Die Dreiecksungleichung ist in der Geometrie ein Satz der besagt dass eine Dreiecksseite hochstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist Das hochstens schliesst dabei den Sonderfall der Gleichheit ein Die Dreiecksungleichung spielt auch in anderen Teilgebieten der Mathematik wie der Linearen Algebra oder der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle Inhaltsverzeichnis 1 Formen der Dreiecksungleichung 1 1 Fur allgemeine Dreiecke 1 2 Fur rechtwinklige Dreiecke 1 3 Fur reelle Zahlen 1 3 1 Umgekehrte Dreiecksungleichung 1 4 Fur komplexe Zahlen 1 5 Von Betragsfunktionen fur Korper 1 6 Fur Summen und Integrale 1 7 Fur Vektoren 1 8 Fur spharische Dreiecke 1 9 Fur normierte Raume 1 10 Fur metrische Raume 2 Siehe auch 3 EinzelnachweiseFormen der Dreiecksungleichung BearbeitenFur allgemeine Dreiecke Bearbeiten nbsp DreieckNach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Langen zweier Seiten a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp stets mindestens so gross wie die Lange der dritten Seite c displaystyle c nbsp c a b displaystyle c leq a b nbsp Man kann auch sagen der Abstand von A nach B ist stets hochstens so gross wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen oder um es alltagssprachlich auszudrucken Der direkte Weg ist immer der kurzeste Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur wenn a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp Teilstrecken von c displaystyle c nbsp sind man spricht dann auch davon dass das Dreieck entartet sei Da aus Symmetriegrunden auch a c b displaystyle a leq c b nbsp gilt folgt a b c displaystyle a b leq c nbsp analog erhalt man b a c displaystyle b a leq c nbsp insgesamt also a b c a b displaystyle left a b right leq c leq a b nbsp Die linke Ungleichung a b c displaystyle left a b right leq c nbsp wird gelegentlich auch als umgekehrte Dreiecksungleichung bezeichnet Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands und Betragsfunktionen Sie wird daher als ein Axiom fur abstrakte Abstandsfunktionen in metrischen Raumen gesetzt Fur rechtwinklige Dreiecke Bearbeiten Ist c displaystyle c nbsp die Hypotenusenlange und sind a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp die Kathetenlangen eines rechtwinkligen Dreiecks so gilt die spezielle Dreiecksungleichung a b c 2 displaystyle a b leq c sqrt 2 nbsp 1 2 nbsp Veranschaulichung fur den Fall der Ungleichheit nbsp Veranschaulichung fur den Fall der GleichheitFur reelle Zahlen Bearbeiten Fur reelle Zahlen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp gilt a b a b displaystyle a b leq a b nbsp BeweisSeien a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp reelle Zahlen Entweder es ist a b 0 displaystyle a b geq 0 nbsp oder es ist a b lt 0 displaystyle a b lt 0 nbsp Fur den Fall a b 0 displaystyle a b geq 0 nbsp gilt a b a b displaystyle a b a b nbsp und die Summe a b displaystyle a b nbsp lasst sich wegen a a displaystyle a leq a nbsp und b b displaystyle b leq b nbsp nach oben abschatzen durch a b a b displaystyle a b leq a b nbsp Insgesamt folgt somit a b a b displaystyle a b leq a b nbsp Fur den Fall a b lt 0 displaystyle a b lt 0 nbsp gilt a b a b a b displaystyle a b a b a b nbsp und a b displaystyle a b nbsp lasst sich wegen a a displaystyle a leq a nbsp und b b displaystyle b leq b nbsp ebenfalls durch a b displaystyle a b nbsp nach oben abschatzen so dass auch in diesem Fall a b a b displaystyle a b leq a b nbsp Umgekehrte Dreiecksungleichung Bearbeiten Wie beim Dreieck lasst sich auch eine umgekehrte Dreiecksungleichung herleiten Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt a b b a displaystyle a b b leq a nbsp Einsetzen von a x y b y displaystyle a x y b y nbsp gibt x y x y displaystyle x y leq x y nbsp Setzt man stattdessen b x displaystyle b x nbsp so ergibt sich y x x y displaystyle y x leq x y nbsp zusammen also denn fur beliebige reelle Zahlen u displaystyle u nbsp und c displaystyle c nbsp mit u c displaystyle u leq c nbsp und u c displaystyle u leq c nbsp gilt auch u c displaystyle u leq c nbsp x y x y x y displaystyle Big x y Big leq x y leq x y nbsp Ersetzt man y displaystyle y nbsp durch y displaystyle y nbsp so erhalt man auch x y x y x y displaystyle Big x y Big leq x y leq x y nbsp Insgesamt also x y x y x y displaystyle Big x y Big leq x pm y leq x y nbsp fur alle x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp Fur komplexe Zahlen Bearbeiten Fur komplexe Zahlen gilt z 1 z 2 z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 leq z 1 z 2 nbsp Beweis Da alle Seiten nichtnegativ sind ist Quadrieren eine Aquivalenzumformung und man erhaltz 1 z 1 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 2 z 2 z 1 z 1 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 2 z 2 displaystyle z 1 overline z 1 z 1 overline z 2 underbrace overline z 1 z 2 overline z 1 overline z 2 z 2 overline z 2 leq z 1 overline z 1 2 underbrace z 1 z 2 z 1 overline z 2 z 2 overline z 2 nbsp dd wobei der Uberstrich komplexe Konjugation bedeutet Streicht man identische Terme und setzt z z 1 z 2 displaystyle z mathrel z 1 overline z 2 nbsp so bleibtz z 2 z displaystyle z bar z leq 2 z nbsp dd zu zeigen Mit z u i v displaystyle z u iv nbsp erhalt man u i v u i v 2 u 2 u 2 v 2 displaystyle u iv u iv 2u leq 2 sqrt u 2 v 2 nbsp dd bzw u u 2 v 2 displaystyle u leq sqrt u 2 v 2 nbsp dd was wegen 0 v 2 displaystyle 0 leq v 2 nbsp und der Monotonie der reellen Wurzelfunktion immer erfullt ist Analog zum reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 displaystyle Big z 1 z 2 Big leq z 1 pm z 2 leq z 1 z 2 nbsp fur alle z 1 z 2 C displaystyle z 1 z 2 in mathbb C nbsp Von Betragsfunktionen fur Korper Bearbeiten Zusammen mit anderen Forderungen wird eine Betragsfunktion fur einen Korper K displaystyle K nbsp auch durch die Dreiecksungleichung f x y f x f y displaystyle varphi x y leq varphi x varphi y nbsp etabliert Sie hat zu gelten fur alle x y K displaystyle x y in K nbsp Sind alle Forderungen s Artikel Betragsfunktion erfullt dann ist f displaystyle varphi nbsp eine Betragsfunktion fur den Korper K displaystyle K nbsp Ist f n 1 displaystyle varphi n leq 1 nbsp fur alle ganzen n 1 1 n mal displaystyle n underbrace 1 dots 1 n text mal nbsp dann nennt man den Betrag nichtarchimedisch andernfalls archimedisch Bei nichtarchimedischen Betragen gilt die verscharfte Dreiecksungleichung f x y max f x f y displaystyle varphi x y leq max varphi x varphi y nbsp Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch Fur Summen und Integrale Bearbeiten Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw vollstandige Induktion ergibt i 1 n x i i 1 n x i displaystyle left sum i 1 n x i right leq sum i 1 n left x i right nbsp fur reelle oder komplexe Zahlen x i displaystyle x i nbsp Diese Ungleichung gilt auch wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden Ist f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp eine Riemann integrierbare Funktion dann gilt a b f x d x a b f x d x displaystyle left int a b f x dx right leq int a b f x dx nbsp 3 Dies gilt auch fur komplexwertige Funktionen f a b C displaystyle f colon a b to mathbb C nbsp vgl 4 Dann existiert namlich eine komplexe Zahl a displaystyle alpha nbsp so dass a a b f x d x a b f x d x displaystyle alpha int a b f x dx left int a b f x dx right nbsp und a 1 displaystyle alpha 1 nbsp Da a b f x d x a a b f x d x a b a f x d x a b Re a f x d x i a b Im a f x d x displaystyle left int a b f x dx right alpha int a b f x dx int a b alpha f x dx int a b operatorname Re alpha f x dx i int a b operatorname Im alpha f x dx nbsp reell ist muss a b Im a f x d x displaystyle int a b operatorname Im alpha f x dx nbsp gleich Null sein Ausserdem gilt Re a f x a f x f x displaystyle operatorname Re alpha f x leq alpha f x f x nbsp insgesamt also a b f x d x a b Re a f x d x a b f x d x displaystyle left int a b f x dx right int a b operatorname Re alpha f x dx leq int a b f x dx nbsp Fur Vektoren Bearbeiten Fur Vektoren gilt a b a b displaystyle left vec a vec b right leq left vec a right left vec b right nbsp Die Gultigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren a b 2 a b a b a 2 2 a b b 2 a 2 2 a b b 2 a b 2 displaystyle left vec a vec b right 2 left langle vec a vec b vec a vec b right rangle left vec a right 2 2 left langle vec a vec b right rangle left vec b right 2 leq left vec a right 2 2 left vec a right left vec b right left vec b right 2 left left vec a right left vec b right right 2 nbsp unter Anwendung der Cauchy Schwarzschen Ungleichung a b a b displaystyle langle vec a vec b rangle leq left vec a right cdot left vec b right nbsp Auch hier folgt wie im reellen Fall a b a b a b displaystyle Big left vec a right left vec b right Big leq left vec a pm vec b right leq left vec a right left vec b right nbsp sowie i 1 n a i i 1 n a i displaystyle left sum i 1 n vec a i right leq sum i 1 n left vec a i right nbsp Fur spharische Dreiecke Bearbeiten nbsp Zwei spharische DreieckeIn spharischen Dreiecken gilt die Dreiecksungleichung im Allgemeinen nicht Sie gilt jedoch wenn man sich auf eulersche Dreiecke beschrankt also solche in denen jede Seite kurzer als ein halber Grosskreis ist In nebenstehender Abbildung gilt zwar a b c 1 a b displaystyle left a b right leq c 1 leq a b nbsp jedoch ist c 2 gt a b displaystyle c 2 gt a b nbsp Fur normierte Raume Bearbeiten In einem normierten Raum X displaystyle left X cdot right nbsp wird die Dreiecksungleichung in der Form x y x y displaystyle x y leq x y nbsp als eine der Eigenschaften gefordert die die Norm fur alle x y X displaystyle x y in X nbsp erfullen muss Insbesondere folgt auch hier x y x y x y displaystyle Big x y Big leq x pm y leq x y nbsp sowie i 1 n x i i 1 n x i displaystyle left sum i 1 n x i right leq sum i 1 n x i nbsp fur alle x i X displaystyle x i in X nbsp Im Spezialfall der Lp Raume wird die Dreiecksungleichung Minkowski Ungleichung genannt und mittels der Holderschen Ungleichung bewiesen Fur metrische Raume Bearbeiten In einem metrischen Raum X d displaystyle left X d right nbsp wird als Axiom fur die abstrakte Abstandsfunktion verlangt dass die Dreiecksungleichung in der Form d x y d x z d z y displaystyle d x y leq d x z d z y nbsp fur alle x y z X displaystyle x y z in X nbsp erfullt ist In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung Daraus lasst sich ableiten dass in einem metrischen Raum auch die umgekehrte Dreiecksungleichung d x z d z y d x y displaystyle left d x z d z y right leq d x y nbsp fur alle x y z X displaystyle x y z in X nbsp gilt Ausserdem gilt fur beliebige x i X displaystyle x i in X nbsp die Ungleichung d x 0 x n i 1 n d x i 1 x i displaystyle d x 0 x n leq sum i 1 n d x i 1 x i nbsp Siehe auch BearbeitenUngleichungen in ViereckenEinzelnachweise Bearbeiten Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 18 Canadian Mathematical Olympiad 1969 Problem 3 veroffentlicht von der Canadian Mathematical Society Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 8 Auflage B G Teubner Stuttgart 1990 ISBN 3 519 12231 6 Satz 85 1 Walter Rudin Real and Complex Analysis MacGraw Hill 1986 ISBN 0 07 100276 6 Theorem 1 33 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dreiecksungleichung amp oldid 230667030 Umgekehrte Dreiecksungleichung
