Transportsatze oder Transport Theoreme beschreiben die Regeln fur die Zeitableitung von Integralen mit zeitabhangigen Integrationsgrenzen Solche Zeitableitungen kommen in der Kontinuums und Stromungsmechanik vor wo die Integrale beispielsweise eine Zirkulation einen Volumenstrom durch eine Flache oder den Impuls einer sich bewegenden und deformierenden Masse darstellen Das Integrationsgebiet kann entsprechend eine Linie eine Flache oder ein Volumen sein Der Transportsatz fur Volumen wird Reynolds scher Transportsatz oder Reynolds Transport Theorem nach Osborne Reynolds genannt Die Transportsatze werden verwendet um grundlegende Erhaltungssatze der Kontinuumsmechanik herzuleiten Mathematisch gesehen handelt es sich um Verallgemeinerungen der Leibnizregel fur Parameterintegrale Alle betrachteten Felder mussen sowohl nach der Zeit als auch nach dem Ort einmal stetig differenzierbar und im betrachteten Gebiet integrierbar sein Unstetigkeitsstellen in Form von nach dem Ort stetig differenzierbaren Flachen an denen sich beispielsweise die Dichte sprunghaft andert konnen jedoch berucksichtigt werden Bei der Herleitung der Transportsatze werden die Integrationsgrenzen zeitunabhangig dargestellt der Integrand zeitlich abgeleitet und das Integrationsgebiet wieder in die zeitabhangige Form zuruckgebracht Inhaltsverzeichnis 1 Linien Flachen und Volumenelemente fur von der Masse transportierte Gebiete 2 Transportsatz fur Linienintegrale 3 Transportsatz fur Flachenintegrale 4 Reynolds scher Transportsatz oder Transportsatz fur Volumenintegrale 4 1 Einfluss von Sprungstellen 5 Fussnoten 6 Literatur 7 WeblinksLinien Flachen und Volumenelemente fur von der Masse transportierte Gebiete BearbeitenWenn die Gebiete sich mit der Masse mitbewegen sie also materielle Grenzen aufweisen dann kann die ortliche Differenzierbarkeit der Bewegungsfunktion der Masse ausgenutzt werden Die substantielle Ableitung der Linien Flachen und Volumenelemente sind dann gemass der folgenden Tabelle gegeben Linienelement D D t d x grad v d x displaystyle frac mathrm D mathrm D t mathrm d vec x operatorname grad vec v cdot mathrm d vec x nbsp Vektorielles Oberflachenelement D D t d a div v I grad v d a displaystyle frac mathrm D mathrm D t mathrm d vec a operatorname div vec v mathbf I operatorname grad vec v top cdot mathrm d vec a nbsp Volumenelement D D t d V div v d V displaystyle frac mathrm D mathrm D t mathrm d V operatorname div vec v mathrm d V nbsp Der Operator D D t displaystyle tfrac mathrm D mathrm D t nbsp oder ein Hochpunkt wie in f displaystyle dot f nbsp bezeichnet die substantielle Zeitableitung v x t displaystyle vec v vec x t nbsp das vom Ort x displaystyle vec x nbsp und der Zeit t displaystyle t nbsp abhangige Geschwindigkeitsfeld der Masse grad den Gradienten und div die Divergenz eines Vektorfeldes I displaystyle mathbf I nbsp den Einheitstensor und das hochgestellte displaystyle top nbsp die Transposition Wenn sich das Integrationsgebiet relativ zur Masse bewegt dann konnen die oben angegebenen Linien und Oberflachenelemente nicht berechnet werden weil in den Gebieten die fur die Gradienten und Divergenzbildung benotigte Umgebung fehlt Statt auf die Lagrangesche Betrachtungsweise der Integrale zuruckzugreifen die materielle Integrationsgrenzen zeitunabhangig zu definieren gestattet wird das Gebiet mit Parametern aus einem festen Intervall hier 0 1 n n 1 2 3 displaystyle 0 1 n n 1 2 3 nbsp je nach Dimension n displaystyle n nbsp des Gebietes beschrieben Auch diese festen Grenzen erlauben es die Zeitableitung in den Integranden zu verschieben Transportsatz fur Linienintegrale BearbeitenGegeben sei eine sich durch die Masse bewegende Kurve b displaystyle b nbsp mit vektoriellem Linienelement d b displaystyle mathrm d vec b nbsp Fur die Kurve liege zu jeder Zeit t displaystyle t nbsp eine Parameterdarstellung b 3 t displaystyle vec b xi t nbsp fur die Punkte auf der Kurve mit Kurvenparameter 3 displaystyle xi nbsp im Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp vor Fur das Linienelement gilt dann d b 3 b 3 t d 3 displaystyle mathrm d vec b tfrac partial partial xi vec b xi t mathrm d xi nbsp Die Zeitableitung des Kurvenintegrals einer vom Ort x displaystyle vec x nbsp und der Zeit t displaystyle t nbsp abhangigen Feldgrosse f x t displaystyle vec f vec x t nbsp uber den Weg b displaystyle b nbsp lautet dann 1 d d t b f b t d b d d t 0 1 f b 3 t t 3 b 3 t d 3 0 1 f x b t b 3 f t b 3 2 b 3 t f d 3 b f t grad f v b d b 0 1 3 v b 3 t f d 3 displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d t int b vec f vec b t cdot mathrm d vec b amp frac mathrm d mathrm d t int 0 1 vec f vec b xi t t cdot frac partial partial xi vec b xi t mathrm d xi int 0 1 left left frac partial vec f partial vec x frac partial vec b partial t right cdot frac partial vec b partial xi frac partial vec f partial t cdot frac partial vec b partial xi frac partial 2 vec b partial xi partial t cdot vec f right mathrm d xi amp int b left frac partial vec f partial t operatorname grad vec f cdot vec v b right cdot mathrm d vec b int 0 1 frac partial partial xi vec v b xi t cdot vec f mathrm d xi end aligned nbsp Fur ein Skalarfeld gilt entsprechend d d t b f b t d b b f t grad f v b d b 0 1 f 3 v b 3 t d 3 displaystyle frac mathrm d mathrm d t int b f vec b t mathrm d vec b int b left frac partial f partial t operatorname grad f cdot vec v b right mathrm d vec b int 0 1 f frac partial partial xi vec v b xi t mathrm d xi nbsp Wenn die Geschwindigkeit der Kurve v b displaystyle vec v b nbsp gleich der Geschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp der Masse ist dann steht in der eckigen Klammer die substantielle Zeitableitung der Feldgrosse und die Ableitung der Geschwindigkeit in Richtung der Kurve kann mit dem Geschwindigkeitsgradient berechnet werden 1 v b 3 t 3 d 3 v b 3 t t 3 d 3 v x t x b 3 t 3 d 3 grad v d b D D t d b x t displaystyle frac partial vec v b xi t partial xi mathrm d xi frac partial vec v vec b xi t t partial xi mathrm d xi frac partial vec v vec x t partial vec x cdot frac partial vec b xi t partial xi mathrm d xi operatorname grad vec v cdot mathrm d vec b frac mathrm D mathrm D t mathrm d vec b vec x t nbsp Dann geht dieser Transportsatz in den fur von der Masse transportierte Linien aus der Tabelle uber Skalarfeld D D t b f d b b D D t f d b f D D t d b b f I f grad v d b displaystyle frac mathrm D mathrm D t oint b f mathrm d vec b oint b left frac mathrm D mathrm D t f mathrm d vec b f frac mathrm D mathrm D t mathrm d vec b right oint b dot f mathbf I f operatorname grad vec v cdot mathrm d vec b nbsp Vektorfeld D D t b f d b b D D t f d b f D D t d b b f f grad v d b displaystyle frac mathrm D mathrm D t oint b vec f cdot mathrm d vec b oint b left frac mathrm D mathrm D t vec f cdot mathrm d vec b vec f cdot frac mathrm D mathrm D t mathrm d vec b right oint b dot vec f vec f cdot operatorname grad vec v cdot mathrm d vec b nbsp Transportsatz fur Flachenintegrale BearbeitenGegeben sei eine Flache a displaystyle a nbsp mit vektoriellem Oberflachenelement d a displaystyle mathrm d vec a nbsp die sich durch die Masse bewegt Fur die Flache liege zu jeder Zeit t displaystyle t nbsp eine Parameterdarstellung a 3 h t displaystyle vec a xi eta t nbsp fur die Punkte auf der Flache mit Flachenparametern 3 h displaystyle xi eta nbsp aus dem Einheitsquadrat 0 1 2 displaystyle 0 1 2 nbsp vor Das vektorielle Oberflachenelement berechnet sich dann mit dem Kreuzprodukt zu d a a 3 a h d 3 d h displaystyle mathrm d vec a frac partial vec a partial xi times frac partial vec a partial eta mathrm d xi mathrm d eta nbsp Die Zeitableitung des Flachenintegrals einer vom Ort x displaystyle vec x nbsp und der Zeit t displaystyle t nbsp abhangigen Feldgrosse f x t displaystyle vec f vec x t nbsp uber der Flache a displaystyle a nbsp lautet dann 1 d d t a f a t d a d d t 0 1 0 1 f a 3 h t t a 3 a h d 3 d h 0 1 0 1 f x a t a 3 a h f t a 3 a h f t a 3 a h d 3 d h a f t grad f v a d a 0 1 0 1 f v a 3 a h a 3 v a h d 3 d h displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d t int a vec f vec a t cdot mathrm d vec a amp frac mathrm d mathrm d t int 0 1 int 0 1 vec f vec a xi eta t t cdot left frac partial vec a partial xi times frac partial vec a partial eta right mathrm d xi mathrm d eta amp int 0 1 int 0 1 left left frac partial vec f partial vec x cdot frac partial vec a partial t right cdot left frac partial vec a partial xi times frac partial vec a partial eta right frac partial vec f partial t cdot left frac partial vec a partial xi times frac partial vec a partial eta right vec f cdot frac partial partial t left frac partial vec a partial xi times frac partial vec a partial eta right right mathrm d xi mathrm d eta amp int a left frac partial vec f partial t operatorname grad vec f cdot vec v a right cdot mathrm d vec a int 0 1 int 0 1 vec f cdot left frac partial vec v a partial xi times frac partial vec a partial eta frac partial vec a partial xi times frac partial vec v a partial eta right mathrm d xi mathrm d eta end aligned nbsp Fur ein Skalarfeld gilt entsprechend d d t a f a t d a a f t grad f v a d a 0 1 0 1 f v a 3 a h a 3 v a h d 3 d h displaystyle frac mathrm d mathrm d t int a f vec a t cdot mathrm d vec a int a left frac partial f partial t operatorname grad f cdot vec v a right mathrm d vec a int 0 1 int 0 1 f cdot left frac partial vec v a partial xi times frac partial vec a partial eta frac partial vec a partial xi times frac partial vec v a partial eta right mathrm d xi mathrm d eta nbsp Wenn die Geschwindigkeit der Flache v a displaystyle vec v a nbsp gleich der Geschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp der Masse ist dann steht in der eckigen Klammer die substantielle Zeitableitung der Feldgrosse und dieser Transportsatz geht in den fur von der Masse transportierte Flachen aus der Tabelle uber Skalarfeld D D t a f d a a D D t f d a f D D t d a a f I f div v I f grad v d a displaystyle frac mathrm D mathrm D t int a f mathrm d vec a int a left frac mathrm D mathrm D t f mathrm d vec a f frac mathrm D mathrm D t mathrm d vec a right int a dot f mathbf I f operatorname div vec v mathbf I f operatorname grad vec v top cdot mathrm d vec a nbsp Vektorfeld D D t a f d a a D D t f d a f D D t d a a f f div v f grad v d a displaystyle frac mathrm D mathrm D t int a vec f cdot mathrm d vec a int a left frac mathrm D mathrm D t vec f cdot mathrm d vec a vec f cdot frac mathrm D mathrm D t mathrm d vec a right int a dot vec f vec f operatorname div vec v vec f cdot operatorname grad vec v top cdot mathrm d vec a nbsp BeweisWenn die Flache eine materielle Flache ist dann gibt es eine Referenzkonfiguration mit einer zeitunabhangigen Lagrange schen Beschreibung der Flache A 3 h displaystyle vec A xi eta nbsp die mit einer Bewegungsfunktion x displaystyle vec chi nbsp in die aktuelle Flache ubergeht a 3 h t x A 3 h t displaystyle vec a xi eta t vec chi vec A xi eta t nbsp Die Tangentenvektoren an die Flache transformieren sich dann mit dem Deformationsgradient F displaystyle mathbf F nbsp ineinander z B 1 a 3 h t 3 x A 3 h t 3 x X t X A 3 h 3 F A 3 h 3 displaystyle frac partial vec a xi eta t partial xi frac partial vec chi vec A xi eta t partial xi frac partial vec chi vec X t partial vec X cdot frac partial vec A xi eta partial xi mathbf F cdot frac partial vec A xi eta partial xi nbsp Der im Transportsatz im zweiten Integranden auftauchende Term vereinfacht sich damit zu v a 3 a h a 3 v a h d 3 d h t a 3 a h d 3 d h t F A 3 F A h d 3 d h t cof F A 3 A h d 3 d h t det F F 1 d A D D t d a displaystyle begin aligned left frac partial vec v a partial xi times frac partial vec a partial eta frac partial vec a partial xi times frac partial vec v a partial eta right mathrm d xi mathrm d eta amp frac partial partial t left frac partial vec a partial xi times frac partial vec a partial eta right mathrm d xi mathrm d eta frac partial partial t left left mathbf F cdot frac partial vec A partial xi right times left mathbf F cdot frac partial vec A partial eta right right mathrm d xi mathrm d eta amp frac partial partial t operatorname cof mathbf F cdot left frac partial vec A partial xi times frac partial vec A partial eta right mathrm d xi mathrm d eta frac partial partial t operatorname det mathbf F mathbf F top 1 cdot mathrm d vec A frac mathrm D mathrm D t mathrm d vec a end aligned nbsp siehe die Berechnung des Kreuzprodukts und des Kofaktors cof mit dem ausseren Tensorprodukt und die Zeitableitung von Linien Flachen und Volumenelementen Es wurde ausgenutzt dass in der Lagrange schen Betrachtungsweise die partielle Zeitableitung gleich der substantiellen Zeitableitung ist Mit diesem Ergebnis geht der obige Transportsatz in den fur von der Masse transportierte Flachen uber Reynolds scher Transportsatz oder Transportsatz fur Volumenintegrale BearbeitenDer Reynolds sche Transportsatz wird verwendet um grundlegende Erhaltungssatze der Kontinuumsmechanik herzuleiten Wird z B die Dichte r displaystyle rho nbsp fur das Skalarfeld f displaystyle f nbsp eingesetzt dann ergibt sich eine Formulierung fur die Massenerhaltung Gegeben sei ein Kontrollvolumen V k displaystyle V k nbsp mit Volumenelement d V k displaystyle mathrm d V k nbsp und Oberflache a k displaystyle a k nbsp mit nach aussen gerichtetem vektoriellem Oberflachenelement d a k displaystyle mathrm d vec a k nbsp die sich durch die Masse bewegen Dann lautet die Zeitableitung des Volumenintegrals einer vom Ort x displaystyle vec x nbsp und der Zeit t displaystyle t nbsp abhangigen Feldgrosse f x t displaystyle vec f vec x t nbsp uber das Kontrollvolumen oder kurz der Reynolds sche Transportsatz Skalarfeld d d t V k f d V k V k f t d V k a k f v k d a k displaystyle frac mathrm d mathrm d t int V k f mathrm d V k int V k frac partial f partial t mathrm d V k int a k f vec v k cdot mathrm d vec a k nbsp Vektorfeld d d t V k f d V k V k f t d V k a k f v k d a k displaystyle frac mathrm d mathrm d t int V k vec f mathrm d V k int V k frac partial vec f partial t mathrm d V k int a k vec f vec v k cdot mathrm d vec a k nbsp Das Volumen V displaystyle V nbsp wird hier wie im Folgenden gross geschrieben um eine Verwechslung mit der Geschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp zu vermeiden Der Reynolds sche Transportsatz kann wie folgt interpretiert werden Die zeitliche Anderung des Inhalts einer Feldgrosse in einem variablen Kontrollvolumen setzt sich aus einem lokalen und einem konvektiven Anteil zusammen Der lokale Anteil besteht aus dem Integral uber die lokale Zeitableitung die mit der partiellen Ableitung gebildet wird und der konvektive Anteil bestimmt sich aus dem Transport der Feldgrosse uber die Grenze ak des Kontrollvolumens Mit d a k d a k n displaystyle mathrm d vec a k mathrm d vec a k vec n nbsp ist f v k n displaystyle vec f vec v k cdot vec n nbsp die Ubergangsmenge pro Zeit und Flacheneinheit BeweisFur die Raumpunkte im Volumen liege zu jeder Zeit t eine eineindeutige Parameterdarstellung x 8 t displaystyle vec x vec Theta t nbsp mit Parametern 8 0 1 3 displaystyle vec Theta in 0 1 3 nbsp vor Das Volumenelement berechnet sich dann mit dem Spatprodukt zu 1 d V k x 8 1 x 8 2 x 8 3 d 8 1 d 8 2 d 8 3 d W det x 8 1 x 8 2 x 8 3 d W det x 8 d W det J d W displaystyle begin aligned mathrm d V k amp frac partial vec x partial Theta 1 cdot left frac partial vec x partial Theta 2 times frac partial vec x partial Theta 3 right underbrace mathrm d Theta 1 mathrm d Theta 2 mathrm d Theta 3 mathrm d Omega operatorname det begin pmatrix frac partial vec x partial Theta 1 amp frac partial vec x partial Theta 2 amp frac partial vec x partial Theta 3 end pmatrix mathrm d Omega amp operatorname det left frac partial vec x partial vec Theta right mathrm d Omega operatorname det mathbf J mathrm d Omega end aligned nbsp Die Ableitung J displaystyle mathbf J nbsp des Ortes nach den Koordinaten 8 displaystyle vec Theta nbsp berechnet sich wie eine Jacobi Matrix Die Zeitableitung des Volumenintegrals einer vom Ort x displaystyle vec x nbsp und der Zeit t displaystyle t nbsp abhangigen Feldgrosse f x t displaystyle vec f vec x t nbsp uber das Volumen V k displaystyle V k nbsp lautet dann 1 d d t V k f x t d V k d d t 0 1 0 1 0 1 f x 8 t t det J d W 0 1 0 1 0 1 f x x t det J f t det J f det J J 1 J t d W V k f t grad f v k f div v k d V k displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d t int V k vec f vec x t mathrm d V k amp frac mathrm d mathrm d t int 0 1 int 0 1 int 0 1 vec f vec x vec Theta t t cdot operatorname det mathbf J mathrm d Omega amp int 0 1 int 0 1 int 0 1 left frac partial vec f partial vec x cdot frac partial vec x partial t operatorname det mathbf J frac partial vec f partial t operatorname det mathbf J vec f cdot operatorname det mathbf J left mathbf J top 1 frac partial mathbf J partial t right right mathrm d Omega amp int V k left frac partial vec f partial t operatorname grad vec f cdot vec v k vec f operatorname div vec v k right mathrm d V k end aligned nbsp denn die Ableitung der Determinante eines Tensors nach dem Tensor berechnet sich zu 1 d d T det T det T T 1 displaystyle tfrac mathrm d mathrm d mathbf T operatorname det mathbf T operatorname det mathbf T mathbf T top 1 nbsp undJ 1 J t Sp J 1 J t Sp J t J 1 Sp v k 8 d 8 d x Sp v k x div v k displaystyle begin aligned mathbf J top 1 frac partial mathbf J partial t amp operatorname Sp left mathbf J 1 cdot frac partial mathbf J partial t right operatorname Sp left frac partial mathbf J partial t cdot mathbf J 1 right operatorname Sp left frac partial vec v k partial vec Theta cdot frac mathrm d vec Theta mathrm d vec x right operatorname Sp left frac partial vec v k partial vec x right operatorname div vec v k end aligned nbsp Der Operator Sp displaystyle operatorname Sp nbsp bildet die Spur seines Arguments und die Geschwindigkeit im Kontrollvolumen ist die Zeitableitung v k t x 8 t displaystyle vec v k tfrac partial partial t vec x vec Theta t nbsp Ferner ist die Spur des Geschwindigkeitsgradienten die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes Fur ein Skalarfeld gilt entsprechend d d t V k f x t d V k V k f t grad f v k f div v k d V k displaystyle frac mathrm d mathrm d t int V k f vec x t mathrm d V k int V k left frac partial f partial t operatorname grad f cdot vec v k f operatorname div vec v k right mathrm d V k nbsp Mit der Produktregeldiv f v grad f v f div v bzw div v f grad f v div v f displaystyle operatorname div f vec v operatorname grad f cdot vec v f operatorname div vec v quad text bzw quad operatorname div vec v otimes vec f operatorname grad vec f cdot vec v operatorname div vec v vec f nbsp und dem Gauss schen Integralsatz v div f v d v a f v d a bzw v div v f d v a f v d a displaystyle int v operatorname div f vec v mathrm d v int a f vec v cdot mathrm d vec a quad text bzw quad int v operatorname div vec v otimes vec f mathrm d v int a vec f vec v cdot mathrm d vec a nbsp konnen diese Integrale weiter umgeformt werden und es ergeben sich die Resultate in der Tabelle Das Rechenzeichen displaystyle otimes nbsp bildet das dyadische Produkt In der Literatur kommt auch ein Divergenzoperator d i v displaystyle operatorname tilde div nbsp fur Tensoren vor der die Divergenz der Zeilen des Tensors bildet und nicht wie hier der Spalten Mit dem Operator gilt d i v f v grad f v div v f und v d i v f v d v a f v d a displaystyle operatorname tilde div vec f otimes vec v operatorname grad vec f cdot vec v operatorname div vec v vec f quad text und quad int v operatorname tilde div vec f otimes vec v mathrm d v int a vec f vec v cdot mathrm d vec a nbsp so dass das Endergebnis wieder ubereinstimmt Wenn die Geschwindigkeit v k displaystyle vec v k nbsp des Kontrollvolumens gleich der Geschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp der Masse ist kein Ein und Ausfluss von Materie dann geht dieser Transportsatz in den fur von der Masse transportierte Volumen aus der Tabelle uber Skalarfeld D D t V f d V V D D t f d V f D D t d V V f f div v d V V f t d V a f v d a displaystyle frac mathrm D mathrm D t int V f mathrm d V int V left frac mathrm D mathrm D t f mathrm d V f frac mathrm D mathrm D t mathrm d V right int V dot f f operatorname div vec v mathrm d V int V frac partial f partial t mathrm d V int a f vec v cdot mathrm d vec a nbsp Vektorfeld D D t V f d V V D D t f d V f D D t d V V f f div v d V V f t d V a f v d a displaystyle frac mathrm D mathrm D t int V vec f mathrm d V int V left frac mathrm D mathrm D t vec f cdot mathrm d V vec f cdot frac mathrm D mathrm D t mathrm d V right int V dot vec f vec f operatorname div vec v mathrm d V int V frac partial vec f partial t mathrm d V int a vec f vec v cdot mathrm d vec a nbsp Dies ist der Reynolds sche Transportsatz spezialisiert auf von Massen mitgefuhrten Volumina V displaystyle V nbsp Hier ist a displaystyle a nbsp die Oberflache der Masse mit nach aussen gerichtetem vektoriellem Oberflachenelement d a displaystyle mathrm d vec a nbsp Wenn die Grenzen des Kontrollvolumens und der Masse zu einem Zeitpunkt ubereinstimmen dann kann aus dem allgemeinen Reynolds schen Transportsatz und der spezialisieren letzteren Version der lokale Anteil eliminiert werden Skalarfeld D D t V f d V d d t V k f d V k a k f v v k d a k displaystyle frac mathrm D mathrm D t int V f mathrm d V frac mathrm d mathrm d t int V k f mathrm d V k int a k f vec v vec v k cdot mathrm d vec a k nbsp Vektorfeld D D t V f d V d d t V k f d V k a k f v v k d a k displaystyle frac mathrm D mathrm D t int V vec f mathrm d V frac mathrm d mathrm d t int V k vec f mathrm d V k int a k vec f vec v vec v k cdot mathrm d vec a k nbsp Die materielle Zeitableitung des Inhalts einer Feldgrosse in einem Volumen ist demnach gleich der zeitlichen Anderung im zeitabhangigen Volumen V k displaystyle V k nbsp und dem Transport uber die wandernde Flache a k displaystyle a k nbsp mit einer Durchflussmenge die von der Geschwindigkeitsdifferenz v v k displaystyle vec v vec v k nbsp zwischen den Partikeln der Masse und der Flache a k displaystyle a k nbsp in Richtung der Flachennormalen bestimmt ist Einfluss von Sprungstellen Bearbeiten nbsp Eine Sprungstelle auf der Flache as trennt zwei Raumbereiche V und V Die eingangs verlangte ortliche stetige Differenzierbarkeit des transportierten Feldes wird unter realen Verhaltnissen verletzt wenn beispielsweise Dichtesprunge an Materialgrenzen oder Stosswellen auftreten Solche flachigen Sprungstellen konnen jedoch im Transportsatz berucksichtigt werden wenn die Flache selbst ortlich stetig differenzierbar ist und so in jedem ihrer Punkte einen Normalenvektor besitzt Die Flache im folgenden Sprungstelle genannt muss keine materielle Flache sein kann sich also mit einer anderen Geschwindigkeit bewegen als die Masse selbst Durch diese Flache wird die Masse in zwei Stucke V displaystyle V nbsp und V displaystyle V nbsp geteilt und es wird vereinbart dass der Normalenvektor der Sprungstelle a s displaystyle a s nbsp in Richtung der Sprungstellengeschwindigkeit und das Volumen V displaystyle V nbsp weise siehe Bild rechts Dann ergibt sich der Transportsatz fur Falle mit Sprungstelle aus der Tabelle Skalarfeld D D t V f d V V f t d V a f v d a a s f v v s n d a s displaystyle frac mathrm D mathrm D t int V f mathrm d V int V frac partial f partial t mathrm d V int a f vec v cdot mathrm d vec a int a s f vec v vec v s cdot vec n mathrm d a s nbsp Vektorfeld D D t V f d V V f t d V a f v d a a s f v v s n d a s displaystyle frac mathrm D mathrm D t int V vec f mathrm d V int V frac partial vec f partial t mathrm d V int a vec f vec v cdot mathrm d vec a int a s vec f vec v vec v s cdot vec n mathrm d a s nbsp Der neu hinzugekommene letzte Term integriert die Sprungfunktion uber die Sprungstelle beispielsweise f v v s n f v v s n f v v s n displaystyle f vec v vec v s cdot vec n f vec v vec v s cdot vec n f vec v vec v s cdot vec n nbsp Die Grosse f displaystyle f nbsp ist der Wert des interessierenden Felds bei Annaherung an die Sprungstelle in V f displaystyle V f nbsp ist die Grosse bei Annaherung an die Sprungstelle in V displaystyle V nbsp und so macht das Feld auf der Flache a s displaystyle a s nbsp den Sprung f f f displaystyle f f f nbsp Gleiches gilt fur die Geschwindigkeit die beispielsweise bei einer Stosswelle auf beiden Seiten der Sprungstelle verschieden sein kann Die Sprungstellengeschwindigkeit v s displaystyle vec v s nbsp und die Normale n displaystyle vec n nbsp an die Sprungstelle definiert mit d a s d a s n n d a s displaystyle mathrm d vec a s mathrm d vec a s vec n vec n mathrm d a s nbsp sind auf beiden Seiten der Sprungstelle identisch Das Minuszeichen vor dem letzten Integral geht aus der Vereinbarung hervor dass die Normale an die Sprungstelle und die Sprungstellengeschwindigkeit in das Volumen V displaystyle V nbsp weisen BeweisGegeben ist eine ortlich stetig differenzierbare Flache as die sich mit der ihr eigenen Sprungstellengeschwindigkeit v s displaystyle vec v s nbsp durch die Masse hindurch bewegt siehe Bild Die Oberflache des gesamten Kontrollvolumens V die innere Flache as zahlt nicht dazu besteht aus dem zum Volumen V gehorenden Teil a und dem Komplement a und bewege sich mit der Masse mit so dass die Oberflachen materielle Flachen darstellen Nur auf der Sprungstelle habe die Oberflache der Kontrollvolumina die ihnen eigene Sprungstellengeschwindigkeit Anwendung des Reynold schen Transportsatzes in der FormD D t V f d V d d t V k f d V k a k f v v k d a k displaystyle frac mathrm D mathrm D t int V vec f mathrm d V frac mathrm d mathrm d t int V k vec f mathrm d V k int a k vec f vec v vec v k cdot mathrm d vec a k nbsp auf die beiden Teilvolumina liefertD D t V f d V d d t V k f d V k a k f v v k 0 d a k a s f v v s d a s D D t V f d V d d t V k f d V k a k f v v k d a k a s f v v s d a s displaystyle begin aligned frac mathrm D mathrm D t int V vec f mathrm d V amp frac mathrm d mathrm d t int V k vec f mathrm d V k int a k vec f underbrace vec v vec v k vec 0 cdot mathrm d vec a k int a s vec f vec v vec v s cdot mathrm d vec a s frac mathrm D mathrm D t int V vec f mathrm d V amp frac mathrm d mathrm d t int V k vec f mathrm d V k int a k vec f overbrace vec v vec v k cdot mathrm d vec a k int a s vec f vec v vec v s cdot mathrm d vec a s end aligned nbsp denn das Oberflachenelement soll immer nach aussen gerichtet sein und geht daher auf der Sprungstelle einmal mit negativem und einmal mit positivem Vorzeichen ein Die mit den geschweiften Klammern markiertenTerme verschwinden nach Voraussetzung Addition der Terme auf der linken Seite der beiden Gleichungen liefert die materielle Zeitableitung des Volumenintegrals mit Sprungstelle Fur die Summe der ersten Terme auf den rechten Seiten wird der Transportsatz fur Kontrollvolumen eingesetzt Als Resultat ergibt sich der Transportsatz fur Falle mit Sprungstelle aus der obigen Tabelle Fussnoten Bearbeiten a b c d e f g Die Frechet Ableitung einer Funktion f displaystyle f nbsp nach x displaystyle x nbsp ist der beschrankte lineare Operator A displaystyle mathcal A nbsp der sofern er existiert in alle Richtungen h displaystyle h nbsp dem Gateaux Differential entspricht also A h d d s f x s h s 0 lim s 0 f x s h f x s h displaystyle mathcal A h left frac mathrm d mathrm d s f x sh right s 0 lim s rightarrow 0 frac f x sh f x s quad forall h nbsp gilt Darin ist s R f x und h displaystyle s in mathbb R f x textsf und h nbsp skalar vektor oder tensorwertig aber x displaystyle x nbsp und h displaystyle h nbsp gleichartig Dann wird auch A f x displaystyle mathcal A frac partial f partial x nbsp geschrieben Literatur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 W H Muller Streifzuge durch die Kontinuumstheorie Springer 2011 ISBN 978 3 642 19869 4 P Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials Springer 2010 ISBN 978 3 642 07718 0 Pieter Wesseling Principles of Computational Fluid Dynamics Springer Verlag 2001Weblinks Bearbeitenhttps planetmath org reynoldstransporttheorem Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Transportsatz amp oldid 238933951 Reynolds scher Transportsatz oder Transportsatz fur Volumenintegrale
