In der Mathematik ist die lambertsche W Funktion oder Lambert W Funktion auch Omegafunktion oder Produktlogarithmus benannt nach Johann Heinrich Lambert die Umkehrfunktion vonDer Graph von W x fur W gt 4 und x lt 6 Der obere Zweig W 1 ist die Funktion W0 principal branch der untere Zweig mit W 1 ist die Funktion W 1 f x x e x displaystyle f colon x mapsto x mathrm e x wobei e x displaystyle e x die Exponentialfunktion ist Die lambertsche W Funktion wird meistens mit W x displaystyle W x bezeichnet Es gilt z W z e W z W z e z z C displaystyle z W z mathrm e W z W z mathrm e z z in mathbb C 1 Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Im Reellen 1 2 Im Komplexen 2 Spezielle Werte 3 Integrale 3 1 Integraldarstellungen der Lambertschen W Funktion 3 2 Integrale mit der Lambertschen W Funktion 4 Verwendung ausserhalb der Kombinatorik 4 1 Verallgemeinerungen 5 Beziehung zu anderen Funktionen 5 1 Hypergeometrische Funktionen 5 2 Fox H Funktion 6 Numerische Berechnung 7 Tabelle reeller Funktionswerte 8 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenIm Reellen Bearbeiten nbsp Die zwei Funktionsaste W 0 displaystyle W 0 nbsp und W 1 displaystyle W 1 nbsp Da die Funktion f displaystyle f nbsp auf dem Intervall 0 displaystyle left infty 0 right nbsp nicht injektiv ist besitzt die lambertsche W Funktion auf dem Intervall 1 e 0 displaystyle left tfrac 1 mathrm e 0 right nbsp zwei Funktionsaste W 0 x displaystyle W 0 x nbsp und W 1 x displaystyle W 1 x nbsp Mit W x displaystyle W x nbsp wird aber in der Regel der obere der Aste bezeichnet Die W Funktion kann nicht als elementare Funktion ausgedruckt werden Zumeist wird sie in der Kombinatorik verwendet beispielsweise zur Auswertung von Baumen oder zur asymptotischen Bestimmung der Bell Zahlen Die Ableitungsfunktion eines Astes der W Funktion kann mit Hilfe der Umkehrregel der Differentialrechnung gefunden werden an der Stelle 1 e displaystyle 1 e nbsp existiert die Ableitung nicht ihr Betrag wachst bei hinreichender Annaherung an diese Stelle in jedem Ast uber alle Schranken W x W x x 1 W x fur x gt 1 e x 0 displaystyle W x frac W x x 1 W x text fur x gt frac 1 mathrm e x neq 0 nbsp sowie W 0 0 1 displaystyle W 0 0 1 nbsp fur den oberen Ast der untere Ast ist fur x 0 displaystyle x geq 0 nbsp gar nicht definiert Die Ableitungen hoherer Ordnung haben die Form d n W x d x n 1 n 1 W n x x n 1 W x 2 n 1 P n W x displaystyle frac mathrm d n W x mathrm d x n frac 1 n 1 W n x x n 1 W x 2n 1 cdot P n W x nbsp wobei die P n displaystyle P n nbsp Polynome sind die sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen P n 1 t n t 3 n 1 P n t t 1 P n t n 1 displaystyle P n 1 t nt 3n 1 cdot P n t t 1 cdot P n t quad n geq 1 nbsp Ausgehend von P 1 t 1 displaystyle P 1 t 1 nbsp ergeben sich damit die nachsten drei Ableitungen zu W x W 2 x x 2 1 W x 3 W x 2 W 3 x W 3 x x 3 1 W x 5 2 W 2 x 8 W x 9 W 4 x W 4 x x 4 1 W x 7 6 W 3 x 36 W 2 x 79 W x 64 displaystyle begin aligned W x amp frac W 2 x x 2 1 W x 3 cdot W x 2 W 3 x amp frac W 3 x x 3 1 W x 5 cdot 2W 2 x 8W x 9 W 4 x amp frac W 4 x x 4 1 W x 7 cdot 6W 3 x 36W 2 x 79W x 64 end aligned nbsp Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des ganzen Integranden W x d x x W x 1 1 W x C displaystyle int W x mathrm d x x left W x 1 frac 1 W x right C nbsp Durch implizites Differenzieren kann man zeigen dass W displaystyle W nbsp folgender Differentialgleichung genugt z 1 W d W d z W mit z 1 e displaystyle z 1 W frac mathrm d W mathrm d z W quad text mit z neq frac 1 e nbsp Die Taylor Reihe von W displaystyle W nbsp um x 0 0 displaystyle x 0 0 nbsp ist durch folgende Formel gegeben W x n 1 n n 1 n x n x x 2 3 2 x 3 8 3 x 4 125 24 x 5 displaystyle W x sum n 1 infty frac n n 1 n x n x x 2 frac 3 2 x 3 frac 8 3 x 4 frac 125 24 x 5 ldots nbsp Der Konvergenzradius betragt 1 e displaystyle tfrac 1 mathrm e nbsp Folgende zwei Funktionen haben ebenso Taylor Reihen in diesem Muster W x 1 W x n 1 n n 1 n 1 x n x 2 x 2 9 2 x 3 32 3 x 4 625 24 x 5 displaystyle frac W x 1 W x sum n 1 infty frac n n 1 n 1 x n x 2x 2 frac 9 2 x 3 frac 32 3 x 4 frac 625 24 x 5 ldots nbsp 1 1 x 1 W x n 1 n n 1 n 1 n 1 x n 1 2 x 2 3 x 2 9 8 x 3 32 15 x 4 625 144 x 5 displaystyle 1 frac 1 x frac 1 W x sum n 1 infty frac n n 1 n 1 n 1 x n frac 1 2 x frac 2 3 x 2 frac 9 8 x 3 frac 32 15 x 4 frac 625 144 x 5 ldots nbsp Im Komplexen Bearbeiten nbsp Der Hauptzweig der W Funktion auf der komplexen Zahlenebene Man beachte den Bruch entlang der negativen reellen Halbachse ab e 1 displaystyle e 1 nbsp Die Koordinaten eines Punkts beschreiben Real und Imaginarteil des Arguments die Helligkeit beschreibt den Betrag und der Farbton die Phase des Ergebnisses nbsp Radius des Hauptzweigs der W Funktion als Hohe Farbton die PhaseFur jedes k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp gibt es einen Zweig der W Funktion wobei k 0 displaystyle k 0 nbsp und k 1 displaystyle k 1 nbsp die oben genannten reellen Zweige darstellen Der Hauptzweig W 0 displaystyle W 0 nbsp ist insofern besonders als er auf der gesamten komplexen Zahlenebene definiert ist alle anderen Zweige Nebenzweige haben eine Definitionslucke bei z 0 displaystyle z 0 nbsp Konkret gilt W 0 0 0 displaystyle W 0 0 0 nbsp und lim z 0 W k z displaystyle lim z to 0 W k z infty nbsp fur alle k 0 displaystyle k neq 0 nbsp Dieses Verhalten ist im Diagramm oben fur die reellen Falle exemplarisch ersichtlich Die Verzweigungsstelle fur den Hauptzweig ist bei z 1 e displaystyle z tfrac 1 e nbsp die sich uber den Rest der negativen Halbachse in Richtung displaystyle infty nbsp erstreckt Diese Verzweigung trennt den Hauptzweig von den Nebenzweigen W 1 displaystyle W 1 nbsp und W 1 displaystyle W 1 nbsp Auf den Nebenzweigen beginnt die Verzweigung bereits bei z 0 displaystyle z 0 nbsp und setzt sich wie beim Hauptzweig in Richtung displaystyle infty nbsp fort Alle Zweige sind injektiv und ihre Wertebereiche sind disjunkt Aufgefasst als Funktion mit zwei Parametern aus Z displaystyle mathbb Z nbsp und C displaystyle mathbb C nbsp hat die W Funktion die gesamte komplexe Zahlenebene als Wertebereich Das Bild der reellen Achse ist die Vereinigung der reellen Achse mit der Quadratrix des Hippias der fur t R k p k Z 0 displaystyle t in mathbb R setminus k pi mid k in mathbb Z setminus 0 nbsp definierten parametrischen Kurve w t t cot t i t displaystyle w t t cot t it nbsp wobei man unter w 0 displaystyle w 0 nbsp den Grenzwert lim t 0 w t 1 displaystyle lim t to 0 w t 1 nbsp versteht wodurch w displaystyle w nbsp an der Stelle t 0 displaystyle t 0 nbsp stetig fortgesetzt wird Spezielle Werte BearbeitenW p 2 i p 2 displaystyle W left frac pi 2 right frac mathrm i pi 2 nbsp W 1 e 1 displaystyle W left frac 1 e right 1 nbsp W ln 2 2 ln 2 displaystyle W left frac ln 2 2 right ln 2 nbsp W 0 0 displaystyle W left 0 right 0 nbsp W 1 0 567 1432904 W displaystyle W left 1 right 0 5671432904 dots Omega nbsp die Omega Konstante W e 1 displaystyle W left mathrm e right 1 nbsp Integrale BearbeitenIntegraldarstellungen der Lambertschen W Funktion Bearbeiten Der Kehrwert des Nachfolgers 2 von der Lambertschen W Funktion hat diese Integraldarstellung 1 1 W x 1 x exp y y 2 p 2 d y displaystyle frac 1 1 W x int infty infty frac 1 bigl x exp y y bigr 2 pi 2 mathrm d y nbsp Die Lambertsche W Funktion direkt hat diese 3 4 5 Integralidentitaten W x 1 p 1 y 2 1 ln 1 x exp y arccot y y 2 1 arccot y d y displaystyle W x frac 1 pi int infty infty frac 1 y 2 1 ln biggl 1 frac x exp bigl y operatorname arccot y bigr sqrt y 2 1 operatorname arccot y biggr mathrm d y nbsp Die kanadischen Mathematiker German Kalugin David Jeffrey und Robert Corless entdeckten einige Formeln fur die Integralrepresentation der Lambertschen W Funktion und hielten diese Formeln in ihrer gemeinsamen Arbeit Stieltjes Poisson and other integral representations for functions of Lambert W fest Dieser Zusammenhang wurde danach in erweiterter Form von dem ungarischen Mathematiker Istvan Mezo entdeckt Er schrieb in seinem Werk An integral representation for the Lambert W function die Herleitung fur die Integraldarstellung der Lambertschen W Funktion nieder Integrale mit der Lambertschen W Funktion Bearbeiten Integrale mit der Lambertschen Funktion aus einer inneren Funktion 0 W 1 x 2 d x 2 p displaystyle int 0 infty W left frac 1 x 2 right mathrm d x sqrt 2 pi nbsp 0 p W 2 cot 2 x sec 2 x d x 16 p displaystyle int 0 pi W left 2 cot 2 x right sec 2 x mathrm d x sqrt 16 pi nbsp Integrale von Produkten aus der Lambertschen Funktion und gebrochen rationalen Funktionen 0 W x x x d x 8 p displaystyle int 0 infty frac W x x sqrt x mathrm d x sqrt 8 pi nbsp 0 W x x x 3 d x 3 5 3 G 2 3 displaystyle int 0 infty frac W x x sqrt 3 x mathrm d x 3 5 3 Gamma tfrac 2 3 nbsp 0 W x x x 4 d x 2 7 2 G 3 4 displaystyle int 0 infty frac W x x sqrt 4 x mathrm d x 2 7 2 Gamma tfrac 3 4 nbsp 0 W x x x 5 d x 5 9 5 G 4 5 displaystyle int 0 infty frac W x x sqrt 5 x mathrm d x 5 9 5 Gamma tfrac 4 5 nbsp Dabei wird mit dem G displaystyle Gamma nbsp die Gammafunktion zum Ausdruck gebracht Verwendung ausserhalb der Kombinatorik BearbeitenDie lambertsche W Funktion kann gebraucht werden um Gleichungen vom Typus a x e a x y displaystyle a x mathrm e a x y nbsp zu losen a x displaystyle a x nbsp ist ein beliebiger von x displaystyle x nbsp abhangiger Ausdruck Auch die Gleichung x x z displaystyle x x z nbsp kann mit Hilfe der lambertschen W Funktion gelost werden Die Losung lautet x ln z W ln z exp W ln z displaystyle x frac ln z W ln z exp left W ln z right nbsp Der unendliche Potenzturm x x x x displaystyle x uparrow uparrow infty x x x cdot cdot cdot nbsp kann an den konvergenten Stellen mit der W Funktion in geschlossene Form gebracht werden x W ln 1 x ln 1 x displaystyle x uparrow uparrow infty frac W ln frac 1 x ln frac 1 x nbsp Verallgemeinerungen Bearbeiten Mit Hilfe der normalen lambertschen W Funktion lassen sich die exakten Losungen transzendenter algebraischer Gleichungen in x folgender Form ausdrucken e c x a 0 x r 1 displaystyle mathrm e cx a 0 x r quad qquad qquad qquad quad 1 nbsp mit reellen Konstanten a 0 c displaystyle a 0 c nbsp und r displaystyle r nbsp Die Losung ist x r 1 c W c e c r a 0 displaystyle x r frac 1 c W left frac c mathrm e cr a 0 right nbsp Verallgemeinerungen der lambertschen W Funktion umfassen 6 7 8 Eine Anwendung auf dem Gebiet der allgemeinen Relativitatstheorie und der Quantenmechanik Quantengravitation in niedrigeren Dimensionen die eine zuvor unbekannte Verknupfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte siehe Journal of Classical and Quantum Gravity 9 wobei die rechte Seite von Gleichung 1 nun ein quadratisches Polynom in x displaystyle x nbsp ist e c x a 0 x r 1 x r 2 2 displaystyle mathrm e cx a 0 x r 1 x r 2 qquad qquad 2 nbsp dd Hierbei sind r 1 displaystyle r 1 nbsp und r 2 displaystyle r 2 nbsp voneinander verschiedene reelle Konstanten die Wurzeln des quadratischen Polynoms Die Losung ist eine Funktion allein des Arguments x displaystyle x nbsp aber r i displaystyle r i nbsp und a 0 displaystyle a 0 nbsp sind Parameter dieser Funktion Insofern ahnelt diese Verallgemeinerung der hypergeometrischen Funktion und der Meijerschen G Funktion aber sie gehort zu einer anderen Klasse von Funktionen Wenn r 1 r 2 displaystyle r 1 r 2 nbsp so konnen beide Seiten von 2 faktorisiert und auf 1 reduziert werden sodass sich die Losung auf die normale lambertsche W Funktion reduziert Gleichung 2 entspricht der Gleichung fur das Dilaton Feld von dem die Metrik des linealen Zwei Korper Gravitationsproblems in 1 1 Dimensionen eine raumliche und eine zeitliche Dimension fur den Fall ungleicher Ruhe Massen abgeleitet ist sowie dem Problem der Eigenwertberechnung fur das quantenmechanische Doppelminimum Dirac Deltafunktions Modell in einer Dimension und mit ungleichen Ladungen Analytische Losungen der Energie Eigenwerte fur einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des Eulerschen Drei Korper Problems namlich des drei dimensionalen Wasserstoffmolekul Ions 10 Hier ist nun die rechte Seite von 1 oder 2 das Verhaltnis von zwei Polynomen unendlicher Ordnung in x displaystyle x nbsp e c x a 0 i 1 x r i i 1 x s i 3 displaystyle mathrm e cx a 0 frac prod i 1 infty x r i prod i 1 infty x s i qquad qquad qquad 3 nbsp dd mit paarweise verschiedenen reellen Konstanten r i displaystyle r i nbsp und s i displaystyle s i nbsp sowie x displaystyle x nbsp als Funktion des Energie Eigenwertes und des Kern Kern Abstands r displaystyle r nbsp Gleichung 3 mit den Spezialfallen 1 und 2 steht in Beziehung zu einer grossen Klasse retardierter Differentialgleichungen Mit Hilfe von Hardys Begriff der falschen Ableitung wurden exakte mehrfache Wurzeln fur spezielle Falle von Gleichung 3 gefunden 11 Die Anwendungen der lambertschen W Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst fur die normale lambertsche W Funktion siehe 1 keineswegs erschopft Dies zeigen jungste Beispiele aus dem Gebiet der Atom Molekul und optischen Physik 12 Beziehung zu anderen Funktionen BearbeitenHypergeometrische Funktionen Bearbeiten Die W Funktion steht in direkten Zusammenhang zur verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen Diese Beziehung wird durch die Gleichungenz n 1 1 2 1 n n 1 F n 1 a 1 a 2 a n a 1 1 a 2 1 a n 1 1 a 1 a 2 a n 1 n 1 N displaystyle zeta left n right frac 1 1 2 1 n cdot operatorname n 1 F n left 1 a 1 a 2 dots a n a 1 1 a 2 1 dots a n 1 1 right a 1 a 2 dots a n 1 wedge n 1 in mathbb N nbsp undz n n 1 F n 1 a 1 a 2 a n a 1 1 a 2 1 a n 1 1 a 1 a 2 a n 1 n 1 N displaystyle zeta left n right operatorname n 1 F n left 1 a 1 a 2 dots a n a 1 1 a 2 1 dots a n 1 1 right a 1 a 2 dots a n 1 wedge n 1 in mathbb N nbsp klar 13 Fox H Funktion Bearbeiten Die Fox H Funktion steht im direkten Zusammenhang zur W Funktion was durch die RelationW 1 a z lim b a a 2 a b z a b b H 1 2 1 1 a b b a b 0 1 a b a b b a b z a b 1 falls z lt 1 e a lim b a a 2 a b z a b b H 2 1 1 1 1 1 b a b a b b a b a b a b z 1 a b andernfalls displaystyle overline operatorname W 1 left alpha cdot z right begin cases lim beta to alpha left frac alpha 2 cdot left left alpha beta right cdot z right frac alpha beta beta cdot operatorname H 1 2 1 1 left begin matrix left frac alpha beta beta frac alpha beta right left 0 1 right left frac alpha beta frac alpha beta beta right end matrix mid left left alpha beta right cdot z right frac alpha beta 1 right right text falls left z right lt frac 1 e left alpha right lim beta to alpha left frac alpha 2 cdot left left alpha beta right cdot z right frac alpha beta beta cdot operatorname H 2 1 1 1 left begin matrix left 1 1 right left frac beta alpha beta frac alpha beta beta right left frac alpha beta frac alpha beta right end matrix mid left left alpha beta right cdot z right 1 frac alpha beta right right text andernfalls end cases nbsp deutlich wird wobei z displaystyle overline z nbsp das komplex konjugierte z displaystyle z nbsp ist 14 Numerische Berechnung BearbeitenEine Folge von Naherungen an die W Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung w j 1 w j w j e w j z e w j w j 1 w j 2 w j e w j z 2 w j 2 displaystyle w j 1 w j frac w j mathrm e w j z mathrm e w j w j 1 frac w j 2 w j mathrm e w j z 2w j 2 nbsp berechnet werden 15 Alternativ kann auch das Newton Verfahren zur Losung der Gleichung w e w z 0 displaystyle we w z 0 nbsp verwendet werden w j 1 w j w j e w j z e w j e w j w j displaystyle w j 1 w j frac w j mathrm e w j z mathrm e w j mathrm e w j w j nbsp Tabelle reeller Funktionswerte BearbeitenW 0 displaystyle W 0 nbsp oberer Zweig x 0 367 9 0 34 0 2 0 0 3 0 7 1 2 2 3 4 6 10 20 40 y 1 0 653 7 0 259 2 0 0 236 8 0 447 5 0 635 6 0 852 6 1 049 9 1 202 2 1 432 4 1 745 5 2 205 2 696 8 displaystyle begin array c c c c c c c c c c c c c c c c x amp 0 3679 amp 0 34 amp 0 2 amp 0 amp 0 3 amp 0 7 amp 1 2 amp 2 amp 3 amp 4 amp 6 amp 10 amp 20 amp 40 amp infty hline y amp 1 amp 0 6537 amp 0 2592 amp 0 amp 0 2368 amp 0 4475 amp 0 6356 amp 0 8526 amp 1 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auf YouTube Interesting integral related to the Omega Constant Lambert W Function Abgerufen am 20 Dezember 2022 englisch Webpage of Istvan Mezo PhD Miscellaneous Abgerufen am 30 Januar 2023 Papers with Code An integral representation for the Lambert W function Abgerufen am 30 Januar 2023 englisch David Jeffrey Stieltjes Poisson and other integral representations for functions of Lambert W 1 Januar 2011 academia edu abgerufen am 30 Januar 2023 T C Scott R B Mann General Relativity and Quantum Mechanics Towards a Generalization of the Lambert W Function In AAECC Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing 17 Nr 1 April 2006 S 41 47 acm org Arxiv Artikel T C Scott G Fee J Grotendorst Asymptotic series of Generalized Lambert W Function In SIGSAM ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation 47 Jahrgang Nr 185 2013 S 75 83 1 2 Vorlage Toter Link www sigsam org sigsam org Seite nicht mehr abrufbar Suche in Webarchiven T C Scott G Fee J Grotendorst W Z Zhang Numerics of the Generalized Lambert W Function In SIGSAM 48 Jahrgang Nr 188 2014 S 42 56 1 2 Vorlage Toter Link www sigsam org sigsam org Seite nicht mehr abrufbar Suche in Webarchiven P S Farrugia R B Mann T C Scott N body Gravity and the Schrodinger Equation In Class Quantum Grav 24 2007 S 4647 4659 doi 10 1088 0264 9381 24 18 006 Arxiv Artikel T C Scott M Aubert Frecon J Grotendorst New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion In Chem Phys 324 2006 S 323 338 doi 10 1016 j chemphys 2005 10 031 Arxiv Artikel Aude Maignan T C Scott Fleshing out the Generalized Lambert W Function In SIGSAM 50 Jahrgang Nr 2 2016 S 45 60 doi 10 1145 2992274 2992275 T C Scott A Luchow D Bressanini J D Morgan III The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions In Phys Rev A 75 060101 2007 scitation aip org Memento vom 17 Juli 2012 im Webarchiv archive today Riemann zeta function Representations through more general functions subsection 26 01 01 Abgerufen am 2 Marz 2023 Pushpa Narayan Rathie and Luan Carlos de Sena Monteiro Ozelim On the Relation between Lambert W Function and Generalized Hypergeometric Functions Abgerufen am 2 Marz 2023 R M Corless u a On the Lambert W function Memento vom 14 Dezember 2010 im Internet Archive PDF 304 kB In Adv Computational Maths 5 1996 S 329 359 Eric W Weisstein Lambert W Function In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lambertsche W Funktion amp oldid 239137909
