 30932 X deutsch 4 uberarbeitete Auflage de Gruyter Berlin u a 2006 ISBN 3 11 018970 4 Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 5 2 Quantenmechanik Methoden und Anwendungen 6 Auflage Springer Lehrbuch 2006 ISBN 978 3 540 26035 6 Arnold Sommerfeld Vorlesungen uber Theoretische Physik Band 6 Partielle Differentialgleichungen der Physik Harri Deutsch 1992 ISBN 3 87144 379 4 Einzelnachweise Bearbeiten Bessel Operator In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 978 3 8274 0439 8 Friedrich Wilhelm Bessel Untersuchung des Theils der planetarischen Storungen welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht In Abhandlungen der Berliner Akademie der Wissenschaften 1824 Math Classe S 1 52 Berlin 1826 Jacques Dutka On the early history of Bessel functions In Archive for History of Exact Sciences Band 49 1995 S 105 134 G N Watson Theory of Bessel Functions Cambridge University Press 1944 Kapitel 1 zur Geschichte Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Bessel Differential Equation In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bessel Funktion amp oldid 241514456 Bessel Funktionen
