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Satz von Markow Der ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie er gibt hinreichende und notwendige

Satz von Markow

Der Satz von Markow ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie, er gibt hinreichende und notwendige Bedingungen, wann die Abschlüsse zweier Zöpfe äquivalente Verschlingungen ergeben.

Markow-Züge Bearbeiten

Markow-Zug vom Typ I
Markow-Zug vom Typ II

Das Bild rechts zeigt die beiden Typen von Markow-Zügen, welche jeweils ein Zopf-Diagramm in ein anderes überführen.

  • Markow-Zug vom Typ I (Konjugation): In der Zopfgruppe entspricht dieser Zug Konjugation mit einem Wort , ein Zopf wird also in den Zopf überführt.
  • Markow-Zug vom Typ II (Stabilisierung): In der Zopfgruppe entspricht dieser Zug der Multiplikation eines Elementes aus mit dem Erzeuger oder seinem Inversen . Die Umkehroperation heißt Destabilisierung.

Satz von Markow Bearbeiten

Die Abschlüsse zweier Zöpfe sind genau dann äquivalente Verschlingungen, wenn die entsprechenden Elemente der Zopfgruppe durch eine Folge von Konjugationen und Stabilisierungen/Destabilisierungen ineinander überführt werden können. (Äquivalent: wenn die entsprechenden Zopf-Diagramme durch eine Folge von Markow-Zügen und Isotopie von Zopf-Diagrammen ineinander überführt werden können.)

Anwendungen Bearbeiten

Quanteninvarianten von Knoten und Verschlingungen werden mit Hilfe einer Darstellung der Verschlingung als Abschluss eines Zopfes definiert. Um die Wohldefiniertheit der Knoteninvarianten zu beweisen, ist in jedem Fall die Invarianz der jeweiligen Invariante unter Markow-Zügen zu überprüfen.

Literatur Bearbeiten

  • A. A. Markov: Ũber die freie Äquivalenz geschlossener Zöpfe. Recueil Mathématique Moscou, 1 (1935), S. 73–78.
  • N. M. Weinberg: On free equivalence of free braids. C.R. (Dokl.) Acad. Sci. USSR, 23 (1939) S. 215–216. (Russisch)
  • Joan Birman: Braids, Links and Mapping Class Groups. Annals of Math. Studies 82 (1974).
  • H. Morton: Threading knot diagrams. Math Proc. Camb. Phil. Soc. 99 (1986), S. 247–260.
  • S. Lambropoulou, C. Rourke: Markov's theorem in 3-manifolds. Topology and its Applications 78, Nos. 1–2 (1997), S. 95–122.
  • P. Traczyk: A new proof of Markov's braid theorem. Knot Theory, Banach Center Publications 42, Polish Acad. of Sciences (1998), S. 409–419.
  • Joan Birman, William Menasco: On Markov's theorem. Knots 2000 Korea, Vol. 1 (Yongpyong). J. Knot Theory Ramifications 11 (2002), no. 3, S. 295–310 (online).

Weblinks Bearbeiten

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Der Satz von Markow ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie er gibt hinreichende und notwendige Bedingungen wann die Abschlusse zweier Zopfe aquivalente Verschlingungen ergeben Inhaltsverzeichnis 1 Markow Zuge 2 Satz von Markow 3 Anwendungen 4 Literatur 5 WeblinksMarkow Zuge Bearbeiten nbsp Markow Zug vom Typ I nbsp Markow Zug vom Typ IIDas Bild rechts zeigt die beiden Typen von Markow Zugen welche jeweils ein Zopf Diagramm in ein anderes uberfuhren Markow Zug vom Typ I Konjugation In der Zopfgruppe B n displaystyle B n nbsp entspricht dieser Zug Konjugation mit einem Wort b B n displaystyle b in B n nbsp ein Zopf a b displaystyle ab nbsp wird also in den Zopf b a displaystyle ba nbsp uberfuhrt Markow Zug vom Typ II Stabilisierung In der Zopfgruppe B n displaystyle B n nbsp entspricht dieser Zug der Multiplikation eines Elementes aus B n 1 B n displaystyle B n 1 subset B n nbsp mit dem Erzeuger s n 1 displaystyle sigma n 1 nbsp oder seinem Inversen s n 1 1 displaystyle sigma n 1 1 nbsp Die Umkehroperation heisst Destabilisierung Satz von Markow BearbeitenDie Abschlusse zweier Zopfe sind genau dann aquivalente Verschlingungen wenn die entsprechenden Elemente der Zopfgruppe durch eine Folge von Konjugationen und Stabilisierungen Destabilisierungen ineinander uberfuhrt werden konnen Aquivalent wenn die entsprechenden Zopf Diagramme durch eine Folge von Markow Zugen und Isotopie von Zopf Diagrammen ineinander uberfuhrt werden konnen Anwendungen BearbeitenQuanteninvarianten von Knoten und Verschlingungen werden mit Hilfe einer Darstellung der Verschlingung als Abschluss eines Zopfes definiert Um die Wohldefiniertheit der Knoteninvarianten zu beweisen ist in jedem Fall die Invarianz der jeweiligen Invariante unter Markow Zugen zu uberprufen Literatur BearbeitenA A Markov Ũber die freie Aquivalenz geschlossener Zopfe Recueil Mathematique Moscou 1 1935 S 73 78 N M Weinberg On free equivalence of free braids C R Dokl Acad Sci USSR 23 1939 S 215 216 Russisch Joan Birman Braids Links and Mapping Class Groups Annals of Math Studies 82 1974 H Morton Threading knot diagrams Math Proc Camb Phil Soc 99 1986 S 247 260 S Lambropoulou C Rourke Markov s theorem in 3 manifolds Topology and its Applications 78 Nos 1 2 1997 S 95 122 P Traczyk A new proof of Markov s braid theorem Knot Theory Banach Center Publications 42 Polish Acad of Sciences 1998 S 409 419 Joan Birman William Menasco On Markov s theorem Knots 2000 Korea Vol 1 Yongpyong J Knot Theory Ramifications 11 2002 no 3 S 295 310 online Weblinks BearbeitenMarkov Moves MathWorld Markov s Theorem MathWorld Markov braid theorem Encyclopedia of Mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Markow amp oldid 181229587