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Satz von Alexander Knotentheorie Der Satz von Alexander ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie

Satz von Alexander (Knotentheorie)

Der Satz von Alexander ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie. Er besagt, dass jede Verschlingung der Abschluss eines Zopfes ist. Er ermöglicht es, Zopfgruppen für die Untersuchung von Knoten und Verschlingungen nutzbar zu machen. Der Satz von Markov gibt hinreichende und notwendige Bedingungen, wann die Abschlüsse zweier Zöpfe äquivalente Verschlingungen ergeben. Er ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker James Alexander (1888–1971) benannt.

Der 5-strängige Zopf .

Abschluss eines Zopfes Bearbeiten

Ein Zopf mit Strängen entsteht wie im Bild rechts durch Hintereinanderausführung einer beliebigen Folge von Verflechtungen und deren Inversen. Siehe dafür den Artikel Zopfgruppe.

Den Abschluss eines Zopfes bildet man, indem der erste Punkt des unteren Randes mit dem ersten Punkt des oberen Randes, der zweite Punkt des unteren Randes mit dem zweiten Punkt des oberen Randes, …, der n-te Punkt des unteren Randes mit dem n-ten Punkt des oberen Randes durch jeweils unverknotete Bögen im verbunden wird.

Satz Bearbeiten

Satz von Alexander: Jede Verschlingung kann als Abschluss eines Zopfes konstruiert werden.

Der Satz von Alexander folgt aus der zuerst von Brunn bewiesenen Tatsache, dass jeder Knoten eine Projektion mit nur einem Mehrfachpunkt besitzt. Ein auf Pierre Vogel zurückgehender Algorithmus ermöglicht die Implementierung auf dem Computer.

Beispiele Bearbeiten

Zopfindex Bearbeiten

Der Zopfindex (engl.: braid index) einer Verschlingung ist die kleinste Anzahl von Strängen eines Zopfes, als dessen Abschluss man die Verschlingung konstruieren kann. Er ist eine Knoteninvariante und kann beispielsweise benutzt werden, um die links- und rechtshändige Kleeblattschlinge voneinander zu unterscheiden.

Literatur Bearbeiten

  • J. W. Alexander: A lemma on systems of knotted curves. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 9 (1923) S. 93–95.
  • H. K. Brunn: Über verknotete Kurven. Verh. Math. Kongr. Zürich (1897) S. 256–259.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Proposition 2.14 in: Burde, Zieschang: Knots. Second edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 5. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2003. ISBN 3-11-017005-1
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Alexander ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie Er besagt dass jede Verschlingung der Abschluss eines Zopfes ist Er ermoglicht es Zopfgruppen fur die Untersuchung von Knoten und Verschlingungen nutzbar zu machen Der Satz von Markov gibt hinreichende und notwendige Bedingungen wann die Abschlusse zweier Zopfe aquivalente Verschlingungen ergeben Er ist nach dem US amerikanischen Mathematiker James Alexander 1888 1971 benannt Der 5 strangige Zopf s 2 1 s 4 1 s 3 s 2 2 s 4 3 s 1 2 s 3 displaystyle sigma 2 1 sigma 4 1 sigma 3 sigma 2 2 sigma 4 3 sigma 1 2 sigma 3 Inhaltsverzeichnis 1 Abschluss eines Zopfes 2 Satz 3 Beispiele 4 Zopfindex 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseAbschluss eines Zopfes BearbeitenEin Zopf mit n displaystyle n nbsp Strangen entsteht wie im Bild rechts durch Hintereinanderausfuhrung einer beliebigen Folge von Verflechtungen s 1 s n 1 displaystyle sigma 1 ldots sigma n 1 nbsp und deren Inversen Siehe dafur den Artikel Zopfgruppe Den Abschluss eines Zopfes bildet man indem der erste Punkt des unteren Randes mit dem ersten Punkt des oberen Randes der zweite Punkt des unteren Randes mit dem zweiten Punkt des oberen Randes der n te Punkt des unteren Randes mit dem n ten Punkt des oberen Randes durch jeweils unverknotete Bogen im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp verbunden wird Satz BearbeitenSatz von Alexander Jede Verschlingung kann als Abschluss eines Zopfes konstruiert werden 1 Der Satz von Alexander folgt aus der zuerst von Brunn bewiesenen Tatsache dass jeder Knoten eine Projektion mit nur einem Mehrfachpunkt besitzt Ein auf Pierre Vogel zuruckgehender Algorithmus ermoglicht die Implementierung auf dem Computer Beispiele BearbeitenDie Hopf Verschlingung ist der Abschluss des Zopfes s 1 2 displaystyle sigma 1 2 nbsp Die rechtshandige Kleeblattschlinge ist der Abschluss des Zopfes s 1 3 displaystyle sigma 1 3 nbsp Der Achterknoten ist der Abschluss des Zopfes s 1 s 2 1 s 1 s 2 1 displaystyle sigma 1 sigma 2 1 sigma 1 sigma 2 1 nbsp Die Whitehead Verschlingung ist der Abschluss des Zopfes s 1 s 2 1 s 1 s 2 2 displaystyle sigma 1 sigma 2 1 sigma 1 sigma 2 2 nbsp Die Borromaischen Ringe sind der Abschluss des Zopfes s 1 1 s 2 s 1 1 s 2 s 1 1 s 2 displaystyle sigma 1 1 sigma 2 sigma 1 1 sigma 2 sigma 1 1 sigma 2 nbsp Zopfindex BearbeitenDer Zopfindex engl braid index einer Verschlingung ist die kleinste Anzahl von Strangen eines Zopfes als dessen Abschluss man die Verschlingung konstruieren kann Er ist eine Knoteninvariante und kann beispielsweise benutzt werden um die links und rechtshandige Kleeblattschlinge voneinander zu unterscheiden Literatur BearbeitenJ W Alexander A lemma on systems of knotted curves Proc Nat Acad Sci USA 9 1923 S 93 95 H K Brunn Uber verknotete Kurven Verh Math Kongr Zurich 1897 S 256 259 Weblinks BearbeitenAlexander Theorem on Braids Encyclopedia of Mathematics Braid Word Math World Einzelnachweise Bearbeiten Proposition 2 14 in Burde Zieschang Knots Second edition de Gruyter Studies in Mathematics 5 Walter de Gruyter amp Co Berlin 2003 ISBN 3 11 017005 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Alexander Knotentheorie amp oldid 211013177