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Vollständiger Satz kommutierender Observablen Ein vollständiger Satz kommutierender Observablen v S k O ist ein Begriff

Vollständiger Satz kommutierender Observablen

Ein vollständiger Satz kommutierender Observablen (v.S.k.O.) ist ein Begriff aus der Quantenmechanik, in der Messgrößen wie Energie, Ort oder Impuls durch Operatoren dargestellt und als Observablen bezeichnet werden. Messgrößen, die man gleichzeitig genau bestimmen kann, heißen kommutierende Observablen; sie haben die Eigenschaft, dass die Reihenfolge ihrer Operatoren im Produkt vertauscht werden kann, ohne dessen Ergebnis zu verändern.

Solch ein Verhalten ist in der Quantenmechanik allerdings eher die Ausnahme. Die meisten Paare von Observablen lassen sich nicht gleichzeitig beliebig genau messen, was eine Konsequenz aus der heisenbergschen Unschärferelation ist. Man spricht dann auch von komplementären Observablen.

Um einen quantenmechanischen Zustand eindeutig zu charakterisieren, sind oft mehrere Observablen notwendig. Beispielsweise ist es beim Wasserstoffatom nicht ausreichend, nur die Energie anzugeben (mittels der Hauptquantenzahl ), sondern es sind zwei weitere Observablen notwendig: der Betrag des Drehimpulses (Quantenzahl ) und die -Komponente des Drehimpuls (Quantenzahl ). Diese drei Größen bilden dann einen vollständigen Satz kommutierender Observablen.

Definition Bearbeiten

Eine Menge von Observablen , , , … bildet einen v.S.k.O., wenn eine orthonormale Basis des Zustandsraums aus gemeinsamen Eigenvektoren der Observablen existiert, und diese Basis (bis auf einen Phasenfaktor) eindeutig ist.

Eine äquivalente Formulierung lautet:

Eine Menge von Observablen , , , … bildet einen v.S.k.O. genau dann, wenn:

Bedeutung Bearbeiten

Um ein quantenmechanisches Problem zu lösen, ist man bemüht eine Menge von Observablen zu finden, die das System beschreiben und einen v.S.k.O. bilden. Durch die Angabe der Messwerte der Observablen (das sind die Eigenwerte der Observablen) ist es damit möglich den Zustand eines Systems eindeutig zu bestimmen. Umgekehrt bedeutet das, dass man eine Messung auf einen vollständigen Satz kommutierender Observablen erstrecken muss, um den Zustand des Systems nach der Messung durch die Angabe der Messwerte eindeutig zu bestimmen.

Konstruktion Bearbeiten

Gegeben sei eine Observable , deren Eigenvektoren eine Basis des Zustandsraumes bilden. Sind diese sämtlich nicht-entartet, so lässt sich der Zustand des Systems durch die Angabe des zu einem Eigenvektor gehörigen Eigenwertes eindeutig charakterisieren. bildet dann „für sich“ einen v.S.k.O. Sind die Eigenvektoren jedoch in irgendeiner Form entartet, nimmt man eine weitere Observable hinzu, die mit vertauscht und deren Eigenvektoren wiederum eine Basis des Zustandsraumes bilden. Aus beiden Mengen von Eigenvektoren wählt man nun die nicht-Entarteten. Bilden diese eine Basis des Zustandsraumes stellen und einen v.S.k.O. dar. Wenn nicht, nimmt man solange weitere Observablen , , … hinzu, die jeweils paarweise mit den anderen Observablen vertauschen, bis man eine Basis aus Eigenvektoren zu nicht-entarteten Eigenwerten konstruieren kann.

Beispiele Bearbeiten

  • Eine Observable mit nicht-entarteten Eigenwerten, also einem nicht-entarteten Spektrum, bildet „für sich“ einen v.S.k.O.. Ein Beispiel für so einen Fall ist der Hamilton-Operator des unendlich hohen Potentialtopfs in einer Dimension.
  • Der Ortsoperator sowie der Impulsoperator bilden jeweils „für sich“ einen v.S.k.O. des Zustandsraumes eines spinlosen Teilchens.
  • Bei einem spinlosen Teilchen in einem Zentralpotential bilden der Hamilton-Operator , das Quadrat des Drehimpulsoperators , sowie eine beliebige Komponente des Drehimpulsoperator (wobei ) einen v.S.k.O.. Die Eigenwerte der drei Observablen entsprechen der Hauptquantenzahl , der Drehimpulsquantenzahl und der magnetischen Quantenzahl (siehe Quantenzahl). Die Angabe des Tripels beschreibt eindeutig einen quantenmechanischen Zustand (z. B. beim Wasserstoffatom).

Literatur Bearbeiten

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1999, ISBN 3-11-016458-2.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Band 5/1, Quantenmechanik: Grundlagen. 3. Auflage. Vieweg, Braunschweig 1996, ISBN 3-528-06935-X.
  • Franz Schwabl: Quantenmechanik Eine Einführung. 6. Auflage, Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2002, ISBN 3-540-43106-3.
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Ein vollstandiger Satz kommutierender Observablen v S k O ist ein Begriff aus der Quantenmechanik in der Messgrossen wie Energie Ort oder Impuls durch Operatoren dargestellt und als Observablen bezeichnet werden Messgrossen die man gleichzeitig genau bestimmen kann heissen kommutierende Observablen sie haben die Eigenschaft dass die Reihenfolge ihrer Operatoren im Produkt vertauscht werden kann ohne dessen Ergebnis zu verandern Solch ein Verhalten ist in der Quantenmechanik allerdings eher die Ausnahme Die meisten Paare von Observablen lassen sich nicht gleichzeitig beliebig genau messen was eine Konsequenz aus der heisenbergschen Unscharferelation ist Man spricht dann auch von komplementaren Observablen Um einen quantenmechanischen Zustand eindeutig zu charakterisieren sind oft mehrere Observablen notwendig Beispielsweise ist es beim Wasserstoffatom nicht ausreichend nur die Energie anzugeben mittels der Hauptquantenzahl n displaystyle n sondern es sind zwei weitere Observablen notwendig der Betrag des Drehimpulses Quantenzahl l displaystyle l und die z displaystyle z Komponente des Drehimpuls Quantenzahl m displaystyle m Diese drei Grossen bilden dann einen vollstandigen Satz kommutierender Observablen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bedeutung 3 Konstruktion 4 Beispiele 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine Menge von Observablen A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp C displaystyle C nbsp bildet einen v S k O wenn eine orthonormale Basis des Zustandsraums aus gemeinsamen Eigenvektoren der Observablen existiert und diese Basis bis auf einen Phasenfaktor eindeutig ist Eine aquivalente Formulierung lautet Eine Menge von Observablen A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp C displaystyle C nbsp bildet einen v S k O genau dann wenn alle Observablen paarweise kommutieren und die Angabe der Eigenwerte all dieser Operatoren ausreicht um einen gemeinsamen Eigenvektor bis auf einen Vorfaktor eindeutig zu bestimmen Bedeutung BearbeitenUm ein quantenmechanisches Problem zu losen ist man bemuht eine Menge von Observablen zu finden die das System beschreiben und einen v S k O bilden Durch die Angabe der Messwerte der Observablen das sind die Eigenwerte der Observablen ist es damit moglich den Zustand eines Systems eindeutig zu bestimmen Umgekehrt bedeutet das dass man eine Messung auf einen vollstandigen Satz kommutierender Observablen erstrecken muss um den Zustand des Systems nach der Messung durch die Angabe der Messwerte eindeutig zu bestimmen Konstruktion BearbeitenGegeben sei eine Observable A displaystyle A nbsp deren Eigenvektoren eine Basis des Zustandsraumes bilden Sind diese samtlich nicht entartet so lasst sich der Zustand des Systems durch die Angabe des zu einem Eigenvektor gehorigen Eigenwertes eindeutig charakterisieren A displaystyle A nbsp bildet dann fur sich einen v S k O Sind die Eigenvektoren jedoch in irgendeiner Form entartet nimmt man eine weitere Observable B displaystyle B nbsp hinzu die mit A displaystyle A nbsp vertauscht und deren Eigenvektoren wiederum eine Basis des Zustandsraumes bilden Aus beiden Mengen von Eigenvektoren wahlt man nun die nicht Entarteten Bilden diese eine Basis des Zustandsraumes stellen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp einen v S k O dar Wenn nicht nimmt man solange weitere Observablen C displaystyle C nbsp D displaystyle D nbsp hinzu die jeweils paarweise mit den anderen Observablen vertauschen bis man eine Basis aus Eigenvektoren zu nicht entarteten Eigenwerten konstruieren kann Beispiele BearbeitenEine Observable mit nicht entarteten Eigenwerten also einem nicht entarteten Spektrum bildet fur sich einen v S k O Ein Beispiel fur so einen Fall ist der Hamilton Operator des unendlich hohen Potentialtopfs in einer Dimension Der Ortsoperator sowie der Impulsoperator bilden jeweils fur sich einen v S k O des Zustandsraumes eines spinlosen Teilchens Bei einem spinlosen Teilchen in einem Zentralpotential bilden der Hamilton Operator H displaystyle H nbsp das Quadrat des Drehimpulsoperators L 2 displaystyle L 2 nbsp sowie eine beliebige Komponente des Drehimpulsoperator L i displaystyle L i nbsp wobei i x y z displaystyle i x y z nbsp einen v S k O Die Eigenwerte der drei Observablen entsprechen der Hauptquantenzahl n displaystyle n nbsp der Drehimpulsquantenzahl l displaystyle l nbsp und der magnetischen Quantenzahl m displaystyle m nbsp siehe Quantenzahl Die Angabe des Tripels n l m displaystyle n l m nbsp beschreibt eindeutig einen quantenmechanischen Zustand z B beim Wasserstoffatom Literatur BearbeitenClaude Cohen Tannoudji Bernard Diu Franck Laloe Quantenmechanik 2 Auflage De Gruyter Berlin 1999 ISBN 3 11 016458 2 Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik Band 5 1 Quantenmechanik Grundlagen 3 Auflage Vieweg Braunschweig 1996 ISBN 3 528 06935 X Franz Schwabl Quantenmechanik Eine Einfuhrung 6 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2002 ISBN 3 540 43106 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vollstandiger Satz kommutierender Observablen amp oldid 238098621