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Kelvin Helmholtz Instabilität Als oder KHI nach Lord Kelvin und Hermann von Helmholtz bezeichnet man das Anwachsen klein

Kelvin-Helmholtz-Instabilität

Als Kelvin-Helmholtz-Instabilität, oder KHI (nach Lord Kelvin und Hermann von Helmholtz), bezeichnet man das Anwachsen kleiner Störungen in der Scherschicht zweier Fluide mit unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten. Dadurch entstehende Phänomene bezeichnet man demnach beispielsweise als Kelvin-Helmholtz-Wellen, Kelvin-Helmholtz-Wirbel und Kelvin-Helmholtz-Wolken.

Kelvin-Helmholtz-Wirbel
in der Atmosphäre des Saturn
Wolkenbildung
auf Grund einer Scherwelle
Kelvin-Helmholtz-Wirbel in der Atmosphäre hinter dem Monte Duval, Australien

Anschauliche Beispiele liefern Wellen auf einem See während eines Sturms oder der sich kräuselnde Rauch eines Räucherstäbchens in einem ansonst ruhigen Zimmer.

Phänomenologie Bearbeiten

Als Wetter­phänomen kann die Kelvin-Helmholtz-Instabilität an seltsamen Wolken erkennbar werden, die einzeln oder in gleich aussehenden Gruppen am Himmel zu sehen sind. Sie entstehen durch eine Verwirbelung zweier übereinander liegender Luftschichten, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten und/oder Richtungen bewegen. Ähnlich wie wenn Wind über Wasser streicht, entstehen Wellen an der Grenzschicht, wobei Teile der meist feuchteren unteren Luftschicht so weit nach oben gewirbelt werden, dass ihr Taupunkt unterschritten wird und es zu Wolkenbildung kommt. Diese Wolken sind mittlerweile als Sonderform im Internationalen Wolkenatlas unter dem Namen "Fluctus" eingetragen.

Physikalische Interpretation Bearbeiten

Weit entfernt von der Grenzschicht sind die Strömungsgeschwindigkeiten konstant. Nahe der Grenzschicht muss sich aber ein Luftelement schneller über den Wellenbuckel bewegen als ein weiter entferntes (ähnlich wie bei einem Tragflügel). Nach der Bernoulli-Gleichung ist der Druck über der Welle infolge der höheren Windgeschwindigkeit kleiner als in der Umgebung; infolgedessen gibt es eine Kraft, die den Wellenkamm nach oben zieht. Analog verhält es sich in einem Wellental: die Luft fließt langsamer über die Oberfläche eines Wellentals als in der Umgebung, darum ist der Umgebungsdruck lokal höher; das Wellental wird nach unten gedrückt.

Theorie Bearbeiten

Ein einfaches Modell für die Kelvin-Helmholtz-Instabilität erhält man durch die Beantwortung folgender Frage: gegeben sei eine Strömung über einer Grenzschicht, unter welchen Bedingungen ist diese Grenzschicht dann stabil gegen kleine Störungen?

Störungsrechnung Bearbeiten

Numerische Simulation der Kelvin-Helmholtz-Instabilität

Gegeben sei also eine Flüssigkeit der Dichte , die sich horizontal mit der Geschwindigkeit über eine Flüssigkeit der Dichte bewegt. Bezeichne eine Koordinate entlang der Scherschicht und die Koordinate rechtwinklig dazu. Nun betrachtet man eine kleine Störung entlang der Scherschicht und bezeichnet sie mit . Die dazu assoziierte Störung des Drucks kann man mit und die des Geschwindigkeitsfeldes mit bezeichnen.

Das Druckfeld lässt sich nun schreiben als

und das Geschwindigkeitsfeld als

wobei

Diese zwei Störungen substituiert man nun in die einfachste Form fluiddynamischer Gleichungen, nämlich in die Euler-Gleichungen für inkompressible Fluide. Die Inkompressibilitätsgleichung lautet

mit

und die Euler-Gleichung

mit

Dort eingesetzt erhält man für die gestörten Größen

und

Diese zwei Gleichungen liefern für den gestörten Druck die Laplace-Gleichung

Nun sucht man nach einer Wellenmode, die exponentiell mit dem Abstand von der Grenzfläche abfällt. Aus der Laplace-Gleichung schließen wir, dass für den Druck gelten muss:

mit

Als Nächstes substituiert man dieses Resultat in die gestörten Euler-Gleichungen. Dabei erhält man

und

Nun müssen noch die Randbedingungen erfüllt werden: die vertikale Komponente der Störung und der Druck müssen an der Scherschicht jeweils stetig sein. Daraus ergibt sich als Bedingung:

und

Daraus lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Dichte der Flüssigkeiten, ihrer Relativgeschwindigkeit und den Wellenmoden herstellen:

Löst man diese Gleichung nach auf, so erhält man eine Dispersionsrelation für die linearen Kelvin-Helmholtz-Moden:

Zeitliches Wachstum Bearbeiten

Bewegt man sich mit der Geschwindigkeit entlang der Oberfläche, so ergibt sich für die Geschwindigkeit der oberen Flüssigkeit:

Die Störung entwickelt sich nun folgendermaßen:

Räumliches Wachstum Bearbeiten

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. WMO: Fluctus im ICA. Abgerufen am 20. September 2021 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Als Kelvin Helmholtz Instabilitat oder KHI nach Lord Kelvin und Hermann von Helmholtz bezeichnet man das Anwachsen kleiner Storungen in der Scherschicht zweier Fluide mit unterschiedlichen Stromungsgeschwindigkeiten Dadurch entstehende Phanomene bezeichnet man demnach beispielsweise als Kelvin Helmholtz Wellen Kelvin Helmholtz Wirbel und Kelvin Helmholtz Wolken Kelvin Helmholtz Wirbelin der Atmosphare des SaturnWolkenbildungauf Grund einer ScherwelleKelvin Helmholtz Wirbel in der Atmosphare hinter dem Monte Duval AustralienAnschauliche Beispiele liefern Wellen auf einem See wahrend eines Sturms oder der sich krauselnde Rauch eines Raucherstabchens in einem ansonst ruhigen Zimmer Inhaltsverzeichnis 1 Phanomenologie 2 Physikalische Interpretation 3 Theorie 3 1 Storungsrechnung 3 2 Zeitliches Wachstum 3 3 Raumliches Wachstum 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 EinzelnachweisePhanomenologie BearbeitenAls Wetter phanomen kann die Kelvin Helmholtz Instabilitat an seltsamen Wolken erkennbar werden die einzeln oder in gleich aussehenden Gruppen am Himmel zu sehen sind Sie entstehen durch eine Verwirbelung zweier ubereinander liegender Luftschichten die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten und oder Richtungen bewegen Ahnlich wie wenn Wind uber Wasser streicht entstehen Wellen an der Grenzschicht wobei Teile der meist feuchteren unteren Luftschicht so weit nach oben gewirbelt werden dass ihr Taupunkt unterschritten wird und es zu Wolkenbildung kommt Diese Wolken sind mittlerweile als Sonderform im Internationalen Wolkenatlas unter dem Namen Fluctus eingetragen 1 Physikalische Interpretation BearbeitenWeit entfernt von der Grenzschicht sind die Stromungsgeschwindigkeiten konstant Nahe der Grenzschicht muss sich aber ein Luftelement schneller uber den Wellenbuckel bewegen als ein weiter entferntes ahnlich wie bei einem Tragflugel Nach der Bernoulli Gleichung ist der Druck uber der Welle infolge der hoheren Windgeschwindigkeit kleiner als in der Umgebung infolgedessen gibt es eine Kraft die den Wellenkamm nach oben zieht Analog verhalt es sich in einem Wellental die Luft fliesst langsamer uber die Oberflache eines Wellentals als in der Umgebung darum ist der Umgebungsdruck lokal hoher das Wellental wird nach unten gedruckt Theorie BearbeitenEin einfaches Modell fur die Kelvin Helmholtz Instabilitat erhalt man durch die Beantwortung folgender Frage gegeben sei eine Stromung uber einer Grenzschicht unter welchen Bedingungen ist diese Grenzschicht dann stabil gegen kleine Storungen Storungsrechnung Bearbeiten source source Numerische Simulation der Kelvin Helmholtz InstabilitatGegeben sei also eine Flussigkeit der Dichte r displaystyle rho nbsp die sich horizontal mit der Geschwindigkeit V displaystyle V nbsp uber eine Flussigkeit der Dichte r displaystyle rho nbsp bewegt Bezeichne x displaystyle x nbsp eine Koordinate entlang der Scherschicht und y displaystyle y nbsp die Koordinate rechtwinklig dazu Nun betrachtet man eine kleine Storung entlang der Scherschicht und bezeichnet sie mit 3 x displaystyle xi x nbsp Die dazu assoziierte Storung des Drucks P displaystyle P nbsp kann man mit d P displaystyle delta P nbsp und die des Geschwindigkeitsfeldes v displaystyle vec v nbsp mit d v displaystyle delta vec v nbsp bezeichnen Das Druckfeld lasst sich nun schreiben als P x t P 0 d P x t displaystyle P vec x t P 0 delta P vec x t nbsp und das Geschwindigkeitsfeld als v x t V 8 y e x d v x t e y displaystyle vec v vec x t V cdot Theta y cdot vec e x delta v vec x t cdot vec e y nbsp wobei 8 y displaystyle Theta y nbsp die Heaviside Funktion bezeichnet und e x displaystyle vec e x nbsp bzw e y displaystyle vec e y nbsp den Einheitsvektor in x bzw y Richtung Diese zwei Storungen substituiert man nun in die einfachste Form fluiddynamischer Gleichungen namlich in die Euler Gleichungen fur inkompressible Fluide Die Inkompressibilitatsgleichung lautet v 0 displaystyle vec nabla cdot vec v 0 nbsp dd mit dem Nabla Operator displaystyle nabla nbsp v displaystyle vec nabla cdot vec v nbsp ist die Divergenz der Geschwindigkeit und die Euler Gleichung d v d t P r displaystyle frac d vec v dt frac vec nabla P rho nbsp dd mit dem Gradienten P displaystyle vec nabla P nbsp des Drucks Dort eingesetzt erhalt man fur die gestorten Grossen d v 0 displaystyle Rightarrow vec nabla cdot delta v 0 nbsp und d d v d t d P r displaystyle Rightarrow frac d delta vec v dt frac vec nabla delta P rho nbsp Diese zwei Gleichungen liefern fur den gestorten Druck die Laplace Gleichung 2 d P 0 displaystyle nabla 2 cdot delta P 0 nbsp Nun sucht man nach einer Wellenmode die exponentiell mit dem Abstand y displaystyle y nbsp von der Grenzflache abfallt Aus der Laplace Gleichung schliessen wir dass fur den Druck gelten muss d P d P 0 exp k y i k x w t displaystyle delta P delta P 0 exp k y i kx omega t nbsp mit der Kreisfrequenz w displaystyle omega nbsp und der Kreiswellenzahl k displaystyle k nbsp Als Nachstes substituiert man dieses Resultat in die gestorten Euler Gleichungen Dabei erhalt man fur y gt 0 displaystyle y gt 0 nbsp d v y i k d P w k V r displaystyle delta v y frac i cdot k cdot delta P omega kV rho nbsp und fur y lt 0 displaystyle y lt 0 nbsp d v y i k d P w r displaystyle delta v y frac i cdot k cdot delta P omega cdot rho nbsp Nun mussen noch die Randbedingungen erfullt werden die vertikale Komponente der Storung 3 x displaystyle xi x nbsp und der Druck mussen an der Scherschicht jeweils stetig sein Daraus ergibt sich als Bedingung direkt uber der Scherschicht y 0 displaystyle y 0 nbsp 3 i d v y w k V displaystyle xi frac i cdot delta v y omega kV nbsp und direkt unter der Scherschicht y 0 displaystyle y 0 nbsp 3 i d v y w displaystyle xi frac i cdot delta v y omega nbsp Daraus lasst sich ein Zusammenhang zwischen der Dichte der Flussigkeiten ihrer Relativgeschwindigkeit und den Wellenmoden herstellen r w k V 2 r w 2 0 displaystyle rho cdot omega kV 2 rho cdot omega 2 0 nbsp Lost man diese Gleichung nach w displaystyle omega nbsp auf so erhalt man eine Dispersionsrelation fur die linearen Kelvin Helmholtz Moden w k V r i r r r r displaystyle Leftrightarrow omega kV cdot frac rho pm i sqrt rho cdot rho rho rho nbsp Zeitliches Wachstum Bearbeiten Bewegt man sich mit der Geschwindigkeit V r r r displaystyle V cdot frac rho rho rho nbsp entlang der Oberflache so ergibt sich fur die Geschwindigkeit der oberen Flussigkeit V V V r r r V r r r displaystyle V V V cdot frac rho rho rho V cdot frac rho rho rho nbsp dd Die Storung entwickelt sich nun folgendermassen d P 3 exp k V r r t cos i k x displaystyle delta P xi propto exp kV cdot sqrt frac rho rho cdot t cdot cos ikx nbsp Raumliches Wachstum Bearbeiten k w V 1 i r r displaystyle k frac omega V left 1 pm i cdot sqrt frac rho rho right nbsp Siehe auch BearbeitenKarmansche Wirbelstrasse Clear Air Turbulence StromfunktionWeblinks BearbeitenPraktikumsunterlagen bei der gwdg PDF Datei 675 kB Memento des Originals bei archive org abgerufen am 24 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