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Zopfgruppe Die B n displaystyle B n ist die Gruppe deren Elemente n strängige Zöpfe sind Die Gruppenoperation ist die An

Zopfgruppe

Die Zopfgruppe ist die Gruppe, deren Elemente n-strängige Zöpfe sind. Die Gruppenoperation ist die Aneinanderhängung von Zöpfen und das neutrale Element ist der n-Zopf ohne Überkreuzungen.

Es gibt für jede natürliche Zahl n eine Zopfgruppe . Zopfgruppen werden in dem mathematischen Gebiet der Topologie untersucht. Zopfgruppen wurden erstmals in dem Artikel Theorie der Zöpfe aus dem Jahr 1925 von Emil Artin definiert; eine ähnliche Konstruktion gab es aber auch schon 1891 in einer Arbeit von Adolf Hurwitz.

Ein Zopf im dreidimensionalen Raum

Geometrische Definition Bearbeiten

Ein -strängiger Zopf ist eine Menge von sich nicht schneidenden Kurven (mit ) in , die in beginnen, in enden und in deren Parametrisierung die dritte Koordinatenfunktion (in der Abbildung die z-Koordinate) monoton steigend ist. Diese Kurven werden Stränge genannt.

Jedem n-Zopf ordnet man folgendermaßen ein Element der symmetrischen Gruppe zu: die Permutation ist dadurch definiert, dass man dem i-ten Strang zu seinem Endpunkt folgt. Der Kern dieser Abbildung ist die sogenannte reine Zopfgruppe. Sie besteht also nur aus solchen Zöpfen, bei denen der i-te Strang an Position i endet.

Zwei Zöpfe und sind äquivalent, wenn sie isotop sind, das heißt, wenn eine stetige Familie von Zöpfen existiert, die in startet und endet.

Die Erzeuger und

Gruppeneigenschaften Bearbeiten

Die Menge aller (Äquivalenzklassen von) -strängigen Zöpfe erzeugt eine Gruppe. Die Verknüpfung ist das Anfügen eines Zopfes unter dem anderen, wobei die -Koordinate reskaliert wird. Das Einselement der Gruppe ist der Zopf mit parallelen Strängen. Das inverse Element eines Zopfes ist gerade dessen Spiegelung.

Man kann jeden Zopf als eine Folge von Über- bzw. Unterkreuzungen der Stränge darstellen. Das sind gerade die in der Abbildung gezeigten Erzeuger bzw. .

Man kann sich in einer Skizze veranschaulichen, dass jeder Erzeuger multipliziert mit seinem Inversen das neutrale Element ergibt.

Darstellung durch Erzeuger und Relationen Bearbeiten

Die Zopfgruppe besitzt die folgende Darstellung durch Erzeuger und Relationen:

Erzeuger:

  • .

Relationen:

  •   für  
  •   für  

(Die letzte Beziehung geht wesentlich über die Kommutatorrelationen vertauschbarer Observablen hinaus (siehe z. B. Quantenmechanik) und besagt u. A., dass benachbarte Zöpfe in spezieller Weise nicht kommutierbar sind.)

Die obige algebraische Definition ist mit der geometrischen äquivalent.

Insbesondere sind Zopfgruppen ein Spezialfall der Artin-Gruppen.

Beispiele Bearbeiten

Die Zopfgruppe besteht nur aus einem Element. Die Zopfgruppe ist die unendliche zyklische Gruppe . Die Zopfgruppe hat die Darstellung

und ist nicht-kommutativ.

Zopfgruppen als Abbildungsklassengruppen Bearbeiten

Die Abbildungsklassengruppe der Kreisscheibe mit markierten Punkten ist isomorph zur Zopfgruppe .

Reine Zopfgruppe Bearbeiten

Jeder n-strängige Zopf bestimmt eine Permutation der n-elementigen Menge. Die reine Zopfgruppe ist der Kern des so definierten Homomorphismus .

Anwendungen Bearbeiten

Mathematiker interessiert vor allem die Anwendung in der Knotentheorie: Indem man das obere Ende des Zopfes mit dem unteren Ende verbindet, erhält man eine Verschlingung. Äquivalente Zöpfe erzeugen äquivalente Verschlingungen. Andererseits kann jede Verschlingung durch isotope Umformung in die Form eines geschlossenen Zopfes gebracht werden (Satz von Alexander). Wann zwei Zöpfe dieselbe Verschlingung erzeugen, klärt der Satz von Markow (Andrei Andrejewitsch Markow, 1903–1979, Sohn von Andrei Andrejewitsch Markow, 1856–1922).

Literatur Bearbeiten

  • Emil Artin: Theorie der Zöpfe. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 4, 1925, ISSN 0025-5858, S. 47–72.
  • Joan Birman: Braids, Links, and Mapping Class Groups. Based on Lecture Notes by James Cannon. Princeton University Press, Princeton NJ 1975, ISBN 0-691-08149-2 (Annals of Mathematics Studies 82).
  • Moritz Epple: Die Entstehung der Knotentheorie. Kontexte und Konstruktionen einer modernen mathematischen Theorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1999, ISBN 3-528-06787-X.
  • Christian Kassel, Vladimir Turaev: Braid Groups. Springer, New York NY 2008, ISBN 978-0-387-33841-5 (Graduate Texts in Mathematics 247).
  • Bohdan I. Kurpita, Kunio Murasugi: A Study of Braids. Kluwer, Dordrecht u. a. 1999, ISBN 0-7923-5767-1 (Mathematics and its Applications 484).
  • Vassily Manturov: Knot Theory. Routledge Chapman & Hall, Boca Raton FL u. a. 2004, ISBN 0-415-31001-6 (online bei GoogleBooks).

Weblinks Bearbeiten

Commons: Braid theory – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Quellen Bearbeiten

  1. Siehe hierzu das Buch von Epple.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Zopfgruppe B n displaystyle B n ist die Gruppe deren Elemente n strangige Zopfe sind Die Gruppenoperation ist die Aneinanderhangung von Zopfen und das neutrale Element ist der n Zopf ohne Uberkreuzungen Es gibt fur jede naturliche Zahl n eine Zopfgruppe B n displaystyle B n Zopfgruppen werden in dem mathematischen Gebiet der Topologie untersucht Zopfgruppen wurden erstmals in dem Artikel Theorie der Zopfe aus dem Jahr 1925 von Emil Artin definiert eine ahnliche Konstruktion gab es aber auch schon 1891 in einer Arbeit von Adolf Hurwitz 1 Ein Zopf im dreidimensionalen RaumInhaltsverzeichnis 1 Geometrische Definition 2 Gruppeneigenschaften 3 Darstellung durch Erzeuger und Relationen 4 Beispiele 5 Zopfgruppen als Abbildungsklassengruppen 6 Reine Zopfgruppe 7 Anwendungen 8 Literatur 9 Weblinks 10 QuellenGeometrische Definition BearbeitenEin n displaystyle n nbsp strangiger Zopf ist eine Menge von n displaystyle n nbsp sich nicht schneidenden Kurven k i displaystyle k i nbsp mit 1 i n displaystyle 1 leq i leq n nbsp in R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp die in i n 0 0 displaystyle left frac i n 0 0 right nbsp beginnen in s i n 0 1 displaystyle left frac sigma i n 0 1 right nbsp enden und in deren Parametrisierung die dritte Koordinatenfunktion in der Abbildung die z Koordinate monoton steigend ist Diese Kurven werden Strange genannt Jedem n Zopf ordnet man folgendermassen ein Element s displaystyle sigma nbsp der symmetrischen Gruppe S n displaystyle S n nbsp zu die Permutation s displaystyle sigma nbsp ist dadurch definiert dass man dem i ten Strang zu seinem Endpunkt s i displaystyle sigma i nbsp folgt Der Kern dieser Abbildung ist die sogenannte reine Zopfgruppe Sie besteht also nur aus solchen Zopfen bei denen der i te Strang an Position i endet Zwei Zopfe b 0 displaystyle b 0 nbsp und b 1 displaystyle b 1 nbsp sind aquivalent wenn sie isotop sind das heisst wenn eine stetige Familie von Zopfen b t t 0 1 displaystyle b t t in 0 1 nbsp existiert die in b 0 displaystyle b 0 nbsp startet und b 1 displaystyle b 1 nbsp endet nbsp Die Erzeuger s i 1 displaystyle sigma i 1 nbsp und s i displaystyle sigma i nbsp Gruppeneigenschaften BearbeitenDie Menge aller Aquivalenzklassen von n displaystyle n nbsp strangigen Zopfe erzeugt eine Gruppe Die Verknupfung ist das Anfugen eines Zopfes unter dem anderen wobei die z displaystyle z nbsp Koordinate reskaliert wird Das Einselement der Gruppe ist der Zopf mit n displaystyle n nbsp parallelen Strangen Das inverse Element eines Zopfes ist gerade dessen Spiegelung Man kann jeden Zopf als eine Folge von Uber bzw Unterkreuzungen der Strange darstellen Das sind gerade die in der Abbildung gezeigten Erzeuger s i displaystyle sigma i nbsp bzw s i 1 displaystyle sigma i 1 nbsp Man kann sich in einer Skizze veranschaulichen dass jeder Erzeuger s i displaystyle sigma i nbsp multipliziert mit seinem Inversen s i 1 displaystyle sigma i 1 nbsp das neutrale Element ergibt Darstellung durch Erzeuger und Relationen BearbeitenDie Zopfgruppe B n displaystyle B n nbsp besitzt die folgende Darstellung durch Erzeuger und Relationen Erzeuger s 1 s n 1 displaystyle sigma 1 ldots sigma n 1 nbsp Relationen s i s j s j s i displaystyle sigma i sigma j sigma j sigma i quad nbsp fur i j 2 displaystyle i j geq 2 nbsp s i s i 1 s i s i 1 s i s i 1 displaystyle sigma i sigma i 1 sigma i sigma i 1 sigma i sigma i 1 quad nbsp fur 1 i n 2 displaystyle 1 leq i leq n 2 nbsp Die letzte Beziehung geht wesentlich uber die Kommutatorrelationen vertauschbarer Observablen hinaus siehe z B Quantenmechanik und besagt u A dass benachbarte Zopfe in spezieller Weise nicht kommutierbar sind Die obige algebraische Definition ist mit der geometrischen aquivalent Insbesondere sind Zopfgruppen ein Spezialfall der Artin Gruppen Beispiele BearbeitenDie Zopfgruppe B 1 displaystyle B 1 nbsp besteht nur aus einem Element Die Zopfgruppe B 2 displaystyle B 2 nbsp ist die unendliche zyklische Gruppe Z displaystyle mathbb Z nbsp Die Zopfgruppe B 3 displaystyle B 3 nbsp hat die Darstellung B 3 s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 displaystyle B 3 langle sigma 1 sigma 2 mid sigma 1 sigma 2 sigma 1 sigma 2 sigma 1 sigma 2 rangle nbsp und ist nicht kommutativ Zopfgruppen als Abbildungsklassengruppen BearbeitenDie Abbildungsklassengruppe der Kreisscheibe mit n displaystyle n nbsp markierten Punkten ist isomorph zur Zopfgruppe B n displaystyle B n nbsp Reine Zopfgruppe BearbeitenJeder n strangige Zopf bestimmt eine Permutation der n elementigen Menge Die reine Zopfgruppe ist der Kern des so definierten Homomorphismus B n S n displaystyle B n rightarrow S n nbsp Anwendungen BearbeitenMathematiker interessiert vor allem die Anwendung in der Knotentheorie Indem man das obere Ende des Zopfes mit dem unteren Ende verbindet erhalt man eine Verschlingung Aquivalente Zopfe erzeugen aquivalente Verschlingungen Andererseits kann jede Verschlingung durch isotope Umformung in die Form eines geschlossenen Zopfes gebracht werden Satz von Alexander Wann zwei Zopfe dieselbe Verschlingung erzeugen klart der Satz von Markow Andrei Andrejewitsch Markow 1903 1979 Sohn von Andrei Andrejewitsch Markow 1856 1922 Literatur BearbeitenEmil Artin Theorie der Zopfe In Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg 4 1925 ISSN 0025 5858 S 47 72 Joan Birman Braids Links and Mapping Class Groups Based on Lecture Notes by James Cannon Princeton University Press Princeton NJ 1975 ISBN 0 691 08149 2 Annals of Mathematics Studies 82 Moritz Epple Die Entstehung der Knotentheorie Kontexte und Konstruktionen einer modernen mathematischen Theorie Vieweg Braunschweig u a 1999 ISBN 3 528 06787 X Christian Kassel Vladimir Turaev Braid Groups Springer New York NY 2008 ISBN 978 0 387 33841 5 Graduate Texts in Mathematics 247 Bohdan I Kurpita Kunio Murasugi A Study of Braids Kluwer Dordrecht u a 1999 ISBN 0 7923 5767 1 Mathematics and its Applications 484 Vassily Manturov Knot Theory Routledge Chapman amp Hall Boca Raton FL u a 2004 ISBN 0 415 31001 6 online bei GoogleBooks Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Braid theory Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienQuellen Bearbeiten Siehe hierzu das Buch von Epple Normdaten Sachbegriff GND 4225944 7 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zopfgruppe amp oldid 207524859