Projektionssatz Dieser Artikel erläutert den der Funktionalanalysis zu anderen Bedeutungen siehe Begriffsklärung Der ist

Projektionssatz

Der Projektionssatz ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionalanalysis. In letzter Konsequenz werden mit ihm partielle Differentialgleichungen konstruktiv gelöst. Er ist ein Beispiel dafür, wie in der Funktionalanalysis geometrische Überlegungen zu besonders weitreichenden Resultaten führen. Letztlich wird ein Vektor bezüglich eines gegebenen Untervektorraums in zwei Komponenten zerlegt. Dabei liegt eine Komponente in dem gegebenen Untervektorraum und die andere ist senkrecht dazu. Man sagt, die erste Komponente ist die Orthogonalprojektion des Vektors auf den Untervektorraum.

Aussage Bearbeiten

Sei ein abgeschlossener Untervektorraum eines Hilbertraums mit dem Skalarprodukt . Dann gibt es für alle genau ein und genau ein mit .

Dabei ist für alle das orthogonale Komplement von . Der Name Projektionssatz rührt daher, dass durch die Zuordnung die Orthogonalprojektion auf gegeben ist.

Beweisskizze Bearbeiten

Zunächst betrachtet man zu einem den Abstand zu .

Es existiert eine Folge , mit . Mit Hilfe der Parallelogrammgleichung zeigt man, dass eine Cauchyfolge ist. Da abgeschlossen und vollständig ist, konvergiert gegen ein mit .

Nun zeigt man, dass senkrecht auf steht, also dass für alle gilt. Mit erhält man . Da für gilt , also , ist die Summe direkt.

Konsequenzen Bearbeiten

Man beachte, dass der Beweis lediglich von den Hilbertraumaxiomen Gebrauch macht und in dieser Hinsicht elementar, wenn auch sehr abstrakt ist. Damit gilt der Projektionssatz in jedem Hilbertraum. Neben den oben angesprochenen Konsequenzen ist durch diesen Satz das Funktionieren des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens gesichert. Der Projektionssatz führt zur Existenz eines vollständigen Orthonormalsystems in Hilberträumen. Schließlich ist der Projektionssatz eines der wichtigsten Werkzeuge beim Beweis des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Sei eine abgeschlossene, konvexe, nichtleere Teilmenge eines Hilbertraums. Dann gibt es für jedes genau ein , so dass der Abstand minimal wird, es gilt also .

Einzelnachweise Bearbeiten

R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 11.7
R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 11.4

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Veröffentlichungsdatum: November 27, 2023, 15:32 pm

Dieser Artikel erlautert den Projektionssatz der Funktionalanalysis zu anderen Bedeutungen siehe Projektionssatz Begriffsklarung Der Projektionssatz ist einer der wichtigsten Satze der Funktionalanalysis In letzter Konsequenz werden mit ihm partielle Differentialgleichungen konstruktiv gelost Er ist ein Beispiel dafur wie in der Funktionalanalysis geometrische Uberlegungen zu besonders weitreichenden Resultaten fuhren Letztlich wird ein Vektor bezuglich eines gegebenen Untervektorraums in zwei Komponenten zerlegt Dabei liegt eine Komponente in dem gegebenen Untervektorraum und die andere ist senkrecht dazu Man sagt die erste Komponente ist die Orthogonalprojektion des Vektors auf den Untervektorraum Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweisskizze 3 Konsequenzen 4 Verallgemeinerung 5 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei M H displaystyle mathcal M subset mathcal H nbsp ein abgeschlossener Untervektorraum eines Hilbertraums H displaystyle mathcal H nbsp mit dem Skalarprodukt displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp Dann gibt es fur alle f H displaystyle f in mathcal H nbsp genau ein f 1 M displaystyle f 1 in mathcal M nbsp und genau ein f 2 M displaystyle f 2 in mathcal M perp nbsp mit f f 1 f 2 displaystyle f f 1 f 2 nbsp 1 Dabei ist M g H f g 0 displaystyle mathcal M perp g in mathcal H mid langle f g rangle 0 nbsp fur alle f M displaystyle f in mathcal M nbsp das orthogonale Komplement von M displaystyle mathcal M nbsp Der Name Projektionssatz ruhrt daher dass durch die Zuordnung f f 1 displaystyle f mapsto f 1 nbsp die Orthogonalprojektion auf M displaystyle mathcal M nbsp gegeben ist Beweisskizze BearbeitenZunachst betrachtet man zu einem f H M displaystyle f in mathcal H setminus mathcal M nbsp den Abstand d inf f m m M displaystyle d inf f m m in mathcal M nbsp zu M displaystyle mathcal M nbsp Es existiert eine Folge m j M displaystyle m j in mathcal M nbsp mit f m j d displaystyle f m j rightarrow d nbsp Mit Hilfe der Parallelogrammgleichung zeigt man dass m j displaystyle m j nbsp eine Cauchyfolge ist Da M displaystyle mathcal M nbsp abgeschlossen und H displaystyle H nbsp vollstandig ist konvergiert m j displaystyle m j nbsp gegen ein m M displaystyle m in mathcal M nbsp mit f m d gt 0 displaystyle f m d gt 0 nbsp Nun zeigt man dass f m displaystyle f m nbsp senkrecht auf M displaystyle mathcal M nbsp steht also dass f m m 0 displaystyle langle f m m rangle 0 nbsp fur alle m M displaystyle m in mathcal M nbsp gilt Mit f m f m displaystyle f m f m nbsp erhalt man H M M displaystyle mathcal H mathcal M mathcal M perp nbsp Da fur g M M displaystyle g in mathcal M cap mathcal M perp nbsp gilt g g 0 displaystyle langle g g rangle 0 nbsp also g 0 displaystyle g 0 nbsp ist die Summe direkt Konsequenzen BearbeitenMan beachte dass der Beweis lediglich von den Hilbertraumaxiomen Gebrauch macht und in dieser Hinsicht elementar wenn auch sehr abstrakt ist Damit gilt der Projektionssatz in jedem Hilbertraum Neben den oben angesprochenen Konsequenzen ist durch diesen Satz das Funktionieren des Gram Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens gesichert Der Projektionssatz fuhrt zur Existenz eines vollstandigen Orthonormalsystems in Hilbertraumen Schliesslich ist der Projektionssatz eines der wichtigsten Werkzeuge beim Beweis des Darstellungssatzes von Frechet Riesz Verallgemeinerung BearbeitenSei C H displaystyle C subset mathcal H nbsp eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge eines Hilbertraums Dann gibt es fur jedes f H displaystyle f in mathcal H nbsp genau ein f 1 C displaystyle f 1 in C nbsp so dass der Abstand minimal wird es gilt also f f 1 m i n f g g C displaystyle f f 1 mathrm min f g colon g in C nbsp 2 Einzelnachweise Bearbeiten R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Satz 11 7 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Satz 11 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Projektionssatz amp oldid 152312368