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Knotengruppe In der Knotentheorie einem Teilgebiet der Mathematik bezeichnet man einen in den euklidischen Raum eingebet

Knotengruppe

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man einen in den euklidischen Raum eingebetteten Kreis als Knoten. Die entsprechende Knotengruppe ist dann die Fundamentalgruppe des Komplements des Knotens

Andere Konvention Bearbeiten

In der Topologie betrachtet man statt des euklidischen Raumes häufig dessen Einpunktkompaktifizierung und entsprechend Knoten als eingebettete Kreise in der .

Es lässt sich zeigen, dass die so entstehende Knotengruppe

isomorph zu ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Äquivalente Knoten haben isomorphe Knotengruppen, die Knotengruppen ist also eine Knoteninvariante und kann dazu dienen, Knoten zu unterscheiden.

Die Umkehrung gilt jedoch nicht, so gibt es nicht-äquivalente Knoten mit isomorphen Knotengruppen. Außerdem ist es ein algorithmisch schwieriges Problem, die Nicht-Isomorphie von Knotengruppen zu beweisen.

Die Abelisierung der Knotengruppe ist immer isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen . Das folgt aus dem Alexanderschen Dualitätssatz.

Die Knotengruppe kann mit dem Wirtinger-Algorithmus recht einfach berechnet werden. (D.h. der Wirtinger-Algorithmus liefert eine endliche Präsentation der Knotengruppe.) Es gibt aber keinen allgemeinen Algorithmus, der zu zwei endlichen Gruppenpräsentationen entscheidet, ob die Gruppen isomorph sind.

Alle Erzeuger in der Wirtinger-Präsentierung sind Meridiane des Knotens und insbesondere sind alle diese Erzeuger konjugiert zueinander. Unter der Abelisierungsabbildung werden alle auf denselben Erzeuger der ganzen Zahlen abgebildet.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Burde, Gerhard; Zieschang, Heiner. Knots. Second edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 5. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2003. xii+559 pp. ISBN 3-11-017005-1

Weblinks Bearbeiten

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In der Knotentheorie einem Teilgebiet der Mathematik bezeichnet man einen in den euklidischen Raum eingebetteten Kreis als Knoten Die entsprechende Knotengruppe ist dann die Fundamentalgruppe des Komplements des Knotens K displaystyle K p 1 R 3 K displaystyle pi 1 mathbb R 3 setminus K Inhaltsverzeichnis 1 Andere Konvention 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Literatur 5 WeblinksAndere Konvention BearbeitenIn der Topologie betrachtet man statt des euklidischen Raumes haufig dessen Einpunktkompaktifizierung S 3 displaystyle mathbb S 3 nbsp und entsprechend Knoten als eingebettete Kreise in der S 3 displaystyle mathbb S 3 nbsp Es lasst sich zeigen dass die so entstehende Knotengruppe p 1 S 3 K displaystyle pi 1 mathbb S 3 setminus K nbsp isomorph zu p 1 R 3 K displaystyle pi 1 mathbb R 3 setminus K nbsp ist Eigenschaften BearbeitenAquivalente Knoten haben isomorphe Knotengruppen die Knotengruppen ist also eine Knoteninvariante und kann dazu dienen Knoten zu unterscheiden Die Umkehrung gilt jedoch nicht so gibt es nicht aquivalente Knoten mit isomorphen Knotengruppen Ausserdem ist es ein algorithmisch schwieriges Problem die Nicht Isomorphie von Knotengruppen zu beweisen Die Abelisierung der Knotengruppe ist immer isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp Das folgt aus dem Alexanderschen Dualitatssatz Die Knotengruppe kann mit dem Wirtinger Algorithmus recht einfach berechnet werden D h der Wirtinger Algorithmus liefert eine endliche Prasentation der Knotengruppe Es gibt aber keinen allgemeinen Algorithmus der zu zwei endlichen Gruppenprasentationen entscheidet ob die Gruppen isomorph sind Alle Erzeuger in der Wirtinger Prasentierung sind Meridiane des Knotens und insbesondere sind alle diese Erzeuger konjugiert zueinander Unter der Abelisierungsabbildung werden alle auf denselben Erzeuger der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp abgebildet Beispiele BearbeitenDie Knotengruppe des trivialen Knotens ist Z displaystyle mathbb Z nbsp Die Knotengruppe des Kleeblattknotens ist die Zopfgruppe B 3 displaystyle B 3 nbsp mit Prasentation x y x 2 y 3 displaystyle langle x y mid x 2 y 3 rangle nbsp oder a b a b a b a b displaystyle langle a b mid aba bab rangle nbsp dd Die Knotengruppe des p q Torusknotens ist x y x p y q displaystyle langle x y mid x p y q rangle nbsp dd Die Knotengruppe des Achterknotens ist x y x 1 y x y 1 x y y x 1 y x displaystyle langle x y mid x 1 yxy 1 xy yx 1 yx rangle nbsp dd Literatur BearbeitenBurde Gerhard Zieschang Heiner Knots Second edition de Gruyter Studies in Mathematics 5 Walter de Gruyter amp Co Berlin 2003 xii 559 pp ISBN 3 11 017005 1Weblinks BearbeitenHazewinkel Michiel ed 2001 Knot and Link Groups Encyclopedia of Mathematics Springer ISBN 978 1556080104 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Knotengruppe amp oldid 208018008