Eine polykonvexe Funktion nach John M Ball ist in der Mathematik eine Funktion des Deformationsgradienten seines Kofaktors und seiner Determinante die in allen drei Argumenten eine konvexe Funktion ist In dieser Definition wurde ein dreidimensionaler Raum voraus gesetzt und dieser anschauliche und wichtige Fall wird auch im Folgenden zugrunde gelegt Ein reales hyperelastisches Material deformiert sich unter Krafteinwirkung so dass seine Formanderungsenergie minimiert wird Wenn die spezifische Formanderungsenergie eine polykonvexe koerzitive Funktion der Deformation ist dann garantiert das die Existenz einer die Formanderungsenergie minimierenden Deformation Fur isotrope Hyperelastizitat liegen eine Reihe von spezifischen Formanderungsenergiefunktionen vor die polykonvex und koerzitiv sind Fur den Fall anisotroper Hyperelastizitat stellte J M Ball die Frage Are there ways of verifying polyconvexity for a useful class of anisotropic stored energy functions zu Deutsch Gibt es Wege die Polykonvexitat fur eine nutzliche Klasse von anisotropen Formanderungsenergiefunktionen nachzuweisen L 1 Die Suche nach der Antwort auf diese Frage ist noch im einundzwanzigsten Jahrhundert Gegenstand der Forschung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Hooke sche isotrope lineare Elastizitat 3 Beispiele polykonvexer Funktionen 3 1 Determinante 3 2 Betrag eines Tensors 3 3 Invarianten des rechten Cauchy Green Tensors 3 4 Ogden Modell 3 5 Neo Hooke Modell mit Kompressibilitat 3 6 Mooney Rivlin Modell mit Kompressibilitat 4 Beispiel 5 Fussnoten 6 Siehe auch 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei die Menge L V V der Tensoren zweiter Stufe die Vektoren aus dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum V linear aufeinander abbilden Sei P die Menge der Tensoren mit positiver Determinante Eine Funktion W F P R displaystyle hat W mathbf F colon P to mathbb R nbsp ist polykonvex wenn es eine konvexe Funktion W F cof F det F L L 0 R displaystyle W mathbf F operatorname cof mathbf F operatorname det mathbf F colon L times L times 0 infty to mathbb R nbsp gibt fur die gilt W F W F cof F det F fur alle F P displaystyle hat W mathbf F W mathbf F operatorname cof mathbf F operatorname det mathbf F quad text fur alle quad mathbf F in P nbsp Der Kofaktor eines Tensors mit positiver Determinante ist die transponierte Adjunkte cof F det F F 1 displaystyle operatorname cof mathbf F operatorname det mathbf F mathbf F top 1 nbsp Das Superskript steht fur die Transposition und 1 fur die Inverse Anmerkungen Die Summe zweier polykonvexer Funktionen ist wieder polykonvex Der Deformationsgradient ubliches Formelzeichen F ist ein Tensor zweiter Stufe mit positiver Determinante Bei Nicht Deformation ist der Deformationsgradient gleich dem Einheitstensor 1 Die konvexe Hulle der Menge P der Tensoren mit positiver Determinante ist die Menge L aller Tensoren F 1 Darauf aufbauend kann gezeigt werden dass die Menge L L 0 displaystyle L times L times 0 infty nbsp die konvexe Hulle der Menge F cof F det F L L R F P displaystyle mathbf F operatorname cof mathbf F operatorname det mathbf F in L times L times mathbb R mathbf F in P nbsp ist Statt Tensoren zweiter Stufe konnen ganz analog auch Matrizen zugrunde gelegt werden L 2 Hooke sche isotrope lineare Elastizitat BearbeitenDie spezifische Formanderungsenergie im Hooke schen Gesetz lautet bei Isotropie W E l 2 Sp E 2 m Sp E E mit E 1 2 F F I displaystyle breve W mathbf E frac lambda 2 operatorname Sp mathbf E 2 mu operatorname Sp mathbf E cdot E quad text mit quad mathbf E frac 1 2 mathbf F top cdot F I nbsp Sie wird mit dem Green Lagrange schen Verzerrungstensor E gebildet und enthalt zwei Materialparameter l und m die die erste bzw zweite Lame Konstante darstellen Diese spezifische Formanderungsenergie ist nicht polykonvex siehe auch das Beispiel unten In der Funktion W F a F 2 b cof F 2 k det F 3 a 3 b c mit k x c x 2 d ln x displaystyle hat W mathbf F a mathbf F 2 b operatorname cof mathbf F 2 k operatorname det mathbf F 3a 3b c quad text mit quad k x cx 2 d ln x nbsp konnen jedoch die Parameter a b c d R gt 0 displaystyle a b c d in mathbb R gt 0 nbsp so angepasst werden dass Ŵ die spezifische Formanderungsenergie im Hooke schen Gesetz bis auf Terme dritter Ordnung in E gemass W F W E O E 3 displaystyle hat W mathbf F breve W mathbf E mathcal O mathbf E 3 nbsp approximiert und polykonvex ist Der Betrag eines Tensors ist hier seine Frobeniusnorm displaystyle cdot nbsp die mit dem Frobenius Skalarprodukt zweier Tensoren A und B definiert ist A B Sp A B und A A A displaystyle mathbf A mathbf B operatorname Sp mathbf A top cdot B quad text und quad mathbf A sqrt mathbf A mathbf A nbsp Der Operator Sp bildet die Spur seines Argumentes die Funktion ln ist der naturliche Logarithmus und das Landau Symbol O x 3 displaystyle mathcal O x 3 nbsp steht fur Terme die x in mindestens dritter Ordnung enthalten und bei x 1 displaystyle x ll 1 nbsp vernachlassigt werden konnen Mit einer beliebigen Wahl von x aus dem offenen Intervall 0 1 lauten die Parameter a m 2 l 4 1 x b l 4 1 x c l 4 x d m l 2 displaystyle a frac mu 2 frac lambda 4 1 x quad b frac lambda 4 1 x quad c frac lambda 4 x quad d mu frac lambda 2 nbsp Mit diesen Parametern erfullt die Funktion Ŵ auch die Koerzitivitatsbedingung L 3 W F a F 2 cof F 2 det F 2 b a gt 0 displaystyle hat W mathbf F geq alpha mathbf F 2 operatorname cof mathbf F 2 operatorname det mathbf F 2 beta alpha gt 0 nbsp Beispiele polykonvexer Funktionen BearbeitenDie Summe zweier polykonvexer Funktionen ist wieder polykonvex So lassen sich komplexe polykonvexe Funktionen durch Summation aus einfachen zusammensetzen von denen einige hier angegeben seien Determinante Bearbeiten Der Spezialfall F l l 2 1 1 1 l 1 2 1 det F l 2 l l 2 displaystyle mathbf F lambda lambda begin pmatrix 2 amp amp amp 1 amp amp amp 1 end pmatrix 1 lambda begin pmatrix 1 amp amp amp 2 amp amp amp 1 end pmatrix quad rightarrow quad operatorname det mathbf F lambda 2 lambda lambda 2 nbsp zeigt dass die Determinante keine konvexe Funktion ist Nichtsdestotrotz ist die Funktion W F W det F det F displaystyle hat W mathbf F W operatorname det mathbf F operatorname det mathbf F nbsp polykonvex weil W x x eine konvexe Funktion von x ist und dem tut auch x det F keinen Abbruch Betrag eines Tensors Bearbeiten Die Funktion W F W F F displaystyle hat W mathbf F W mathbf F mathbf F nbsp ist polykonvex weil der Betrag eines Tensors wegen H H H G H H H G H H G cos H G G cos H G G displaystyle mathbf H frac mathbf H mathbf H mathbf G H frac mathbf H mathbf H mathbf G left frac mathbf H mathbf H right mathbf G cos angle mathbf H G mathbf G cos angle mathbf H G leq mathbf G nbsp eine konvexe Funktion ist Durch das oben definierte Frobenius Skalarprodukt der Addition und Skalarmultiplikation von Tensoren bilden die Tensoren einen Skalarproduktraum in dem der Winkel H G zwischen zwei Elementen H und G des Skalarproduktraums durch das Skalarprodukt definiert ist In der Ungleichung oben wurde neben der Tatsache dass der Cosinus cos eines Winkels kleiner oder gleich eins ist ausgenutzt dass in konvexen Funktionen f h f h g h f g displaystyle f h f h g h leq f g nbsp gilt und hier F 2 W H d W H d H H H displaystyle W mathbf H frac mathrm d W mathbf H mathrm d mathbf H frac mathbf H mathbf H nbsp einzusetzen ist Das Betragsquadrat F ist als Positivkombination von zwei konvexen Funktionen ebenfalls konvex Als Konsequenz hieraus ist die Funktion W F W F cof F det F a F 2 b cof F 2 k det F displaystyle hat W mathbf F W mathbf F operatorname cof mathbf F operatorname det mathbf F a mathbf F 2 b operatorname cof mathbf F 2 k operatorname det mathbf F nbsp mit a b gt 0 displaystyle a b gt 0 nbsp und einer konvexen Funktion k x 0 R displaystyle k x colon 0 infty to mathbb R nbsp polykonvex L 4 Invarianten des rechten Cauchy Green Tensors Bearbeiten Der rechte Cauchy Green Tensor C F F bildet sich aus dem Deformationsgradienten F und besitzt die Hauptinvarianten I 1 C Sp C Sp F F F F F 2 I 2 C S p c o f C S p c o f F cof F cof F 2 I 3 C det C det F F det F 2 displaystyle begin array rclclcl operatorname I 1 mathbf C amp amp operatorname Sp mathbf C amp amp operatorname Sp mathbf F top cdot F mathbf F mathbf F amp amp mathbf F 2 operatorname I 2 mathbf C amp amp operatorname Sp cof mathbf C amp amp operatorname Sp cof mathbf F top cdot operatorname cof mathbf F amp amp operatorname cof mathbf F 2 operatorname I 3 mathbf C amp amp operatorname det mathbf C amp amp operatorname det mathbf F top cdot F amp amp operatorname det mathbf F 2 end array nbsp Die Hauptinvarianten des rechten Cauchy Green Tensors geben die Masse der Linien Flachen und Volumenelemente bei einer Deformation an und sind polykonvexe Funktionen weil das Betragsquadrat eines Tensors eine polykonvexe Funktion des Tensors ist Ogden Modell Bearbeiten Die Funktion W F i 1 m a i v 1 g i v 2 g i v 3 g i j 1 n b j v 2 v 3 d j v 3 v 1 d j v 1 v 2 d j k det F w displaystyle hat W mathbf F sum i 1 m a i left v 1 gamma i v 2 gamma i v 3 gamma i right sum j 1 n b j left v 2 v 3 delta j v 3 v 1 delta j v 1 v 2 delta j right k operatorname det mathbf F w nbsp die mit den samtlich positiven Eigenwerten v 1 2 3 displaystyle v 1 2 3 nbsp des rechten Strecktensors U F F displaystyle mathbf U sqrt mathbf F top F nbsp gebildet wird ist polykonvex wenn die Koeffizienten ai und bj positiv sind die Exponenten gi und dj grosser oder gleich eins sind und k x fur positive Argumente x eine konvexe Funktion ist Die Konstante w ist so anzupassen dass Ŵ 1 verschwindet Dann genugt Ŵ auch der Koerzitivitatsbedingung W F a F p cof F q k det F b mit a gt 0 p max i g i q max j d j displaystyle hat W mathbf F geq alpha mathbf F p operatorname cof mathbf F q k operatorname det mathbf F beta quad text mit quad alpha gt 0 p max i gamma i q max j delta j nbsp Die Funktion eines Tensors beispielsweise seine Wurzel berechnet sich mit der Hauptachsentransformation des Tensors Bildung der Funktionswerte der Diagonalglieder und Rucktransformation Mit dem rechten Strecktensor schreibt sich obige Funktion W F i 1 m a i Sp U g i j 1 n b j Sp cof U d j k det F w displaystyle hat W mathbf F sum i 1 m a i operatorname Sp mathbf U gamma i sum j 1 n b j operatorname Sp left operatorname cof mathbf U delta j right k operatorname det mathbf F w nbsp Diese spezifische Formanderungsenergie definiert das Ogden Modell L 5 Neo Hooke Modell mit Kompressibilitat Bearbeiten Die spezifische Formanderungsenergie W F a F 2 k det F w mit a gt 0 displaystyle hat W mathbf F a mathbf F 2 k operatorname det mathbf F w quad text mit quad a gt 0 nbsp ist polykonvex wenn k x fur positive Argumente x eine konvexe Funktion ist Die Konstante w ist so anzupassen dass Ŵ 1 verschwindet Das Betragsquadrat des Deformationsgradienten ist wie oben gezeigt die erste Hauptinvariante Spur des rechten Cauchy Green Tensors L 6 Mooney Rivlin Modell mit Kompressibilitat Bearbeiten Die spezifische Formanderungsenergie W F a F 2 b cof F 2 k det F w mit k x c x 2 d ln x und a b c d gt 0 displaystyle hat W mathbf F a mathbf F 2 b operatorname cof mathbf F 2 k operatorname det mathbf F w quad text mit quad k x cx 2 d ln x quad text und quad a b c d gt 0 nbsp ist polykonvex wenn k x fur positive Argumente x eine konvexe Funktion ist Die Konstante w ist so anzupassen dass Ŵ 1 verschwindet Das Betragsquadrat des Deformationsgradienten und seines Kofaktors sind wie oben gezeigt die erste und zweite Hauptinvariante des rechten Cauchy Green Tensors L 7 Beispiel Bearbeiten nbsp Ein Zylinder schwarz wird von einer Kraft F um den Betrag u gedehnt rot Ein homogener Zylinder mit Lange L Querschnittsflache A und Volumen V AL aus einem hyperelastischen Material wird wie im Bild mit einer Kraft F einachsial auf Zug oder Druck belastet Wegen der Achsensymmetrie werden Zylinderkoordinaten R und Z benutzt Der Zusammenhang zwischen den ursprunglichen Koordinaten eines materiellen Punktes R Z und den aktuellen r z lautet mit den Streckungen a in z Richtung und b in radialer Richtung r z x R Z t b R a Z v u r z R Z b 1 R a 1 Z displaystyle begin pmatrix r z end pmatrix vec chi R Z t begin pmatrix beta R alpha Z end pmatrix quad rightarrow quad begin pmatrix v u end pmatrix begin pmatrix r z end pmatrix begin pmatrix R Z end pmatrix begin pmatrix beta 1 R alpha 1 Z end pmatrix nbsp Der Vektor mit den Komponenten u und v stellt die Verschiebungen eines materiellen Punktes in z bzw r Richtung dar Der Deformationsgradient und der Green Lagrange sche Verzerrungstensor ergeben sich zu F GRAD x e r b R R e r b R R e f e f e z a Z Z e z b b a E 1 2 F F I 1 2 b 2 1 b 2 1 a 2 1 e r e r e z e r b 2 1 2 e z a 2 1 2 Sp E 2 e r e z Sp E E 2 e r 2 e z 2 displaystyle begin aligned mathbf F amp operatorname GRAD vec chi hat e r otimes frac partial beta R partial R hat e r frac beta R R hat e varphi otimes hat e varphi hat e z otimes frac partial alpha Z partial Z hat e z begin pmatrix beta amp amp amp beta amp amp amp alpha end pmatrix mathbf E amp frac 1 2 mathbf F top cdot F I frac 1 2 begin pmatrix beta 2 1 amp amp amp beta 2 1 amp amp amp alpha 2 1 end pmatrix begin pmatrix varepsilon r amp amp amp varepsilon r amp amp amp varepsilon z end pmatrix rightarrow amp varepsilon r frac beta 2 1 2 quad varepsilon z frac alpha 2 1 2 quad operatorname Sp mathbf E 2 varepsilon r varepsilon z quad operatorname Sp mathbf E cdot E 2 varepsilon r 2 varepsilon z 2 end aligned nbsp Der Gradient GRAD wird hier mit Ableitungen nach den materiellen Koordinaten R Z gebildet und deshalb gross geschrieben Die Matrizendarstellungen beziehen sich auf das Basissystem e r f z displaystyle hat e r varphi z nbsp Beim Hooke schen Gesetz lautet der Spannungstensor im einachsialen Zug T l Sp E 1 2 m E 0 0 s z l 2 e r e z 1 1 1 2 m e r e r e z displaystyle tilde mathbf T lambda operatorname Sp mathbf E mathbf 1 2 mu mathbf E begin pmatrix 0 amp amp amp 0 amp amp amp tilde sigma z end pmatrix lambda 2 varepsilon r varepsilon z begin pmatrix 1 amp amp amp 1 amp amp amp 1 end pmatrix 2 mu begin pmatrix varepsilon r amp amp amp varepsilon r amp amp amp varepsilon z end pmatrix nbsp Die radiale Normalspannung verschwindet mit der Konsequenz 0 l 2 e r e z 2 m e r 2 l m e r l e z e r l 2 l m e z n e z displaystyle 0 lambda 2 varepsilon r varepsilon z 2 mu varepsilon r 2 lambda mu varepsilon r lambda varepsilon z quad rightarrow quad varepsilon r frac lambda 2 lambda mu varepsilon z nu varepsilon z nbsp Die Zusammenhange zwischen den elastischen Konstanten l m n und E konnen bei den Lame Konstanten nachgeschlagen werden Die Formanderungsarbeit ist das Volumenintegral uber die im Volumen konstante spezifische Formanderungsenergie W i V W E d V V l 2 Sp E 2 m Sp E E V l 2 2 e r e z 2 m 2 e r 2 e z 2 E V 2 e z 2 displaystyle W i int V breve W mathbf E mathrm d V V left frac lambda 2 operatorname Sp mathbf E 2 mu operatorname Sp mathbf E cdot E right V left frac lambda 2 2 varepsilon r varepsilon z 2 mu 2 varepsilon r 2 varepsilon z 2 right frac EV 2 varepsilon z 2 nbsp nbsp Kraft Streckungs Diagramm bei einem Zylinder aus linear elastischem MaterialAus der Gleichheit mit der Arbeit der Kraft ergibt sich d W i E V e z d e z E V 2 a 2 1 a d a d W e F d u F L d a F E V 2 L a 2 1 a E A 2 a 2 1 a displaystyle begin aligned mathrm d W i amp EV varepsilon z mathrm d varepsilon z frac EV 2 alpha 2 1 alpha mathrm d alpha mathrm d W e F mathrm d u FL mathrm d alpha rightarrow F amp frac EV 2L alpha 2 1 alpha frac EA 2 alpha 2 1 alpha end aligned nbsp Der Kraftverlauf ist im Bild dargestellt Im Zugbereich I und im Druckbereich II findet sich zu jeder Kraft eine Streckung a so dass das System im Gleichgewicht ist Im Bereich III ist das System instabil Bei einer Belastung mit F lt E A 3 3 0 192 E A displaystyle F lt tfrac EA 3 sqrt 3 0 192 EA nbsp wurde der Stab sein mathematisches Modell kein Gleichgewicht finden und auf null Lange kollabieren was naturlich unphysikalisch ist nbsp Kraft Streckungs Diagramm bei einem Zylinder aus Neo Hooke schem Material K E Im Neo Hooke Modell lautet der erste Piola Kirchhoff sche Spannungstensor P und der Cauchy sche Spannungstensor s displaystyle boldsymbol sigma nbsp wenn a E und k x 2 K E x 2 K x 1 displaystyle k x 2 K E x 2Kx 1 nbsp mit einem weiteren Materialparameter K E ist P W F 2 E F 2 K E K det F 2 det F F 1 s 1 det F P F 2 E 1 a 1 a a b 2 2 K E K a 2 b 4 1 1 1 displaystyle begin aligned mathbf P amp frac partial hat W partial mathbf F 2E mathbf F 2 K E K operatorname det mathbf F 2 operatorname det mathbf F mathbf F top 1 rightarrow boldsymbol sigma amp frac 1 operatorname det mathbf F mathbf P cdot F top 2E begin pmatrix frac 1 alpha amp amp amp frac 1 alpha amp amp amp frac alpha beta 2 end pmatrix 2 left K E frac K alpha 2 beta 4 right begin pmatrix 1 amp amp amp 1 amp amp amp 1 end pmatrix end aligned nbsp Weil die radialen Spannungen verschwinden ergibt sich fur die radiale Streckung b E a K E K a 2 b 4 0 b a 1 2 1 E K 1 a a 1 4 displaystyle frac E alpha K E frac K alpha 2 beta 4 0 quad rightarrow quad beta alpha frac 1 2 left 1 frac E K frac 1 alpha alpha right frac 1 4 nbsp Der Parameter w in der Formanderungsenergie wird so angepasst dass die Formanderungsenergie im undeformierten Ausgangszustand bei F 1 verschwindet W 1 E 1 2 2 K 2 E det 1 2 K det 1 w 0 w E 4 K displaystyle hat W mathbf 1 E mathbf 1 2 2K 2E operatorname det mathbf 1 frac 2K operatorname det mathbf 1 w 0 quad rightarrow quad w E 4K nbsp Die Formanderungsenergie berechnet sich damit zu W i V E F 2 2 K E det F 2 K det F w d V V E a 2 2 b 2 2 K E a b 2 2 K a b 2 E 4 K displaystyle begin aligned W i amp int V left E mathbf F 2 2 K E operatorname det mathbf F frac 2K operatorname det mathbf F w right mathrm d V amp V left E alpha 2 2 beta 2 2 K E alpha beta 2 frac 2K alpha beta 2 E 4K right end aligned nbsp und Gleichgewicht mit der Einzelkraft F gemass dWi dWe erbringt bei K E siehe Bild rechts 0 E a 2 d a E a 4 b 8 2 a d a 4 b 3 d b d b a b 5 4 1 2 b 3 a d a d W i 2 E V a 1 a 2 b 2 d a 4 E V b 1 a b 4 d b d W e F L d a F 2 E A a 1 a 2 b 2 4 E A b 1 a b 4 a b 5 4 1 2 b 3 a displaystyle begin aligned 0 amp frac E alpha 2 mathrm d alpha frac E alpha 4 beta 8 2 alpha mathrm d alpha 4 beta 3 mathrm d beta quad rightarrow quad mathrm d beta left frac alpha beta 5 4 frac 1 2 beta 3 right alpha mathrm d alpha mathrm d W i amp 2EV left alpha frac 1 alpha 2 beta 2 right mathrm d alpha 4EV left beta frac 1 alpha beta 4 right mathrm d beta mathrm d W e FL mathrm d alpha rightarrow F amp 2EA left alpha frac 1 alpha 2 beta 2 right 4EA left beta frac 1 alpha beta 4 right left frac alpha beta 5 4 frac 1 2 beta 3 right alpha end aligned nbsp Hier findet sich also zu jedem Kraftniveau eine dazugehorende Streckung und das Material ist in allen Bereichen stabil Fussnoten Bearbeiten Um das zu zeigen ist zunachst festzustellen dass der negative Einheitstensor Element der konvexen Hulle ist beispielsweise anhand von 1 1 2 3 1 1 1 2 1 3 1 und 3 1 1 1 3 1 3 gt 0 displaystyle mathbf 1 frac 1 2 begin pmatrix 3 amp amp amp 1 amp amp amp 1 end pmatrix frac 1 2 begin pmatrix 1 amp amp amp 3 amp amp amp 1 end pmatrix quad text und quad begin vmatrix 3 amp amp amp 1 amp amp amp 1 end vmatrix begin vmatrix 1 amp amp amp 3 amp amp amp 1 end vmatrix 3 gt 0 nbsp Weiterhin ist die Determinante des Tensors B l 1 2A fur einen beliebigen Tensor A ein Polynom dritten Grades in l weswegen ein positives l so gefunden werden kann dass det B gt 0 ist und B dann auch in der konvexen Hulle liegt Das gleiche gilt dann aber auch fur den beliebig wahlbaren Tensor A denn A l 1 2A l 1 Die Frechet Ableitung einer skalaren Funktion f T displaystyle f mathbf T nbsp nach einem Tensor T displaystyle mathbf T nbsp ist der Tensor A displaystyle mathbf A nbsp fur den sofern er existiert gilt A H d d s f T s H s 0 lim s 0 f T s H f T s H displaystyle mathbf A mathbf H left frac mathrm d mathrm d s f mathbf T s mathbf H right s 0 lim s rightarrow 0 frac f mathbf T s mathbf H f mathbf T s quad forall mathbf H nbsp Darin ist s R displaystyle s in mathbb R nbsp und das Frobenius Skalarprodukt Dann wird auch f T A displaystyle frac partial f partial mathbf T mathbf A nbsp geschrieben Siehe auch BearbeitenFormelsammlung Tensoralgebra Formelsammlung TensoranalysisLiteratur BearbeitenJ M Ball Convexity conditions and existence theorems in non linear elasticity In Archive for Rational Mechanics and Analysis Band 63 1977 S 337 403 P G Ciarlet Mathematical Elasticity Volume I Three Dimensional Elasticity North Holland 1988 ISBN 0 444 70259 8 Einzelnachweise Bearbeiten Paul Newton Philip Holmes Hrsg Geometry Mechanics and Dynamics Springer 2002 ISBN 978 0 387 95518 6 S 3 59 Der Beitrag von J M Ball hat den Titel Some open problems in elasticity Einige offene Probleme in der Elastizitat Ciarlet 1988 S 162 Ciarlet 1988 S 185ff Ciarlet 1988 S 176 Ciarlet 1988 S 181ff Ciarlet 1988 S 189 Ciarlet 1988 S 189 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polykonvexe Funktion amp oldid 194117320
