Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet man als Achterknotenkomplement das Komplement des Achterknotens in der 3-dimensionalen Sphäre. Es ist die einfachste hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit und deshalb ein in zahlreichen Lehrbüchern diskutiertes Beispiel.
Fundamentalgruppe Bearbeiten
Die zum rechts abgebildeten Knotendiagramm gehörende Wirtinger-Präsentierung der Knotengruppe ist
wobei und Meridiane um zwei der Bögen des Knotendiagramms sind.
Die hyperbolische Struktur auf dem Achterknotenkomplement wird durch die diskrete, treue Darstellung definiert, welche auf und auf abbildet.
Diese Darstellung wurde 1974 von Riley gefunden. Ihr Bild liegt in der Bianchi-Gruppe und hat dort endlichen Index.
Bis auf komplexe Konjugation und Konjugation mit Matrizen aus ist dies die einzige hyperbolische Struktur, siehe Mostow-Starrheit.
Das Achterknotenkomplement ist die einzige hyperbolische Mannigfaltigkeit, für die Gleichheit in der Jørgensen-Ungleichung gilt, die also von 2 Elementen mit erzeugt wird.
Ideale Triangulierung Bearbeiten
Man erhält das Achterknotenkomplement durch Verkleben zweier idealer Tetrahedra.
Seien die Ecken der bereits entlang der gemeinsamen Seitenfläche verklebten Tetraeder, dann wird die Seitenfläche mit , mit und mit verklebt.
Als Fundamentalbereich der Wirkung von im Halbraum-Modell des hyperbolischen Raumes kann man die Vereinigung der beiden entlang der gemeinsamen Seitenfläche verklebten idealen Tetraeder mit Ecken
nehmen. (Hier wurde der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes mit identifiziert.)
Die Verklebeabbildungen werden dann von den Matrizen
mit realisiert.
Arithmetische Invarianten Bearbeiten
Das Achterknotenkomplement ist das einzige arithmetische hyperbolische Knotenkomplement.
Sein Spurkörper ist und seine Quaternionenalgebra ist .
Hyperbolisches Volumen Bearbeiten
Das hyperbolische Volumen des Achterknotenkomplements beträgt
Hierbei ist der Bloch-Wigner-Dilogarithmus und .
Dies ergibt sich, weil die idealen Tetraeder der obigen Triangulierung beide regelmäßige Tetraeder und somit alle Diederwinkel sind. Das Volumen des idealen Tetraeders mit diedrischen Winkeln kann mittels der Lobatschewski-Funktion berechnet werden als und für ergibt sich daraus .
Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass das Achterknotenkomplement das hyperbolische Knotenkomplement kleinsten Volumens ist.
Achterknotenkomplement als Abbildungstorus Bearbeiten
Das Achterknotenkomplement ist der Abbildungstorus der Arnoldschen Katzenabbildung des einfach punktierten Torus.
Die Fundamentalgruppe der Faser ist die freie Gruppe . Man hat also eine exakte Sequenz
die Monodromie ist das Produkt aus den Dehn-Twists und an Longitude und Meridian des Torus.
Assoziiert zu einem Abbildungstorus einer Selbstabbildung eines punktierten Torus hat man eine kanonische ideale Triangulierung und im Fall der Monodromie liefert diese die oben beschriebene ideale Triangulierung des Achterknotenkomplements.
Schwestermannigfaltigkeit Bearbeiten
Als Schwestermannigfaltigkeit des Achterknoten-Komplements wird die 3-Mannigfaltigkeit bezeichnet, die man durch -Dehn-Chirurgie an der Whitehead-Verschlingung erhält. Sie lässt sich ebenso wie das Achterknoten-Komplement aus zwei idealen Tetrahedra zusammensetzen und ist gemeinsam mit dem Achterknoten-Komplement die nichtkompakte, orientierbare, hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens.
Literatur Bearbeiten
- W. P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds. Lecture Notes, Princeton University 1976–79 online
- Colin MacLachlan, Alan Reid: The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds. Graduate Texts in Mathematics, 219. Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-98386-4
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Robert Riley: A personal account of the discovery of hyperbolic structures on some knot complements
- MacLachlan-Reid, op.cit., Section 4.4.2
- Alan Reid: Arithmeticity of knot complements. J. London Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 1, 171–184.
- Chun Cao, Robert Meyerhoff: The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume. Invent. Math. 146 (2001), no. 3, 451–478.
- William Floyd, Allen Hatcher: Incompressible surfaces in punctured-torus bundles. Topology Appl. 13 (1982), no. 3, 263–282.
- François Guéritaud: On canonical triangulations of once-punctured torus bundles and two-bridge link complements. With an appendix by David Futer. Geom. Topol. 10 (2006), 1239–1284.