Die Whitehead-Verschlingung (engl.: Whitehead link) ist eine der einfachsten Verschlingungen im mathematischen Teilgebiet der Knotentheorie.
J. H. C. Whitehead, nach dem die Whitehead-Verschlingung benannt ist, benutzte sie zur Konstruktion der Whitehead-Mannigfaltigkeit, mit der er seinen Beweisversuch der Poincaré-Vermutung von 1934 selbst korrigierte.
Eigenschaften Bearbeiten
Die beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung haben Verschlingungszahl .
Sie ist homotop, aber nicht isotop zur trivialen Verschlingung. Es gibt eine Isotopie, die die beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung vertauscht.
Die Whitehead-Verschlingung ist der Abschluss des Zopfes
Ihr Jones-Polynom ist
Ihr Komplement ist hyperbolisch. Ein Fundamentalbereich im hyperbolischen Raum ist der regelmäßige ideale Oktaeder. Das hyperbolische Volumen des Komplements der Whitehead-Verschlingung ist deshalb 3.663862377…, das Volumen des regelmäßigen idealen Oktaeders.
Der invariante Spurkörper ist .
Die Komplemente der Whitehead-Verschlingung und ihrer „Schwester“, der (-2,3,8)-Brezelverschlingung, sind die beiden orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten kleinsten Volumens, deren Rand aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht.
Durch (5,1)-Dehn-Chirurgie an einer der beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung erhält man die Schwestermannigfaltigkeit des Achterknoten-Komplements, welche einer der beiden orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten kleinsten Volumens mit nichtleerem Rand ist. Durch eine weitere (5,2)-Dehn-Chirurgie an der verbliebenen Komponente erhält man die Weeks-Mannigfaltigkeit, welche die (geschlossene) hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens ist.
Weblinks Bearbeiten
- Whitehead Link im Knot Atlas
- Whitehead Link in MathWorld
Einzelnachweise Bearbeiten
- Whitehead, A certain open manifold whose group is unity, Quarterly journal of mathematics 6, 1935, S. 268–279
- Whitehead, Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly journal of mathematics, Band 5, 1934, S. 308–320
- William Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds, Kapitel 3.3, online (PDF; 2,4 MB)
- Ian Agol: The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds. Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), no. 10, 3723–3732.