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Whitehead Mannigfaltigkeit In der Mathematik ist die ein Beispiel einer kontrahierbaren 3 Mannigfaltigkeit die nicht hom

Whitehead-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist die Whitehead-Mannigfaltigkeit ein Beispiel einer kontrahierbaren 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zum euklidischen Raum ist.

J. H. C. Whitehead hatte 1934 einen Beweis der Poincaré-Vermutung veröffentlicht, in dem er zunächst bewiesen haben wollte, dass jede kontrahierbare 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zum ist, woraus er die Poincaré-Vermutung (jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur ) erhielt. Im Folgejahr entdeckte er einen Fehler in seinem Beweis und das Beispiel der Whitehead-Mannigfaltigkeit. Diese ist kontrahierbar, aber nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen, womit sie nicht homöomorph zum sein kann und seine erste Behauptung widerlegt.

Konstruktion Bearbeiten

Konstruiere eine Folge von in der 3-Sphäre eingebetteten Volltori wie folgt.

1. Schritt: ist ein unverknoteter Volltorus in .

2. Schritt: ist in so eingebettet, dass der Kern von mit dem Meridian von eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

i. Schritt: ist in so eingebettet, dass der Kern von mit dem Meridian von eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement der Schnittmenge in , oder äquivalent die Vereinigungsmenge mit .

Topologische Eigenschaften Bearbeiten

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist kontrahierbar und ,

Sie ist nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen. Ihre Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist der Quotient von , wenn alle Punkte aus miteinander identifiziert werden.

Sie ist die Vereinigung zweier Kopien des , deren Durchschnitt ebenfalls homöomorph zum ist.

Differentialgeometrie Bearbeiten

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit trägt keine vollständige Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. J. H. C. Whitehead: Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly Journal of Mathematics 5, 308–320 (1934)
  2. J. H. C. Whitehead: A certain open manifold whose group is unity, Quarterly Journal of Mathematics 6, 268–279 (1935)
  3. David Gabai: The Whitehead manifold is a union of two Euclidean spaces, Journal of Topology 4, 529–534 (2011)
  4. J. Wang: Contractible 3-manifold and Positive scalar curvature, ArXiv
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In der Mathematik ist die Whitehead Mannigfaltigkeit ein Beispiel einer kontrahierbaren 3 Mannigfaltigkeit die nicht homoomorph zum euklidischen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 ist J H C Whitehead hatte 1934 einen Beweis der Poincare Vermutung veroffentlicht 1 in dem er zunachst bewiesen haben wollte dass jede kontrahierbare 3 Mannigfaltigkeit homoomorph zum R 3 displaystyle mathbb R 3 ist woraus er die Poincare Vermutung jede einfach zusammenhangende geschlossene 3 Mannigfaltigkeit ist homoomorph zur S 3 displaystyle S 3 erhielt Im Folgejahr entdeckte er einen Fehler in seinem Beweis und das Beispiel der Whitehead Mannigfaltigkeit 2 Diese ist kontrahierbar aber nicht einfach zusammenhangend im Unendlichen womit sie nicht homoomorph zum R 3 displaystyle mathbb R 3 sein kann und seine erste Behauptung widerlegt Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Topologische Eigenschaften 3 Differentialgeometrie 4 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenKonstruiere eine Folge W i displaystyle W i nbsp von in der 3 Sphare S 3 displaystyle S 3 nbsp eingebetteten Volltori wie folgt 1 Schritt W 1 displaystyle W 1 nbsp ist ein unverknoteter Volltorus in S 3 displaystyle S 3 nbsp 2 Schritt W 2 displaystyle W 2 nbsp ist in W 1 displaystyle W 1 nbsp so eingebettet dass der Kern von W 2 displaystyle W 2 nbsp mit dem Meridian von W 1 displaystyle W 1 nbsp eine Whitehead Verschlingung bildet i Schritt W i 1 displaystyle W i 1 nbsp ist in W i displaystyle W i nbsp so eingebettet dass der Kern von W i 1 displaystyle W i 1 nbsp mit dem Meridian von W i displaystyle W i nbsp eine Whitehead Verschlingung bildet Die Whitehead Mannigfaltigkeit ist das Komplement der Schnittmenge i N W i displaystyle bigcap i in mathbb N W i nbsp in S 3 displaystyle S 3 nbsp oder aquivalent die Vereinigungsmenge i N N i displaystyle bigcup i in mathbb N N i nbsp mit N i S 3 W i displaystyle N i S 3 setminus W i nbsp Topologische Eigenschaften BearbeitenDie Whitehead Mannigfaltigkeit W displaystyle W nbsp ist kontrahierbar und W R R 4 displaystyle W times mathbb R cong mathbb R 4 nbsp Sie ist nicht einfach zusammenhangend im Unendlichen Ihre Ein Punkt Kompaktifizierung ist der Quotient von S 3 displaystyle S 3 nbsp wenn alle Punkte aus i N W i displaystyle bigcap i in mathbb N W i nbsp miteinander identifiziert werden Sie ist die Vereinigung zweier Kopien des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp deren Durchschnitt ebenfalls homoomorph zum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ist 3 Differentialgeometrie BearbeitenDie Whitehead Mannigfaltigkeit tragt keine vollstandige Riemannsche Metrik positiver Skalarkrummung 4 Einzelnachweise Bearbeiten J H C Whitehead Certain theorems about three dimensional manifolds I Quarterly Journal of Mathematics 5 308 320 1934 J H C Whitehead A certain open manifold whose group is unity Quarterly Journal of Mathematics 6 268 279 1935 David Gabai The Whitehead manifold is a union of two Euclidean spaces Journal of Topology 4 529 534 2011 J Wang Contractible 3 manifold and Positive scalar curvature ArXiv Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Whitehead Mannigfaltigkeit amp oldid 188403357