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Hilbert C Modul n werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet Sie spielen eine wichtige Rolle

Hilbert-C*-Modul

Hilbert-C*-Moduln werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie spielen eine wichtige Rolle im Aufbau der KK-Theorie, die Elemente der dort auftretenden Gruppen sind solche Moduln mit einer gewissen Zusatzstruktur. Hilbert-C*-Moduln sind in Analogie zu Hilberträumen definiert, wobei das innere Produkt Werte in einer C*-Algebra annimmt. Sie wurden 1953 von Irving Kaplansky für den Fall kommutativer C*-Algebren eingeführt und 1973 von William Paschke für den allgemeinen Fall.

Definition Bearbeiten

Es sei eine C*-Algebra. Ein Prä-Hilbert--Modul ist ein Rechts-B-Modul zusammen mit einer Abbildung , so dass

  1. ist sesquilinear (konjugiert linear in der ersten Variablen)
  2. für alle
  3. für alle
  4. für alle , wobei die durch die positiven Elemente definierte Ordnung auf sei.
  5. für alle .

Die offenbare Analogie zur Definition eines Hilbertraums lässt sich weiter ausbauen. Man zeigt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

und erhält so eine Halbnorm

auf , die wegen der 5. Bedingung sogar eine Norm ist. Ist der Prä-Hilbert--Modul bezüglich dieser Norm vollständig, so nennt man ihn einen Hilbert--Modul. Der wesentliche Unterschied zu Hilberträumen besteht darin, dass man keinen Projektionssatz beweisen kann, das heißt, es gibt Unter-Hilbert--Moduln, die nicht stetig projizierbar sind.

Beispiele Bearbeiten

  • Eine C*-Algebra ist mit der Definition ein Hilbert--Modul. Dessen Unter-Hilbert-B-Moduln sind die abgeschlossenen Rechtsideale. ist als Hilbert--Modul genau dann abzählbar erzeugt, das heißt, es gibt eine abzählbare Teilmenge, so dass der kleinste diese Menge umfassende Untermodul ist, wenn σ-unital ist.
  • Ein Hilbertraum ist ein Hilbert--Modul.
  • Für eine C*-Algebra sei der Raum aller Folgen , für die konvergiert. Mit der Definition wird zu einem Hilbert--Modul. Offenbar ist der separable Folgenraum der quadratsummieren Folgen.

Konstruktionen Bearbeiten

Direkte Summen Bearbeiten

Direkte Summen von Hilbert--Moduln sind mit der Definition offenbar wieder Hilbert--Moduln.

Algebren von Operatoren Bearbeiten

Für zwei Hilbert--Moduln und sei die Menge aller Operatoren , für die es einen Operator gibt, so dass gilt für alle und . Man zeigt, dass solche Operatoren -linear sind und einen abgeschlossenen Unterraum der stetigen, linearen Operatoren bilden. ist mit der Operatornorm und der Involution eine C*-Algebra. Im Spezialfall ist isomorph zur Multiplikatorenalgebra von .

Gewisse Operatoren aus lassen sich wie folgt in Analogie zu den eindimensionalen Operatoren auf Hilberträumen definieren. Sind und , so sei . Man bestätigt leicht die Formel und somit . Den von diesen Operatoren erzeugten, abgeschlossenen Unterraum bezeichnet man mit und nennt seine Elemente die kompakten Operatoren von nach , auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um kompakte Operatoren im Sinne der Banachraumtheorie handelt. Leicht bestätigt man für ein , woraus folgt, und ganz ähnlich auch . Damit ist ein zweiseitiges Ideal. Offenbar ist das Ideal der kompakten Operatoren auf .

Diese Konstruktionen hängen wie folgt zusammen: Für jede C*-Algebra und jeden Hilbert--Modul ist isomorph zur Multiplikatorenalgebra . Insbesondere gibt es einen *-Isomorphismus , der auf abbildet.

Unitäre Äquivalenz Bearbeiten

Zwei Hilbert--Moduln und heißen unitär äquivalent, in Zeichen , wenn eine bijektive, lineare Abbildung gibt mit für alle .

Innere Tensorprodukte Bearbeiten

Es seien ein Hilbert--Modul, ein Hilbert--Modul und ein *-Homomorphismus. Durch die Formel wird zu einem Links--Modul und man kann daher das algebraische Tensorprodukt bilden, das durch die Definition zu einem Rechts--Modul wird. Durch die Formel

erhalten wir mittels linearer Ausdehnung eine Sesquilinearform auf , die alle Regeln aus der Definition des Prä-Hilbert--Moduls erfüllt bis auf eventuell Punkt 5, das heißt, es kann Vektoren der Länge 0 geben. Indem man den Raum der Vektoren der Länge herausdividiert, das heißt zum Faktorraum nach übergeht, und anschließend vervollständigt, erhält man einen Hilbert--Modul, den man mit bezeichnet und das innere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.

Äußeres Tensorprodukt Bearbeiten

Es seien wieder ein Hilbert--Modul und ein Hilbert--Modul. Dann ist das algebraische Tensorprodukt mittels der Definition

ein Rechts--Modul und man erhält mittels linearer Ausdehnung aus

eine Sesquilinearform. Ist das räumliche Tensorprodukt der C*-Algebren, so konstruiert man durch Herausdividieren von Vektoren der Länge 0 und durch Ausdehnen auf die Vervollständigungen einen Hilbert--Modul, den man mit bezeichnet und das äußere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.

Pushout Bearbeiten

Ist ein Hilbert--Modul und ein surjektiver *-Homomorphismus, so definiere . Ist die Quotientenabbildung, so wird durch die Definitionen

deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist, ein Hilbert--Modul, den man den Pushout von bzgl. nennt. Man kann zeigen, dass , indem man als Unteralgebra von auffasst.

Graduierte Hilbert-C*-Moduln Bearbeiten

Besonders für die KK-Theorie werden Hilbert-C*-Algebren mit einer Zusatz-Struktur, einer sogenannten Graduierung, genauer einer -Graduierung verwendet. Es sei eine graduierte C*-Algebra mit Graduierungsautomorphismus , das heißt, es ist

Dann ist die direkte Summenzerlegung zur -Graduierung. Ein graduierter Hilbert--Modul ist ein Hilbert--Modul zusammen mit einer linearen Bijektion , so dass

Wieder erhält man eine direkte Summenzerlegung , wobei

und es folgt

Durch den Automorphismus erhalten dann auch und eine Graduierung.

Graduierte Hilbert-C*-Moduln heißen unitär äquivalent, wenn sie als Hilbert-C*-Moduln unitär äquivalent sind mit einem unitären Operator, der die Graduierung erhält.

Dies verallgemeinert die oben eingeführten Begriffe ohne Graduierung, denn jede C*-Algebra kann mittels trivial graduiert werden und ebenso jeder Hilbert--Modul mittels .

Um auch zu graduieren, hat man zwei Möglichkeiten, nämlich und . Wir definieren daher

Die oben angeführten Konstruktionen lassen sich auch für graduierte Hilbert-C*-Moduln definieren, wobei das graduierte Tensorprodukt zu nehmen ist und alle auftretenden Morphismen mit den Graduierungen verträglich sein müssen. Die hiermit zusammenhängenden Einzelheiten sind sehr technisch und werden hier übergangen.

Stabilisierungssatz von Kasparow Bearbeiten

Für die KK-Theorie erweist sich der sogenannte Stabilisierungssatz von Kasparow als wichtig. Dieser Satz gilt für graduierte und nicht-graduierte Hilbert-C*-Moduln, er sagt aus, dass bereits alle abzählbar erzeugten Hilbert-C*-Moduln als direkte Summanden enthält, und analog für graduierte Moduln. Es gilt sogar etwas mehr:

  • Ist ein abzählbar erzeugter Hilbert--Modul über einer C*-Algebra , so ist .
  • Ist ein abzählbar erzeugter, graduierter Hilbert--Modul über einer graduierten C*-Algebra , so ist .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. I. Kaplansky: Modules over operator algebras, Amer. J. of Math. (1953), Band 75, Seiten 838–858
  2. W. L. Paschke: Inner product moduls over B*-algebras, Transactions Amer. Math. Soc. (1973), Band 182, Seiten 443–468
  3. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 13.1.1
  4. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.1.7
  5. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 13.4.1
  6. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.2.7
  7. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 1.2.3
  8. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 1.2.4
  9. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.2.5
  10. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 1.2.10
  11. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Theorem 1.1.24 und Theorem 1.2.12
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Hilbert C Moduln werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet Sie spielen eine wichtige Rolle im Aufbau der KK Theorie die Elemente der dort auftretenden Gruppen sind solche Moduln mit einer gewissen Zusatzstruktur Hilbert C Moduln sind in Analogie zu Hilbertraumen definiert wobei das innere Produkt Werte in einer C Algebra annimmt Sie wurden 1953 von Irving Kaplansky fur den Fall kommutativer C Algebren eingefuhrt 1 und 1973 von William Paschke fur den allgemeinen Fall 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Konstruktionen 3 1 Direkte Summen 3 2 Algebren von Operatoren 3 3 Unitare Aquivalenz 3 4 Innere Tensorprodukte 3 5 Ausseres Tensorprodukt 3 6 Pushout 4 Graduierte Hilbert C Moduln 5 Stabilisierungssatz von Kasparow 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei B displaystyle B nbsp eine C Algebra Ein Pra Hilbert B displaystyle B nbsp Modul ist ein Rechts B Modul E displaystyle E nbsp zusammen mit einer Abbildung E E B displaystyle langle cdot cdot rangle E times E rightarrow B nbsp so dass displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp ist sesquilinear konjugiert linear in der ersten Variablen x y b x y b displaystyle langle x yb rangle langle x y rangle b nbsp fur alle x y E b B displaystyle x y in E b in B nbsp x y y x displaystyle langle x y rangle langle y x rangle nbsp fur alle x y E displaystyle x y in E nbsp x x 0 displaystyle langle x x rangle geq 0 nbsp fur alle x E displaystyle x in E nbsp wobei displaystyle geq nbsp die durch die positiven Elemente definierte Ordnung auf B displaystyle B nbsp sei x x 0 x 0 displaystyle langle x x rangle 0 Leftrightarrow x 0 nbsp fur alle x E displaystyle x in E nbsp Die offenbare Analogie zur Definition eines Hilbertraums lasst sich weiter ausbauen Man zeigt die Cauchy Schwarzsche Ungleichung x y x x 1 2 y y 1 2 displaystyle langle x y rangle leq langle x x rangle 1 2 langle y y rangle 1 2 nbsp fur alle x y E displaystyle x y in E nbsp ohne Verwendung der funften Bedingung und erhalt so eine Halbnorm x x x 1 2 displaystyle x langle x x rangle 1 2 nbsp auf E displaystyle E nbsp die wegen der 5 Bedingung sogar eine Norm ist Ist der Pra Hilbert B displaystyle B nbsp Modul bezuglich dieser Norm vollstandig so nennt man ihn einen Hilbert B displaystyle B nbsp Modul 3 Der wesentliche Unterschied zu Hilbertraumen besteht darin dass man keinen Projektionssatz beweisen kann das heisst es gibt Unter Hilbert B displaystyle B nbsp Moduln die nicht stetig projizierbar sind Beispiele BearbeitenEine C Algebra B displaystyle B nbsp ist mit der Definition x y x y displaystyle langle x y rangle x y nbsp ein Hilbert B displaystyle B nbsp Modul Dessen Unter Hilbert B Moduln sind die abgeschlossenen Rechtsideale B displaystyle B nbsp ist als Hilbert B displaystyle B nbsp Modul genau dann abzahlbar erzeugt das heisst es gibt eine abzahlbare Teilmenge so dass B displaystyle B nbsp der kleinste diese Menge umfassende Untermodul ist wenn B displaystyle B nbsp s unital ist Ein Hilbertraum ist 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displaystyle B nbsp Moduln E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp sei L B E F displaystyle L B E F nbsp die Menge aller Operatoren T E F displaystyle T E rightarrow F nbsp fur die es einen Operator T F E displaystyle T F rightarrow E nbsp gibt so dass T x y F x T y E displaystyle langle Tx y rangle F langle x T y rangle E nbsp gilt fur alle x E displaystyle x in E nbsp und y F displaystyle y in F nbsp Man zeigt dass solche Operatoren B displaystyle B nbsp linear sind und einen abgeschlossenen Unterraum der stetigen linearen Operatoren E F displaystyle E rightarrow F nbsp bilden L B E L B E E displaystyle L B E L B E E nbsp ist mit der Operatornorm und der Involution T T displaystyle T mapsto T nbsp eine C Algebra 4 Im Spezialfall E B displaystyle E B nbsp ist L B B M B displaystyle L B B M B nbsp isomorph zur Multiplikatorenalgebra von B displaystyle B nbsp Gewisse Operatoren aus L B E F displaystyle L B E F nbsp lassen sich wie folgt in Analogie zu den eindimensionalen Operatoren auf Hilbertraumen definieren Sind x F displaystyle x in F nbsp und y E displaystyle y in E nbsp so sei 8 x y E F 8 x y z x y z displaystyle theta x y E rightarrow F theta x y z x langle y z rangle nbsp Man bestatigt leicht die Formel 8 x y 8 y x displaystyle theta x y theta y x nbsp und somit 8 x y L B E F displaystyle theta x y in L B E F nbsp Den von diesen Operatoren erzeugten abgeschlossenen Unterraum bezeichnet man mit K B E F displaystyle K B E F nbsp und nennt seine Elemente die kompakten Operatoren von E displaystyle E nbsp nach F displaystyle F nbsp auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um kompakte Operatoren im Sinne der Banachraumtheorie handelt Leicht bestatigt man T 8 x y 8 T x y displaystyle T theta x y theta Tx y nbsp fur ein T L B F displaystyle T in L B F nbsp woraus L B F K B E F K B E F displaystyle L B F K B E F subset K B E F nbsp folgt und ganz ahnlich auch K B E F L B E K B E F displaystyle K B E F L B E subset K B E F nbsp Damit ist K B E L B E 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rangle E nbsp fur alle x y E displaystyle x y in E nbsp Innere Tensorprodukte Bearbeiten Es seien E displaystyle E nbsp ein Hilbert B displaystyle B nbsp Modul F displaystyle F nbsp ein Hilbert A displaystyle A nbsp Modul und f B L B F displaystyle varphi B rightarrow L B F nbsp ein Homomorphismus Durch die Formel b y f b y displaystyle by varphi b y nbsp wird F displaystyle F nbsp zu einem Links B displaystyle B nbsp Modul und man kann daher das algebraische Tensorprodukt E B F displaystyle E otimes B F nbsp bilden das durch die Definition x B y a x B y a displaystyle x otimes B y a x otimes B ya nbsp zu einem Rechts A displaystyle A nbsp Modul wird Durch die Formel x 1 B y 1 x 2 B y 2 y 1 f x 1 x 2 E y 2 F displaystyle langle x 1 otimes B y 1 x 2 otimes B y 2 rangle langle y 1 varphi langle x 1 x 2 rangle E y 2 rangle F nbsp erhalten wir mittels linearer Ausdehnung eine Sesquilinearform auf E B F displaystyle E otimes B F nbsp die alle Regeln aus der Definition des Pra Hilbert A displaystyle A nbsp Moduls erfullt bis auf eventuell Punkt 5 das heisst es kann Vektoren der Lange 0 geben Indem man den Raum N z E B F z z 0 displaystyle N z in E otimes B F langle z z rangle 0 nbsp der Vektoren der Lange herausdividiert das heisst zum Faktorraum nach E B F N displaystyle E otimes B F N nbsp ubergeht und anschliessend vervollstandigt erhalt man einen Hilbert A displaystyle A nbsp Modul den man mit E f F displaystyle E otimes varphi F nbsp bezeichnet und das innere Tensorprodukt der Hilbert C Moduln nennt 7 Ausseres Tensorprodukt Bearbeiten Es seien wieder E displaystyle E nbsp ein Hilbert B displaystyle B nbsp Modul und F displaystyle F nbsp ein Hilbert A displaystyle A nbsp Modul Dann ist das algebraische Tensorprodukt E C F displaystyle E otimes mathbb C F nbsp mittels der Definition x y b a x b y a x E y F a A b B displaystyle x otimes y cdot b otimes a xb otimes ya quad x in E y in F a in A b in B nbsp ein Rechts B A displaystyle B otimes A nbsp Modul und man erhalt mittels linearer Ausdehnung aus x 1 C y 1 x 2 C y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 displaystyle langle x 1 otimes mathbb C y 1 x 2 otimes C y 2 rangle langle x 1 x 2 rangle otimes langle y 1 y 2 rangle nbsp eine Sesquilinearform Ist B A displaystyle B hat otimes A nbsp das raumliche Tensorprodukt der C Algebren so konstruiert man durch Herausdividieren von Vektoren der Lange 0 und durch Ausdehnen auf die Vervollstandigungen einen Hilbert B A displaystyle B hat otimes A nbsp Modul den man mit E F displaystyle E hat otimes F nbsp bezeichnet und das aussere Tensorprodukt der Hilbert C Moduln nennt 8 Pushout Bearbeiten Ist E displaystyle E nbsp ein Hilbert B displaystyle B nbsp Modul und f B A displaystyle varphi B rightarrow A nbsp ein surjektiver Homomorphismus so definiere N f x E f x x 0 displaystyle N varphi x in E varphi langle x x rangle 0 nbsp Ist q E E f E N f displaystyle q E rightarrow E varphi E N varphi nbsp die Quotientenabbildung so wird E f displaystyle E varphi nbsp durch die Definitionen q x a q x b displaystyle q x a q xb nbsp wobei b B displaystyle b in B nbsp mit f b a displaystyle varphi b a nbsp q x q y f x y displaystyle langle q x q y rangle varphi langle x y rangle nbsp deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist ein Hilbert A displaystyle A nbsp Modul den man den Pushout von E displaystyle E nbsp bzgl f displaystyle varphi nbsp nennt Man kann zeigen dass E f E f A displaystyle E varphi cong E otimes varphi A nbsp indem man A displaystyle A nbsp als Unteralgebra von M A L B A displaystyle M A cong L B A nbsp auffasst 9 Graduierte Hilbert C Moduln BearbeitenBesonders fur die KK Theorie werden Hilbert C Algebren mit einer Zusatz Struktur einer sogenannten Graduierung genauer einer Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp Graduierung verwendet Es sei B displaystyle B nbsp eine graduierte C Algebra mit Graduierungsautomorphismus a B B displaystyle alpha B rightarrow B nbsp das heisst es ist a a i d B displaystyle alpha circ alpha mathrm id B nbsp B 0 b B a b b displaystyle B 0 b in B alpha b b nbsp B 1 b B a b b displaystyle B 1 b in B alpha b b nbsp Dann ist B B 0 B 1 displaystyle B B 0 oplus B 1 nbsp die direkte Summenzerlegung zur Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp Graduierung Ein graduierter Hilbert B displaystyle B nbsp Modul ist ein Hilbert B displaystyle B nbsp Modul E displaystyle E nbsp zusammen mit einer linearen Bijektion S E E E displaystyle S E E rightarrow E nbsp so dass S E S E i d E displaystyle S E circ S E mathrm id E nbsp S E x b S E x a b displaystyle S E xb S E x alpha b nbsp fur alle x E b B displaystyle x in E b in B nbsp S E x S E y a x y displaystyle langle S E x S E y rangle alpha langle x y rangle nbsp fur alle x y E displaystyle x y in E nbsp 10 Wieder erhalt man eine direkte Summenzerlegung E E 0 E 1 displaystyle E E 0 oplus E 1 nbsp wobei E 0 x E S E x x displaystyle E 0 x in E S E x x nbsp E 1 x E S E x x displaystyle E 1 x in E S E x x nbsp und es folgt E i B j E i j displaystyle E i B j subset E i j nbsp und E i E j B i j displaystyle langle E i E j rangle subset B i j nbsp fur alle i j Z 2 0 1 displaystyle i j in mathbb Z 2 0 1 nbsp Durch den Automorphismus T S E T S E 1 displaystyle T mapsto S E TS E 1 nbsp erhalten dann auch L B E displaystyle L B E nbsp und K B E displaystyle K B E nbsp eine Graduierung Graduierte Hilbert C Moduln heissen unitar aquivalent wenn sie als Hilbert C Moduln unitar aquivalent sind mit einem unitaren Operator der die Graduierung erhalt Dies verallgemeinert die oben eingefuhrten Begriffe ohne Graduierung denn jede C Algebra kann mittels a i d A displaystyle alpha mathrm id A nbsp trivial graduiert werden und ebenso jeder Hilbert B displaystyle B nbsp Modul mittels S E i d E displaystyle S E mathrm id E nbsp Um auch H B displaystyle H B nbsp zu graduieren hat man zwei Moglichkeiten namlich S b 1 b 2 b 3 a b 1 a b 2 a b 3 displaystyle S b 1 b 2 b 3 ldots alpha b 1 alpha b 2 alpha b 3 ldots nbsp und S b 1 b 2 b 3 a b 1 a b 2 a b 3 displaystyle S b 1 b 2 b 3 ldots alpha b 1 alpha b 2 alpha b 3 ldots nbsp Wir definieren daher H B H B H B displaystyle hat H B H B oplus H B nbsp mit der Graduierung S S displaystyle S oplus S nbsp Die oben angefuhrten Konstruktionen lassen sich auch fur graduierte Hilbert C Moduln definieren wobei das graduierte Tensorprodukt zu nehmen ist und alle auftretenden Morphismen mit den Graduierungen vertraglich sein mussen Die hiermit zusammenhangenden Einzelheiten sind sehr technisch und werden hier ubergangen Stabilisierungssatz von Kasparow BearbeitenFur die KK Theorie erweist sich der sogenannte Stabilisierungssatz von Kasparow als wichtig Dieser Satz gilt fur graduierte und nicht graduierte Hilbert C Moduln er sagt aus dass H B displaystyle H B nbsp bereits alle abzahlbar erzeugten Hilbert C Moduln als direkte Summanden enthalt und analog fur graduierte Moduln Es gilt sogar etwas mehr 11 Ist E displaystyle E nbsp ein abzahlbar erzeugter Hilbert B displaystyle B nbsp Modul uber einer C Algebra B displaystyle B nbsp so ist E H B H B displaystyle E oplus H B cong H B nbsp Ist E displaystyle E nbsp ein abzahlbar erzeugter graduierter Hilbert B displaystyle B nbsp Modul uber einer graduierten C Algebra B displaystyle B nbsp so ist E H B H B displaystyle E oplus hat H B cong hat H B nbsp Einzelnachweise Bearbeiten I Kaplansky Modules over operator algebras Amer J of Math 1953 Band 75 Seiten 838 858 W L Paschke Inner product moduls over B algebras Transactions Amer Math Soc 1973 Band 182 Seiten 443 468 Bruce Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Definition 13 1 1 K K Jensen K Thomsen Elements of KK Theory Birkhauser Verlag 1991 ISBN 0 8176 3496 7 Lemma 1 1 7 Bruce Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Theorem 13 4 1 K K Jensen K Thomsen Elements of KK Theory Birkhauser Verlag 1991 ISBN 0 8176 3496 7 Lemma 1 2 7 K K Jensen K Thomsen Elements of KK Theory Birkhauser Verlag 1991 ISBN 0 8176 3496 7 Abschnitt 1 2 3 K K Jensen K Thomsen Elements of KK Theory Birkhauser Verlag 1991 ISBN 0 8176 3496 7 Abschnitt 1 2 4 K K Jensen K Thomsen Elements of KK Theory Birkhauser Verlag 1991 ISBN 0 8176 3496 7 Lemma 1 2 5 K K Jensen K Thomsen Elements of KK Theory Birkhauser Verlag 1991 ISBN 0 8176 3496 7 Definition 1 2 10 K K Jensen K Thomsen Elements of KK Theory Birkhauser Verlag 1991 ISBN 0 8176 3496 7 Theorem 1 1 24 und Theorem 1 2 12 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hilbert C Modul amp oldid 223666179