Dehn Twist In der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik sind s bestimmte Selbstabbildungen von Flächen s wurden von

Dehn-Twist

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Dehn-Twists bestimmte Selbstabbildungen von Flächen. Dehn-Twists wurden von Max Dehn eingeführt, der sie ursprünglich als "Schraubungen" bezeichnete.

Definition Bearbeiten

Sei eine orientierbare Fläche und eine einfache geschlossene Kurve. Sei eine Tubenumgebung von , das heißt, wir haben einen Homöomorphismus , der auf abbildet. Wir benutzen diesen Homöomorphismus, um durch Koordinaten mit zu parametrisieren.

Wir definieren dann eine Abbildung durch

Weil auf mit der Identität übereinstimmt, können wir es auf durch die Identitätsabbildung stetig fortsetzen und erhalten so einen Homöomorphismus , der als Dehn-Twist an der Kurve c bezeichnet wird.

Anmerkung: Die oben definierte Abbildung hängt von der gewählten Umgebung und der gewählten Parametrisierung ab. Für andere Umgebungen und andere Parametrisierungen bekommt man mit dieser Konstruktion aber zueinander homotope Abbildungen. Die Homotopieklasse (Abbildungsklasse) von ist also wohldefiniert.

Beispiele Bearbeiten

Longitude und Meridian des Torus.

Wir identifizieren den Torus mit . Jede Matrix aus entspricht dann einer Selbstabbildung des Torus. (Die Matrix wirkt linear auf und bildet nach ab. Man kann zeigen, dass jeder orientierungserhaltende Homöomorphismus des Torus homotop zu einer solchen Abbildung ist.)

Die Matrizen und entsprechen dann den Dehn-Twists an Longitude und Meridian (also an den Bildern der x- und y-Achse.)

Abbildungsklassengruppe Bearbeiten

Die Dehn-Twists an diesen 3g-1 Kurven (hier für g=3) erzeugen die Abbildungsklassengruppe.

Sei die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht und ihre Abbildungsklassengruppe. Für (den Torus) ist und man kann mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus beweisen, dass von den Matrizen und erzeugt wird, also von den Dehn-Twists an Longitude und Meridian. Max Dehn bewies auch für alle , dass die Abbildungsklassengruppe von Dehn-Twists erzeugt wird. Lickorish zeigte, dass die im Bild rechts dargestellten Dehn-Twists die Abbildungsklassengruppe erzeugen. Humphries bewies, dass für die Abbildungsklassengruppe von Dehn-Twists erzeugt wird und dass dies die kleinstmögliche Zahl von Erzeugern ist.

Verallgemeinerte Dehn-Twists Bearbeiten

Sei eine symplektische Mannigfaltigkeit und eine Lagrangesche Sphäre. Nach einem Satz von Weinstein gibt es eine Umgebung von , die symplektomorph zu einer Umgebung von im Kotangentialbündel (mit der kanonischen symplektischen Struktur ) ist. Es genügt deshalb, verallgemeinerte Dehn-Twists für Umgebungen von in zu definieren.

Die Funktion ist glatt außerhalb des Null-Schnittes, ihr Hamiltonscher Fluss ist der normalisierte geodätische Fluss. Die Abbildung lässt sich auf den Null-Schnitt fortsetzen, weil alle Geodäten der Länge denselben Endpunkt haben. Die so definierte Abbildung ist ein Symplektomorphismus und man kann sie so modifizieren, dass sie außerhalb einer kompakten Umgebung die Identität ist. Für ist homotop zur Identität, während für (also für Dehn-Twists auf Flächen) die Dehn-Twists unendliche Ordnung in der Abbildungsklassengruppe haben.

Belege Bearbeiten

M. Dehn: Die Gruppe der Abbildungsklassen. Das arithmetische Feld auf Flächen. In: Acta Math. 69, no. 1, 1938, S. 135–206.
P. Seidel: Floer homology and the symplectic isotopy problem. Oxford 1997. (Memento vom 5. März 2016 im Internet Archive)

Weblinks Bearbeiten

Video zur Veranschaulichung von Dehn-Twists auf dem Torus

Literatur Bearbeiten

Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. (= Princeton Mathematical Series. 49). Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012, ISBN 978-0-691-14794-9.

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Veröffentlichungsdatum: März 16, 2024, 11:07 am

In der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik sind Dehn Twists bestimmte Selbstabbildungen von Flachen Dehn Twists wurden von Max Dehn eingefuhrt der sie ursprunglich als Schraubungen bezeichnete 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Abbildungsklassengruppe 4 Verallgemeinerte Dehn Twists 5 Belege 6 Weblinks 7 LiteraturDefinition BearbeitenSei S displaystyle S nbsp eine orientierbare Flache und c S displaystyle c subset S nbsp eine einfache geschlossene Kurve Sei U displaystyle U nbsp eine Tubenumgebung von c displaystyle c nbsp das heisst wir haben einen Homoomorphismus U S 1 0 1 displaystyle U cong S 1 times left 0 1 right nbsp der c displaystyle c nbsp auf S 1 1 2 displaystyle S 1 times left 1 2 right nbsp abbildet Wir benutzen diesen Homoomorphismus um U displaystyle U nbsp durch Koordinaten e i 8 t displaystyle e i theta t nbsp mit 8 0 2 p t 0 1 displaystyle theta in left 0 2 pi right t in left 0 1 right nbsp zu parametrisieren Wir definieren dann eine Abbildung t c U U displaystyle t c U rightarrow U nbsp durch t c e i 8 t e i 8 2 p t t displaystyle t c e i theta t e i theta 2 pi t t nbsp Weil t c displaystyle t c nbsp auf U S 1 0 1 displaystyle partial U cong S 1 times left 0 1 right nbsp mit der Identitat ubereinstimmt konnen wir es auf S U displaystyle S setminus U nbsp durch die Identitatsabbildung stetig fortsetzen und erhalten so einen Homoomorphismus t c S S displaystyle t c S rightarrow S nbsp der als Dehn Twist an der Kurve c bezeichnet wird Anmerkung Die oben definierte Abbildung t c S S displaystyle t c S rightarrow S nbsp hangt von der gewahlten Umgebung und der gewahlten Parametrisierung ab Fur andere Umgebungen und andere Parametrisierungen bekommt man mit dieser Konstruktion aber zueinander homotope Abbildungen Die Homotopieklasse Abbildungsklasse von t c displaystyle t c nbsp ist also wohldefiniert Beispiele Bearbeiten nbsp Longitude und Meridian des Torus Wir identifizieren den Torus mit R 2 Z 2 displaystyle mathbb R 2 mathbb Z 2 nbsp Jede Matrix aus S L 2 Z displaystyle SL 2 mathbb Z nbsp entspricht dann einer Selbstabbildung des Torus Die Matrix wirkt linear auf R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp und bildet Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp nach Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp ab Man kann zeigen dass jeder orientierungserhaltende Homoomorphismus des Torus homotop zu einer solchen Abbildung ist Die Matrizen 1 1 0 1 displaystyle left begin array cc 1 amp 1 0 amp 1 end array right nbsp und 1 0 1 1 displaystyle left begin array cc 1 amp 0 1 amp 1 end array right nbsp entsprechen dann den Dehn Twists an Longitude und Meridian also an den Bildern der x und y Achse Abbildungsklassengruppe Bearbeiten nbsp Die Dehn Twists an diesen 3g 1 Kurven hier fur g 3 erzeugen die Abbildungsklassengruppe Sei S g displaystyle S g nbsp die geschlossene orientierbare Flache vom Geschlecht g displaystyle g nbsp und M C G S g displaystyle MCG S g nbsp ihre Abbildungsklassengruppe Fur g 1 displaystyle g 1 nbsp den Torus ist M C G S 1 S L 2 Z displaystyle MCG S 1 cong SL 2 mathbb Z nbsp und man kann mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus beweisen dass S L 2 Z displaystyle SL 2 mathbb Z nbsp von den Matrizen 1 1 0 1 displaystyle left begin array cc 1 amp 1 0 amp 1 end array right nbsp und 1 0 1 1 displaystyle left begin array cc 1 amp 0 1 amp 1 end array right nbsp erzeugt wird also von den Dehn Twists an Longitude und Meridian Max Dehn bewies auch fur alle g 2 displaystyle g geq 2 nbsp dass die Abbildungsklassengruppe M C G S g displaystyle MCG S g nbsp von Dehn Twists erzeugt wird Lickorish zeigte dass die im Bild rechts dargestellten 3 g 1 displaystyle 3g 1 nbsp Dehn Twists die Abbildungsklassengruppe erzeugen Humphries bewies dass fur g 2 displaystyle g geq 2 nbsp die Abbildungsklassengruppe von 2 g 1 displaystyle 2g 1 nbsp Dehn Twists erzeugt wird und dass dies die kleinstmogliche Zahl von Erzeugern ist Verallgemeinerte Dehn Twists BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine symplektische Mannigfaltigkeit und V M displaystyle V subset M nbsp eine Lagrangesche Sphare Nach einem Satz von Weinstein gibt es eine Umgebung U M displaystyle U subset M nbsp von V displaystyle V nbsp die symplektomorph zu einer Umgebung von S n displaystyle S n nbsp im Kotangentialbundel T S n u v R n 1 R n 1 u 1 u v 0 displaystyle T S n left u v in mathbb R n 1 times mathbb R n 1 colon u 1 langle u v rangle 0 right nbsp mit der kanonischen symplektischen Struktur j 1 n 1 d u j d v j displaystyle textstyle sum j 1 n 1 du j dv j nbsp ist Es genugt deshalb verallgemeinerte Dehn Twists fur Umgebungen von S n displaystyle S n nbsp in T S n displaystyle T S n nbsp zu definieren Die Funktion m u v v displaystyle mu u v v nbsp ist glatt ausserhalb des Null Schnittes ihr Hamiltonscher Fluss ϕ t m displaystyle phi t mu nbsp ist der normalisierte geodatische Fluss Die Abbildung ϕ p m displaystyle phi pi mu nbsp lasst sich auf den Null Schnitt fortsetzen weil alle Geodaten der Lange p displaystyle pi nbsp denselben Endpunkt haben Die so definierte Abbildung t V M M displaystyle tau V M rightarrow M nbsp ist ein Symplektomorphismus und man kann sie so modifizieren dass sie ausserhalb einer kompakten Umgebung die Identitat ist 2 Fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp ist t V 2 displaystyle tau V 2 nbsp homotop zur Identitat wahrend fur n 1 displaystyle n 1 nbsp also fur Dehn Twists auf Flachen die Dehn Twists unendliche Ordnung in der Abbildungsklassengruppe haben Belege Bearbeiten M Dehn Die Gruppe der Abbildungsklassen Das arithmetische Feld auf Flachen In Acta Math 69 no 1 1938 S 135 206 P Seidel Floer homology and the symplectic isotopy problem Oxford 1997 www math mit edu pdf Memento vom 5 Marz 2016 im Internet Archive Weblinks BearbeitenVideo zur Veranschaulichung von Dehn Twists auf dem TorusLiteratur BearbeitenBenson Farb Dan Margalit A primer on mapping class groups Princeton Mathematical Series 49 Princeton University Press Princeton NJ 2012 ISBN 978 0 691 14794 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index 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