Die -unitalen C*-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht, es handelt sich um C*-Algebren mit einer gewissen Abzählbarkeitsbedingung.
Definition Bearbeiten
Eine C*-Algebra heißt -unital, falls sie eine abzählbare Approximation der Eins besitzt.
Beispiele Bearbeiten
- Separable C*-Algebren sind -unital.
- C*-Algebren mit Einselement sind -unital, daher ist dieser Begriff nur bei C*-Algebren ohne Einselement sinnvoll.
- Die kommutative C*-Algebra der C0-Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum ist genau dann -unital, wenn σ-kompakt ist. Ist also überabzählbar und diskret, so ist nicht -unital.
Eigenschaften Bearbeiten
Folgende Aussagen über eine C*-Algebra sind äquivalent:
- ist -unital.
- hat ein strikt positives Element, das heißt, es gibt ein positives Element , so dass für alle Zustände auf .
- Es gibt ein positives Element , so dass eine dichte Teilmenge ist.
- Es gibt ein positives Element , so dass das Einselement in der einhüllenden Von-Neumann-Algebra die kleinste Projektion mit ist.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Satz 3.10.6
- Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 12.3.1
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Satz 3.10.5