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Mostow Starrheit In der Mathematik besagt der Mostowsche Starrheitssatz auch starker Starrheitssatz oder Mostow Prasad S

Mostow-Starrheit

In der Mathematik besagt der Mostowsche Starrheitssatz (auch starker Starrheitssatz oder Mostow-Prasad-Starrheitssatz) im Wesentlichen, dass die Geometrie einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension größer 2 durch ihre Fundamentalgruppe bestimmt wird und mithin eindeutig ist. Der Satz wurde für geschlossene Mannigfaltigkeiten von George Mostow bewiesen, dann ausgedehnt auf Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens von Albert Marden in Dimension 3 und von Gopal Prasad in Dimension . Gromow gab einen anderen Beweis mit Hilfe des simplizialen Volumens. Auf André Weil geht eine schwächere lokale Version zurück, nämlich dass kokompakte diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes der Dimension mindestens 3 keine nicht-trivialen Deformationen zulassen. Eine Verschärfung des Mostowschen Starrheitssatzes ist der von Margulis bewiesene Superstarrheitssatz.

Der Satz besagt, dass der Deformationsraum der (vollständigen) hyperbolischen Strukturen auf einer hyperbolischen n-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens () ein Punkt ist. Im Gegensatz dazu hat eine hyperbolische Fläche vom Geschlecht g einen 6g-6-dimensionalen Modulraum, der die Metriken konstanter Krümmung (bis auf Diffeomorphismus) klassifiziert, siehe Teichmüller-Raum. In Dimension 3 gibt es einen "Flexibilitätssatz" von Thurston, den Satz über hyperbolische Dehn-Chirurgie: er erlaubt es hyperbolische Strukturen endlichen Volumens zu deformieren, wenn man Änderungen der Topologie der Mannigfaltigkeit zulässt. Es gibt auch eine umfangreiche Theorie der Deformationen hyperbolischer Strukturen auf hyperbolischen Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens.

Starrheitssatz Bearbeiten

Der Satz kann in geometrischer oder algebraischer Fassung formuliert werden.

Geometrische Formulierung Bearbeiten

Hierbei bezeichnet die Fundamentalgruppe der Mannigfaltigkeit .

Eine äquivalente Version besagt, dass jede Homotopieäquivalenz homotop zu einer eindeutigen Isometrie ist.

Algebraische Formulierung Bearbeiten

Eine äquivalente Fassung ist:

Verallgemeinerung: Thurstons Starrheitssatz Bearbeiten

Wenn und vollständige hyperbolische Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension sind und für eine ganze Zahl die Beziehung

gilt, dann ist jede Abbildung vom Abbildungsgrad homotop zu einer lokal-isometrischen -fachen Überlagerung.

Insbesondere folgt aus , dass jede Abbildung vom Abbildungsgrad 1 homotop zu einer Isometrie ist.

Anwendungen Bearbeiten

Die Gruppe der Isometrien einer hyperbolischen -Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ist für stets endlich und isomorph zu .

Thurston benutzte Mostow-Starrheit, um die Eindeutigkeit der zu triangulierten planaren Graphen assoziierten Kreispackungen zu zeigen.

Literatur Bearbeiten

  • Gromov, Michael: Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen). (PDF; 1,1 MB) Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80, pp. 40–53, Lecture Notes in Math., 842, Springer, Berlin-New York, 1981.
  • Mostow, G. D.: Strong rigidity of locally symmetric spaces. Annals of Mathematics Studies, No. 78. Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1973.
  • Spatzier, R. J.: Harmonic analysis in rigidity theory. (PDF; 412 kB) Ergodic theory and its connections with harmonic analysis (Alexandria, 1993), 153–205, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 205, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
  • William Thurston, The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton lecture notes (1978–1981). (Stellt beide Beweise dar: einen ähnlich Mostows ursprünglichem Beweis, einen anderen mit Hilfe von Gromows simplizialem Volumen.)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. G. D. Mostow, Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms, Publ. Math. IHES 34 (1968) 53-104
  2. Marden, Albert: The geometry of finitely generated kleinian groups. Ann. of Math. (2) 99 (1974), 383–462.
  3. Prasad, Gopal: Strong rigidity of Q-rank 1 lattices. (PDF; 1,4 MB) Invent. Math. 21 (1973), 255–286.
  4. Gromov, Michail: Volume and bounded cohomology. (PDF; 9,9 MB) Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 56 (1982), 5–99
  5. Weil, André: On discrete subgroups of Lie groups. I: Ann. of Math. (2) 72 1960 369–384 pdf; II: Ann. of Math. (2) 75 1962 578–602 pdf.
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In der Mathematik besagt der Mostowsche Starrheitssatz auch starker Starrheitssatz oder Mostow Prasad Starrheitssatz im Wesentlichen dass die Geometrie einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension grosser 2 durch ihre Fundamentalgruppe bestimmt wird und mithin eindeutig ist Der Satz wurde fur geschlossene Mannigfaltigkeiten von George Mostow bewiesen 1 dann ausgedehnt auf Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens von Albert Marden in Dimension 3 2 und von Gopal Prasad in Dimension 3 displaystyle geq 3 3 Gromow gab einen anderen Beweis mit Hilfe des simplizialen Volumens 4 Auf Andre Weil 5 geht eine schwachere lokale Version zuruck namlich dass kokompakte diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes der Dimension mindestens 3 keine nicht trivialen Deformationen zulassen Eine Verscharfung des Mostowschen Starrheitssatzes ist der von Margulis bewiesene Superstarrheitssatz Der Satz besagt dass der Deformationsraum der vollstandigen hyperbolischen Strukturen auf einer hyperbolischen n Mannigfaltigkeit endlichen Volumens n gt 2 displaystyle n gt 2 ein Punkt ist Im Gegensatz dazu hat eine hyperbolische Flache vom Geschlecht g einen 6g 6 dimensionalen Modulraum der die Metriken konstanter Krummung K 1 displaystyle K 1 bis auf Diffeomorphismus klassifiziert siehe Teichmuller Raum In Dimension 3 gibt es einen Flexibilitatssatz von Thurston den Satz uber hyperbolische Dehn Chirurgie er erlaubt es hyperbolische Strukturen endlichen Volumens zu deformieren wenn man Anderungen der Topologie der Mannigfaltigkeit zulasst Es gibt auch eine umfangreiche Theorie der Deformationen hyperbolischer Strukturen auf hyperbolischen Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens Inhaltsverzeichnis 1 Starrheitssatz 1 1 Geometrische Formulierung 1 2 Algebraische Formulierung 1 3 Verallgemeinerung Thurstons Starrheitssatz 2 Anwendungen 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseStarrheitssatz BearbeitenDer Satz kann in geometrischer oder algebraischer Fassung formuliert werden Geometrische Formulierung Bearbeiten Seien M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp vollstandige hyperbolische n Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens mit n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp Wenn es einen Isomorphismus p 1 M p 1 N displaystyle pi 1 M rightarrow pi 1 N nbsp gibt dann wird er von einer eindeutigen Isometrie M N displaystyle M rightarrow N nbsp induziert Hierbei bezeichnet p 1 M displaystyle pi 1 M nbsp die Fundamentalgruppe der Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp Eine aquivalente Version besagt dass jede Homotopieaquivalenz M N displaystyle M rightarrow N nbsp homotop zu einer eindeutigen Isometrie ist Algebraische Formulierung Bearbeiten Eine aquivalente Fassung ist Seien G displaystyle Gamma nbsp and D displaystyle Delta nbsp diskrete Untergruppen der Isometriegruppe des hyperbolischen n displaystyle n nbsp Raumes H n displaystyle H n nbsp mit n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp deren Quotienten H n G displaystyle H n backslash Gamma nbsp und H n D displaystyle H n backslash Delta nbsp endliches Volumen haben Wenn G displaystyle Gamma nbsp and D displaystyle Delta nbsp als Gruppen isomorph sind dann sind sie konjugierte Untergruppen des Isometriegruppe Isom H n displaystyle operatorname Isom H n nbsp Verallgemeinerung Thurstons Starrheitssatz Bearbeiten Wenn M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp vollstandige hyperbolische Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension gt 2 displaystyle gt 2 nbsp sind und fur eine ganze Zahl d displaystyle d nbsp die Beziehung Vol M d Vol N displaystyle operatorname Vol M d operatorname Vol N nbsp gilt dann ist jede Abbildung vom Abbildungsgrad d displaystyle d nbsp homotop zu einer lokal isometrischen d displaystyle d nbsp fachen Uberlagerung Insbesondere folgt aus Vol M Vol N displaystyle operatorname Vol M operatorname Vol N nbsp dass jede Abbildung vom Abbildungsgrad 1 homotop zu einer Isometrie ist Anwendungen BearbeitenDie Gruppe der Isometrien einer hyperbolischen n displaystyle n nbsp Mannigfaltigkeit endlichen Volumens M displaystyle M nbsp ist fur n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp stets endlich und isomorph zu Out p 1 M displaystyle operatorname Out pi 1 M nbsp Thurston benutzte Mostow Starrheit um die Eindeutigkeit der zu triangulierten planaren Graphen assoziierten Kreispackungen zu zeigen Literatur BearbeitenGromov Michael Hyperbolic manifolds according to Thurston and Jorgensen PDF 1 1 MB Bourbaki Seminar Vol 1979 80 pp 40 53 Lecture Notes in Math 842 Springer Berlin New York 1981 Mostow G D Strong rigidity of locally symmetric spaces Annals of Mathematics Studies No 78 Princeton University Press Princeton N J University of Tokyo Press Tokyo 1973 Spatzier R J Harmonic analysis in rigidity theory PDF 412 kB Ergodic theory and its connections with harmonic analysis Alexandria 1993 153 205 London Math Soc Lecture Note Ser 205 Cambridge Univ Press Cambridge 1995 William Thurston The geometry and topology of 3 manifolds Princeton lecture notes 1978 1981 Stellt beide Beweise dar einen ahnlich Mostows ursprunglichem Beweis einen anderen mit Hilfe von Gromows simplizialem Volumen Weblinks BearbeitenLucker Approaches to Mostow rigidity in hyperbolic space Bourdon Mostow type rigidity theoremsEinzelnachweise Bearbeiten G D Mostow Quasi conformal mappings in n space and the rigidity of the hyperbolic space forms Publ Math IHES 34 1968 53 104 Marden Albert The geometry of finitely generated kleinian groups Ann of Math 2 99 1974 383 462 Prasad Gopal Strong rigidity of Q rank 1 lattices PDF 1 4 MB Invent Math 21 1973 255 286 Gromov Michail Volume and bounded cohomology PDF 9 9 MB Inst Hautes Etudes Sci Publ Math No 56 1982 5 99 Weil Andre On discrete subgroups of Lie groups I Ann of Math 2 72 1960 369 384 pdf II Ann of Math 2 75 1962 578 602 pdf Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mostow Starrheit amp oldid 234829242