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Jones Polynom Das ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen die in der Knotentheorie einem Tei

Jones-Polynom

Das Jones-Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen, die in der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Topologie, untersucht wird. Es ist ein Laurent-Polynom in .

Es wurde 1984 von Vaughan F. R. Jones entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die Fields-Medaille erhielt.

Definition durch Kauffman-Klammer Bearbeiten

Sei eine Verschlingung. Das Kauffman-Klammerpolynom ist ein zu einem Diagramm von assoziiertes Laurent-Polynom in . Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel , wobei die Verwringung von bezeichnet. ist invariant unter Reidemeister-Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom erhält man, indem man in substituiert.

Definition durch Zopfgruppendarstellungen Bearbeiten

Sei eine Verschlingung. Nach einem Satz von Alexander ist der Abschluss eines Zopfes mit Komponenten. Eine Darstellung der Zopfgruppe in die Temperley–Lieb-Algebra mit Koeffizienten in und wird definiert, indem man den Erzeuger auf abbildet, wobei die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.

Sei der zu assoziierte Zopf. Berechne , wobei die Markov-Spur ist. Das gibt das Klammerpolynom , aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.

Definition durch Skein-Relationen Bearbeiten

Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein-Relation erfüllt:

wobei , und orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.

Skein-Relationen

Definition durch Chern-Simons-Theorie Bearbeiten

Das Jones-Polynom kann nach Edward Witten mit einer topologischen Quantenfeldtheorie, der Chern-Simons-Theorie, definiert werden.

Anwendungen Bearbeiten

Kauffman, Murasugi und Thistlethwaite benutzten das Jones-Polynom, um eine der aus dem 19. Jahrhundert stammenden Tait-Vermutungen zu beweisen: Für einen alternierenden Knoten hat jedes reduzierte Diagramm die kleinstmögliche Kreuzungszahl.

Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones-Polynom Bearbeiten

Es ist eine offene Frage, ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.

Spezielle Werte Bearbeiten

  • Für einen Knoten ist , für eine Verschlingung mit Komponenten ist .
  • Falls die Arf-Invariante definiert ist, ist .
  • .
  • Die Werte in Einheitswurzeln sind in der Chern-Simons-Theorie von Bedeutung.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Vaughan F. R. Jones: A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. In: Hyman Bass, Meyer Jerison, Calvin C. Moore (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). Vol. 12, Nr. 1. American Mathematical Society, 1985, ISSN 0273-0979, S. 103–111, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15304-2 (ams.org [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]).
  • Louis H. Kauffman: State models and the Jones polynomial. In: Topology. Vol. 26, Nr. 3. Elsevier, 1987, ISSN 0040-9383, S. 395–407, doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7 (knot.kaist.ac.kr [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]).
  • Pierre de la Harpe, Michel Kervaire, Claude Weber: On the Jones polynomial. In: Enseign. Math. (2) 32 (1986), no. 3–4, S. 271–335.
  • W. B. Raymond Lickorish: An introduction to knot theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 175). Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98254-X.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Witten, op.cit.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Jones Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen die in der Knotentheorie einem Teilgebiet der Topologie untersucht wird Es ist ein Laurent Polynom in t displaystyle sqrt t Es wurde 1984 von Vaughan F R Jones entdeckt der unter anderem dafur 1990 die Fields Medaille erhielt Inhaltsverzeichnis 1 Definition durch Kauffman Klammer 2 Definition durch Zopfgruppendarstellungen 3 Definition durch Skein Relationen 4 Definition durch Chern Simons Theorie 5 Anwendungen 6 Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones Polynom 7 Spezielle Werte 8 Siehe auch 9 Literatur 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseDefinition durch Kauffman Klammer BearbeitenSei L displaystyle L nbsp eine Verschlingung Das Kauffman Klammerpolynom L displaystyle langle L rangle nbsp ist ein zu einem Diagramm von L displaystyle L nbsp assoziiertes Laurent Polynom in A displaystyle A nbsp Das normierte Kauffman Polynom wird dann definiert durch die Formel X L A 3 w L L displaystyle X L A 3 w L langle L rangle nbsp wobei w L displaystyle w L nbsp die Verwringung von L displaystyle L nbsp bezeichnet X L displaystyle X L nbsp ist invariant unter Reidemeister Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen Das Jones Polynom V L displaystyle V L nbsp erhalt man indem man A t 1 4 displaystyle A t 1 4 nbsp in X L displaystyle X L nbsp substituiert Definition durch Zopfgruppendarstellungen BearbeitenSei L displaystyle L nbsp eine Verschlingung Nach einem Satz von Alexander ist L displaystyle L nbsp der Abschluss eines Zopfes mit n displaystyle n nbsp Komponenten Eine Darstellung r displaystyle rho nbsp der Zopfgruppe B n displaystyle B n nbsp in die Temperley Lieb Algebra T L n displaystyle TL n nbsp mit Koeffizienten in Z A A 1 displaystyle mathbb Z A A 1 nbsp und d A 2 A 2 displaystyle delta A 2 A 2 nbsp wird definiert indem man den Erzeuger s i displaystyle sigma i nbsp auf A e i A 1 1 displaystyle A cdot e i A 1 cdot 1 nbsp abbildet wobei 1 e 1 e n 1 displaystyle 1 e 1 dots e n 1 nbsp die Erzeuger der Temperley Lieb Algebra sind Sei s displaystyle sigma nbsp der zu L displaystyle L nbsp assoziierte Zopf Berechne d n 1 tr r s displaystyle delta n 1 operatorname tr rho sigma nbsp wobei tr displaystyle operatorname tr nbsp die Markov Spur ist Das gibt das Klammerpolynom L displaystyle langle L rangle nbsp aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones Polynom berechnet werden kann Definition durch Skein Relationen BearbeitenMan kann das Jones Polynom eindeutig dadurch charakterisieren dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein Relation erfullt t 1 2 t 1 2 V L 0 t 1 V L t V L displaystyle t 1 2 t 1 2 V L 0 t 1 V L tV L nbsp wobei L displaystyle L nbsp L displaystyle L nbsp und L 0 displaystyle L 0 nbsp orientierte Linkdiagramme sind die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und ausserhalb dieses Gebietes identisch sind nbsp Skein RelationenDefinition durch Chern Simons Theorie BearbeitenDas Jones Polynom kann nach Edward Witten mit einer topologischen Quantenfeldtheorie der Chern Simons Theorie definiert werden 1 Anwendungen BearbeitenKauffman Murasugi und Thistlethwaite benutzten das Jones Polynom um eine der aus dem 19 Jahrhundert stammenden Tait Vermutungen zu beweisen Fur einen alternierenden Knoten hat jedes reduzierte Diagramm die kleinstmogliche Kreuzungszahl Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones Polynom BearbeitenEs ist eine offene Frage ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones Polynom ist Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones Polynom zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones Polynom Spezielle Werte BearbeitenFur einen Knoten ist V 1 1 displaystyle V 1 1 nbsp fur eine Verschlingung mit l 2 displaystyle l geq 2 nbsp Komponenten ist V 1 1 2 l 1 displaystyle V 1 frac 1 2 l 1 nbsp Falls die Arf Invariante definiert ist ist V i 2 l 1 1 A r f L displaystyle V i sqrt 2 l 1 1 Arf L nbsp V e 2 p i 3 1 displaystyle V e frac 2 pi i 3 1 nbsp Die Werte in Einheitswurzeln sind in der Chern Simons Theorie von Bedeutung Siehe auch BearbeitenAlexander Polynom HOMFLY PolynomLiteratur BearbeitenVaughan F R Jones A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras In Hyman Bass Meyer Jerison Calvin C Moore Hrsg Bulletin of the American Mathematical Society New Series Vol 12 Nr 1 American Mathematical Society 1985 ISSN 0273 0979 S 103 111 doi 10 1090 S0273 0979 1985 15304 2 ams org PDF abgerufen am 2 Dezember 2012 Louis H Kauffman State models and the Jones polynomial In Topology Vol 26 Nr 3 Elsevier 1987 ISSN 0040 9383 S 395 407 doi 10 1016 0040 9383 87 90009 7 knot kaist ac kr PDF abgerufen am 2 Dezember 2012 Pierre de la Harpe Michel Kervaire Claude Weber On the Jones polynomial In Enseign Math 2 32 1986 no 3 4 S 271 335 W B Raymond Lickorish An introduction to knot theory Graduate Texts in Mathematics Band 175 Springer New York 1997 ISBN 0 387 98254 X Weblinks BearbeitenEdward Witten Two Lectures on the Jones Polynomial and Khovanov Homology PDF 619 kB Alan Chang On the Jones polynomial and its applications Einzelnachweise Bearbeiten Witten op cit Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jones Polynom amp oldid 226667952