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Hopf Verschlingung In der Knotentheorie einem Teilgebiet der Mathematik ist die auch Hopf Link das einfachste Beispiel e

Hopf-Verschlingung

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.

Hopf-Verschlingung
Hopf-Verschlingung

Hopf-Verschlingung Bearbeiten

Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.

Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im durch und parametrisierten Kreise.

Topologie des Komplements Bearbeiten

Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre ist homöomorph zu . Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu , der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.

Invarianten Bearbeiten

Das Jones-Polynom ist

das HOMFLY-Polynom ist

die Hopf-Verschlingung ist der -Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes .

Hopf-Faserung und Homotopiegruppen, Hopf-Invariante Bearbeiten

Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung

und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.

Allgemein definierte er für Abbildungen die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von und er bewies, dass die Zuordnung

Shingon-shu Buzan-ha crest

einen Isomorphismus

ergibt.

Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie Bearbeiten

Catenane
  • Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
  • Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
  • Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.

Literatur Bearbeiten

  • Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
  • Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380

Weblinks Bearbeiten

Commons: Hopf links – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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In der Knotentheorie einem Teilgebiet der Mathematik ist die Hopf Verschlingung auch Hopf Link das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise source source source source source source source source Hopf VerschlingungHopf Verschlingung Inhaltsverzeichnis 1 Hopf Verschlingung 2 Topologie des Komplements 3 Invarianten 4 Hopf Faserung und Homotopiegruppen Hopf Invariante 5 Vorkommen in Kunst Wissenschaft und Philosophie 6 Literatur 7 WeblinksHopf Verschlingung BearbeitenDie Hopf Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten d h unverknoteten Kreisen deren Verschlingungszahl je nach Orientierung plus oder minus 1 betragt Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp durch cos t sin t 0 displaystyle cos t sin t 0 nbsp und cos t 1 0 sin t displaystyle cos t 1 0 sin t nbsp parametrisierten Kreise Topologie des Komplements BearbeitenDas Komplement der Hopf Verschlingung in der 3 Sphare S 3 displaystyle S 3 nbsp ist homoomorph zu S 1 S 1 0 1 displaystyle S 1 times S 1 times left 0 1 right nbsp Die Linkgruppe also die Fundamentalgruppe des Komplements ist isomorph zu Z Z displaystyle mathbb Z times mathbb Z nbsp der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern Invarianten BearbeitenDas Jones Polynom ist V t t t 1 displaystyle V t t t 1 nbsp das HOMFLY Polynom ist P z a z 1 a 1 a 3 z a 1 displaystyle P z alpha z 1 alpha 1 alpha 3 z alpha 1 nbsp die Hopf Verschlingung ist der 2 2 displaystyle 2 2 nbsp Torus Link und sie ist der Abschluss des Zopfes s 1 2 displaystyle sigma 1 2 nbsp Hopf Faserung und Homotopiegruppen Hopf Invariante BearbeitenHeinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf Faserung h S 3 S 2 displaystyle h colon S 3 to S 2 nbsp und stellte fest dass je zwei Fasern eine Hopf Verschlingung bilden Allgemein definierte er fur Abbildungen f S 3 S 2 displaystyle f colon S 3 to S 2 nbsp die heute als Hopf Invariante bezeichnete Invariante H f Z displaystyle H f in mathbb Z nbsp als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regularer Werte von f displaystyle f nbsp und er bewies dass die Zuordnung nbsp Shingon shu Buzan ha crestf H f displaystyle f to H f nbsp einen Isomorphismus p 3 S 2 Z displaystyle pi 3 S 2 to mathbb Z nbsp ergibt Vorkommen in Kunst Wissenschaft und Philosophie Bearbeiten nbsp CatenaneDie Hopf Verschlingung wird von der dem Shingon shu zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan ha als Symbol verwendet Catenane stellen eine Hopf Verschlingung dar Die Hopf Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Kunstlers Keizo Ushio vor Literatur BearbeitenHeinz Hopf Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphare auf die Kugelflache Math Ann 104 1931 637 665 PDF Colin Adams Das Knotenbuch Spektrum Akademischer Verlag 1995 ISBN 978 3860253380Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Hopf links Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Hopf Link auf MathWorld Topology of a Twisted Torus Numberphile Video Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hopf Verschlingung amp oldid 226536513