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Alexander Polynom Das ist in der Knotentheorie eine Invariante eines Knoten Das Polynom wurde von dem Topologen James Al

Alexander-Polynom

Das Alexander-Polynom ist in der Knotentheorie eine Invariante eines Knoten. Das Polynom wurde von dem Topologen James Alexander 1928 entdeckt und ist das erste Knotenpolynom.

Definition Bearbeiten

Für den Knoten K in der 3-Sphäre betrachtet man die unendliche zyklische Überlagerung X des Knotenkomplements. (Dieses kann man konstruieren, indem man das Knotenkomplement entlang einer Seifert-Fläche aufschneidet und abzählbar viele Kopien der so entstandenen Mannigfaltigkeit zyklisch entlang der Schnittstellen miteinander verklebt.) Die Decktransformationsgruppe dieser Überlagerung ist zyklisch, sei ihr Erzeuger. Der -Modul heißt Alexander-Modul. Der Alexander-Modul ist endlich präsentiert, jede Präsentationsmatrix heißt Alexander-Matrix. Das Alexander-Ideal in ist das von den -Minoren dieser Matrix erzeugte Ideal, wobei die Anzahl der Erzeuger der Präsentation ist. (Man kann zeigen, dass das Alexander-Ideal unabhängig von der gewählten Präsentation ist und nur vom Knoten abhängt.) Alexander bewies, dass das Alexander-Ideal ein Hauptideal ist. Das Alexander-Polynom ist definiert als Erzeuger des Alexander-Ideals (und ist damit nur bis auf Multiplikation mit eindeutig festgelegt).

Berechnung Bearbeiten

John Horton Conway zeigte 1969, dass sich das Alexander-Polynom mit Hilfe von zwei Regeln berechnen lässt:

  • ,
Schnittpunkte

Dies liefert insbesondere eine Normierung des eigentlich nur bis auf Multiplikation mit bestimmten Alexander-Polynoms. Eng mit dieser Normierung zusammen hängt das Alexander-Conway-Polynom oder Conway-Polynom, welches durch die Relationen

definiert wird und mit dem wie eben normierten Alexander-Polynom über die Gleichung zusammenhängt.

Das Alexander-Polynom lässt sich auch durch die Seifert-Matrix V bestimmen: .

Das Alexander-Polynom ist symmetrisch in und . Man hat .

Beispiele und Anwendungen Bearbeiten

Der Grad des Alexander-Polynoms liefert eine untere Schranke für , wobei das Geschlecht einer beliebigen Seifert-Fläche ist. (Dies folgt unmittelbar aus der Berechnung des Alexander-Polynoms über die Seifert-Matrix, weil diese eine -Matrix ist.)

Beispiel: Das Alexander-Polynom des Kleeblattknotens ist . Der Kleeblattknoten besitzt eine Seifert-Fläche mit Geschlecht 1 und der Grad seines Alexander-Polynoms ist 2.

Wenn ein Knoten ein alternierendes Knotendiagramm besitzt, dann ist der Grad des Alexanderpolynoms (Satz von Crowell-Murasugi).

Wenn das Knotenkomplement eine Faserung über dem Kreis mit einer Seifert-Fläche als Faser zulässt (man spricht dann von gefaserten Knoten), dann ist der Grad des Alexander-Polynoms exakt . Weiterhin muss dann monisch sein, d. h. die Koeffizienten des höchsten und niedrigsten Terms sind 1 oder −1. Tatsächlich ist das Alexander-Polynom in diesem Fall gerade das charakteristische Polynom für die Wirkung der Monodromie der Faserung auf der 1. Homologie der Seifert-Fläche.

Das Alexander-Polynom eines Scheibenknotens ist stets von der Form für ein ganzzahliges Laurent-Polynom (Satz von Fox-Milnor).

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Das HOMFLY-Polynom verallgemeinert neben anderen Knoten-Polynomen auch das Alexander-Polynom: es gilt

Das Alexander-Polynom ist die Euler-Charakteristik einer bigraduierten Homologietheorie.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Knotentheorie (PDF; 360 kB) auf Reuter.mit.edu (Aufgerufen am 20. Mai 2012)
  2. (Memento vom 2. März 2005 im Internet Archive) auf Uni-Hannover.de (Aufgerufen am 20. Mai 2012)
  3. Mikhail Khovanov: Link homology and categorification Proceedings of the ICM 2006 Madrid
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Veröffentlichungsdatum:
Das Alexander Polynom ist in der Knotentheorie eine Invariante eines Knoten Das Polynom wurde von dem Topologen James Alexander 1928 entdeckt und ist das erste Knotenpolynom 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Berechnung 3 Beispiele und Anwendungen 4 Verallgemeinerungen 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenFur den Knoten K in der 3 Sphare betrachtet man die unendliche zyklische Uberlagerung X des Knotenkomplements Dieses kann man konstruieren indem man das Knotenkomplement entlang einer Seifert Flache aufschneidet und abzahlbar viele Kopien der so entstandenen Mannigfaltigkeit zyklisch entlang der Schnittstellen miteinander verklebt Die Decktransformationsgruppe dieser Uberlagerung ist zyklisch sei t displaystyle t nbsp ihr Erzeuger Der Z t t 1 displaystyle mathbb Z t t 1 nbsp Modul H 1 X displaystyle H 1 X nbsp heisst Alexander Modul Der Alexander Modul ist endlich prasentiert jede Prasentationsmatrix heisst Alexander Matrix Das Alexander Ideal in Z t t 1 displaystyle mathbb Z t t 1 nbsp ist das von den r r displaystyle r times r nbsp Minoren dieser Matrix erzeugte Ideal wobei r displaystyle r nbsp die Anzahl der Erzeuger der Prasentation ist Man kann zeigen dass das Alexander Ideal unabhangig von der gewahlten Prasentation ist und nur vom Knoten abhangt Alexander bewies dass das Alexander Ideal ein Hauptideal ist Das Alexander Polynom D K t displaystyle Delta K t nbsp ist definiert als Erzeuger des Alexander Ideals und ist damit nur bis auf Multiplikation mit t n displaystyle pm t n nbsp eindeutig festgelegt Berechnung BearbeitenJohn Horton Conway zeigte 1969 dass sich das Alexander Polynom D displaystyle Delta nbsp mit Hilfe von zwei Regeln berechnen lasst D O 1 displaystyle Delta O 1 nbsp fur jede Projektion O displaystyle O nbsp des trivialen Knotens undD L D L t 1 2 t 1 2 D L 0 0 displaystyle Delta L Delta L t frac 1 2 t frac 1 2 Delta L 0 0 nbsp wobei L displaystyle L nbsp L displaystyle L nbsp and L 0 displaystyle L 0 nbsp orientierte Linkdiagramme sind die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und ausserhalb dieses Gebietes identisch sind nbsp SchnittpunkteDies liefert insbesondere eine Normierung des eigentlich nur bis auf Multiplikation mit t n displaystyle pm t n nbsp bestimmten Alexander Polynoms Eng mit dieser Normierung zusammen hangt das Alexander Conway Polynom oder Conway Polynom welches durch die Relationen O 1 displaystyle nabla O 1 nbsp L L z L 0 displaystyle nabla L nabla L z nabla L 0 nbsp definiert wird und mit dem wie eben normierten Alexander Polynom uber die Gleichung D L t 2 L t t 1 displaystyle Delta L t 2 nabla L t t 1 nbsp zusammenhangt Das Alexander Polynom lasst sich auch durch die Seifert Matrix V bestimmen 2 D K t det V t V displaystyle Delta K t det V tV nbsp Das Alexander Polynom ist symmetrisch in t displaystyle t nbsp und t 1 displaystyle t 1 nbsp Man hat D K 1 1 displaystyle Delta K 1 pm 1 nbsp Beispiele und Anwendungen BearbeitenDer Grad des Alexander Polynoms liefert eine untere Schranke fur 2 g displaystyle 2g nbsp wobei g displaystyle g nbsp das Geschlecht einer beliebigen Seifert Flache ist Dies folgt unmittelbar aus der Berechnung des Alexander Polynoms uber die Seifert Matrix weil diese eine 2 g 2 g displaystyle 2g times 2g nbsp Matrix ist Beispiel Das Alexander Polynom des Kleeblattknotens ist D t t 1 t 1 displaystyle Delta t t 1 t 1 nbsp Der Kleeblattknoten besitzt eine Seifert Flache mit Geschlecht 1 und der Grad seines Alexander Polynoms ist 2 Wenn ein Knoten ein alternierendes Knotendiagramm besitzt dann ist der Grad des Alexanderpolynoms 2 g displaystyle 2g nbsp Satz von Crowell Murasugi Wenn das Knotenkomplement eine Faserung uber dem Kreis mit einer Seifert Flache als Faser zulasst man spricht dann von gefaserten Knoten dann ist der Grad des Alexander Polynoms D K t displaystyle Delta K t nbsp exakt 2 g displaystyle 2g nbsp Weiterhin muss D K t displaystyle Delta K t nbsp dann monisch sein d h die Koeffizienten des hochsten und niedrigsten Terms sind 1 oder 1 Tatsachlich ist das Alexander Polynom in diesem Fall gerade das charakteristische Polynom fur die Wirkung der Monodromie der Faserung auf der 1 Homologie der Seifert Flache Das Alexander Polynom eines Scheibenknotens ist stets von der Form D K t P t P t 1 displaystyle Delta K t P t P t 1 nbsp fur ein ganzzahliges Laurent Polynom P displaystyle P nbsp Satz von Fox Milnor Verallgemeinerungen BearbeitenDas HOMFLY Polynom P a z displaystyle P a z nbsp verallgemeinert neben anderen Knoten Polynomen auch das Alexander Polynom es gilt P 1 z D K z displaystyle P 1 z Delta K z nbsp Das Alexander Polynom ist die Euler Charakteristik einer bigraduierten Homologietheorie 3 Siehe auch BearbeitenJones PolynomEinzelnachweise Bearbeiten Knotentheorie PDF 360 kB auf Reuter mit edu Aufgerufen am 20 Mai 2012 Uber das Alexander Polynom Memento vom 2 Marz 2005 im Internet Archive auf Uni Hannover de Aufgerufen am 20 Mai 2012 Mikhail Khovanov Link homology and categorification Proceedings of the ICM 2006 Madrid Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Alexander Polynom amp oldid 226347615