Der Ikosaederstumpf auch Fussballkorper genannt ist ein Polyeder Vielflachner das durch Abstumpfung der Ecken eines Ikosaeders entsteht und zu den dreizehn archimedischen Korpern zahlt Anstatt der zwolf Ecken des Ikosaeders befinden sich nun dort zwolf regelmassige Funfecke die 20 Dreiecke des Ikosaeders werden zu regelmassigen Sechsecken Das Polyeder setzt sich somit aus insgesamt 32 Flachen zusammen und hat 60 Ecken sowie 90 Kanten PolyederIkosaederstumpf3D Ansicht eines abgestumpften Ikosaeders Animation Anzahl der Seitenflachen 32Art der Seitenflachen 12 20 Anzahl Ecken 60Art der Ecken 60 5 6 6 Anzahl Kanten 90Schlafli Symboldual zu PentakisdodekaederKorpernetz eines Ikosaederstumpfs3D AnsichtFussball Projektion der Flachen eines Ikosaederstumpfes auf die KugeloberflacheBeim regelmassigen Ikosaederstumpf also dem Fussballkorper sind alle 90 Kanten gleich lang Der zum Ikosaederstumpf duale Korper ist das Pentakisdodekaeder Das mit Abstand am besten untersuchte Fullerenmolekul C60 besitzt die Struktur eines Ikosaederstumpfes Inhaltsverzeichnis 1 Formeln 2 Herleitung der Formeln 2 1 Winkel 2 2 Kugelradien 2 3 Oberflache Volumen 3 Anwendungsbeispiele 4 WeblinksFormeln BearbeitenGrossen eines regelmassigen Ikosaederstumpfs mit Kantenlange a displaystyle a nbsp Volumen V a 3 4 125 43 5 displaystyle V frac a 3 4 left 125 43 sqrt 5 right nbsp Oberflacheninhalt A O 3 a 2 10 3 25 10 5 displaystyle A text O 3a 2 left 10 sqrt 3 sqrt 25 10 sqrt 5 right nbsp Umkugelradius r u a 4 58 18 5 a 2 478 displaystyle r u frac a 4 sqrt 58 18 sqrt 5 approx a cdot 2 478 nbsp 1 Inkugelradius Pentagon r i 5 a 2 125 41 5 10 a 2 327 displaystyle r i 5 frac a 2 sqrt frac 125 41 sqrt 5 10 approx a cdot 2 327 nbsp 2 Inkugelradius Hexagon r i 6 a 4 3 3 5 a 2 267 displaystyle r i 6 frac a 4 sqrt 3 left 3 sqrt 5 right approx a cdot 2 267 nbsp Kantenkugelradius r k 3 4 a 1 5 a 2 427 displaystyle r k frac 3 4 a left 1 sqrt 5 right approx a cdot 2 427 nbsp 1 Flachenwinkel Hexagon Hexagon 138 11 23 b 1 180 2 arctan 3 5 2 138 19 displaystyle beta 1 180 circ 2 arctan left frac 3 sqrt 5 2 right approx 138 19 circ nbsp 2 Flachenwinkel Hexagon Pentagon 142 37 21 b 2 90 arctan 3 5 4 142 62 displaystyle beta 2 90 circ arctan left frac 3 sqrt 5 4 right approx 142 62 circ nbsp Eckenraumwinkel 1 3524 p W p 2 arctan 5 1 2 4 248 74 s r displaystyle Omega pi 2 arctan left frac sqrt 5 1 2 right approx 4 24874 mathrm sr nbsp Spharizitat 0 96662 PS 180 p 2487 1075 5 3 6 10 3 25 10 5 displaystyle Psi frac sqrt 3 180 pi left 2487 1075 sqrt 5 right 6 left 10 sqrt 3 sqrt 25 10 sqrt 5 right nbsp Herleitung der Formeln Bearbeiten nbsp lila Sechseck rot Funfeck nbsp Zur Berechnung von Eigenschaften oben Ikosaeder lila Sechseck rot FunfeckDer Ikosaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Ecken eines regularen Ikosaeders so dass die Kanten des Ikosaeders beidseitig um 1 3 gekurzt werden Das mittlere Drittel wird zur Kante des Ikosaederstumpfes Bezeichnet a 0 displaystyle a 0 nbsp die Lange der Kante des Ikosaeders und a displaystyle a nbsp die Kantenlange des Ikosaederstumpfes so gilt a 0 3 a displaystyle a 0 3a nbsp Winkel Bearbeiten Fur die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Sechsecken bzw einem Sechseck und einem Funfeck sind die in dem Bild eingezeichneten Winkel f ps displaystyle varphi psi nbsp wichtig Die Winkel zwischen zwei Sechsecken sind mit denen von benachbarten Dreiecken des Ikosaeders identisch da beim Abstumpfen aus den Dreiecken Sechsecken werden Aus der Zeichnung erkennt man dass wie beim Ikosaeder tan ps c a c 3 5 2 ps 20 9 displaystyle tan psi frac c a c frac 3 sqrt 5 2 to psi approx 20 9 circ nbsp und damit gilt Der Winkel zwischen zwei Sechsecken ist b 1 180 2 ps 180 2 arctan 3 5 2 displaystyle beta 1 180 circ 2 psi 180 circ 2 arctan left frac 3 sqrt 5 2 right nbsp 138 19 displaystyle quad approx 138 19 circ nbsp Fur den Winkel zwischen einem Funfeck und einem Sechseck ist zusatzlich der Winkel f displaystyle varphi nbsp wichtig Es gilt siehe Bild tan f a 0 c 2 1 5 5 1 2 f 31 72 displaystyle tan varphi frac a 0 c frac 2 1 sqrt 5 frac sqrt 5 1 2 to varphi approx 31 72 circ nbsp Der Winkel zwischen einem Funfeck und einem Sechseck istb 2 90 ps f displaystyle beta 2 90 circ psi varphi nbsp 90 arctan 3 5 2 arctan 5 1 2 displaystyle 90 circ arctan left frac 3 sqrt 5 2 right arctan left frac sqrt 5 1 2 right nbsp 90 arctan 3 5 4 displaystyle 90 circ arctan left frac 3 sqrt 5 4 right quad nbsp siehe Formelsammlung 142 62 displaystyle approx 142 62 circ nbsp Fur den Raumwinkel folgt aus der Ebenen Formel W b 1 2 b 2 p p 2 ps 2 p 2 ps f p p 2 f displaystyle Omega beta 1 2 beta 2 pi pi 2 psi 2 left frac pi 2 psi varphi right pi pi 2 varphi nbsp Der Raumwinkel in einem Punkt des Ikosaederstumpfes ist alsoW p 2 arctan 5 1 2 4 248 74 s r displaystyle Omega pi 2 arctan left frac sqrt 5 1 2 right approx 4 24874 mathrm sr nbsp Kugelradien Bearbeiten Der Kantenkugelradius ist der gleiche wie bei dem Ikosaeder Unter Beachtung von a 0 3 a displaystyle a 0 3a nbsp erhalt man r k c 2 3 a 4 1 5 2 427 a displaystyle r k frac c 2 frac 3a 4 1 sqrt 5 approx 2 427 a nbsp Fur den Umkugelradius ergibt sich aus der Zeichnung r u 2 c 2 2 a 2 2 3 a 4 1 5 2 a 2 4 a 2 16 58 18 5 displaystyle r u 2 left frac c 2 right 2 left frac a 2 right 2 left frac 3a 4 1 sqrt 5 right 2 frac a 2 4 frac a 2 16 58 18 sqrt 5 nbsp Also ist der Umkugelradius r u a 4 58 18 5 2 478 a displaystyle r u frac a 4 sqrt 58 18 sqrt 5 approx 2 478 a nbsp Der Inkugelradius der Kugel die die Sechsecke beruhrt ist identisch mit dem Radius der Inkugel des Ikosaeders r i 6 3 3 5 12 a 0 displaystyle r i 6 frac sqrt 3 3 sqrt 5 12 a 0 nbsp Mit a 0 3 a displaystyle a 0 3a nbsp ergibt sich fur den Inkugelradius r i 6 3 3 5 4 a 2 267 3 a displaystyle r i 6 frac sqrt 3 3 sqrt 5 4 a approx 2 2673 a nbsp Der Radius der Inkugel die die Funfecke beruhrt ist gleich dem Abstand der Gerade in der y z Ebene durch den Funfeckpunkt a 2 c 2 displaystyle frac a 2 frac c 2 nbsp mit der Steigung m tan f displaystyle m tan varphi nbsp vom Nullpunkt siehe Bild Die Gleichung dieser Gerade ist z m y a 2 c 2 m y z m a 2 c 2 0 displaystyle z m left y frac a 2 right frac c 2 to my z m frac a 2 frac c 2 0 nbsp Mit m 5 1 2 c 3 a 5 1 2 displaystyle m frac sqrt 5 1 2 c frac 3a sqrt 5 1 2 nbsp ergibt sich 5 1 y 2 z a 2 5 1 0 displaystyle to sqrt 5 1 y 2z a 2 sqrt 5 1 0 nbsp Mit der Hesseschen Normalform folgt fur das Quadrat des Abstandes vom Nullpunkt r i 5 2 a 2 2 5 1 2 5 1 2 4 a 2 40 125 41 5 displaystyle r i 5 2 frac a 2 2 sqrt 5 1 2 sqrt 5 1 2 4 frac a 2 40 125 41 sqrt 5 nbsp Also ist der Inkugelradius fur Funfecke r i 5 a 2 10 125 41 5 2 327 4 a displaystyle r i 5 frac a 2 sqrt 10 sqrt 125 41 sqrt 5 approx 2 3274 a nbsp Oberflache Volumen Bearbeiten Die Oberflache des Ikosaederstumpfes ist gleich 20 mal der Flache A 6 displaystyle A 6 nbsp eines regelmassigen Sechsecks plus 12 mal der Flache A 5 displaystyle A 5 nbsp eines regelmassigen Funfecks Mit A 6 3 3 2 a 2 A 5 1 4 25 10 5 a 2 displaystyle A 6 frac 3 sqrt 3 2 cdot a 2 A 5 frac 1 4 sqrt 25 10 sqrt 5 cdot a 2 nbsp ist die Oberflache des IkosaederstumpfsA O 20 A 6 12 A 5 3 10 3 25 10 5 a 2 displaystyle A O 20 cdot A 6 12 cdot A 5 3 left 10 sqrt 3 sqrt 25 10 sqrt 5 right cdot a 2 nbsp Ein Ikosaederstumpf als Korper kann man sich aus 12 Pyramiden mit einem der Funfecke als Grundflache und r i 5 displaystyle r i 5 nbsp als Hohe plus 20 Pyramiden mit einem Sechseck als Grundflache und r i 6 displaystyle r i 6 nbsp als Hohe zusammengesetzt denken Das Volumen des Ikosaederstumpfes ist also gleich V 12 1 3 A 5 r i 5 20 1 3 A 6 r i 6 displaystyle V 12 cdot frac 1 3 A 5 r i 5 20 cdot frac 1 3 A 6 r i 6 nbsp 1 2 2 5 2 5 125 41 5 a 3 15 2 3 5 a 3 displaystyle frac 1 2 sqrt 2 sqrt 5 2 sqrt 5 125 41 sqrt 5 a 3 frac 15 2 3 sqrt 5 a 3 nbsp Mit 5 2 5 125 41 5 1 2 35 13 5 2 displaystyle 5 2 sqrt 5 125 41 sqrt 5 frac 1 2 35 13 sqrt 5 2 nbsp ist V 1 4 35 13 5 a 3 15 2 3 5 a 3 displaystyle V frac 1 4 35 13 sqrt 5 a 3 frac 15 2 3 sqrt 5 a 3 nbsp und damit V 1 4 125 43 5 a 3 55 287 73 a 3 displaystyle V frac 1 4 left 125 43 sqrt 5 right a 3 approx 55 28773 a 3 nbsp Anwendungsbeispiele Bearbeiten nbsp Sprengstofflinsen um den Kern der Trinity Bombe und von Fat Man nbsp Kletternetz eines Spielplatzes nbsp Radom einer WetterradarstationWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Ikosaederstumpf Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Ikosaederstumpf Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Ikosaederstumpf In MathWorld englisch Archimedische Korper Tetraederstumpf Kuboktaeder Hexaederstumpf Oktaederstumpf Rhombenkuboktaeder Kuboktaederstumpf Ikosidodekaeder Dodekaederstumpf Ikosaederstumpf Abgeschragtes Hexaeder Rhombenikosidodekaeder Ikosidodekaederstumpf Abgeschragtes Dodekaeder Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ikosaederstumpf amp oldid 235986004
