Der Tor Funktor ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der homologischen Algebra Es handelt sich um einen Bi Funktor der bei der Untersuchung des Tensorprodukts auftritt Er ist neben dem Ext Funktor eine der wichtigsten Konstruktionen der homologischen Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Motivation mittels Tensorprodukten 2 Definition 3 Abelsche Gruppen 3 1 Alternative Beschreibung von Tor A B 3 2 Charakterisierung torsionsfreier Gruppen 3 3 Endlich erzeugte abelsche Gruppen 4 Tor als Ableitung des Tensor Funktors 5 EinzelnachweiseMotivation mittels Tensorprodukten BearbeitenWir betrachten Kategorien von Moduln uber einem Ring R displaystyle R nbsp Ist 0 X a Y b Z 0 displaystyle 0 rightarrow X xrightarrow alpha Y xrightarrow beta Z rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz von Links R displaystyle R nbsp Moduln und Modul Morphismen und ist A displaystyle A nbsp ein Rechts R displaystyle R nbsp Modul so fuhrt das Tensorieren obiger Sequenz von links mit A displaystyle A nbsp zu einer exakten Sequenz A R X i d A a A R Y i d A b A R Z 0 displaystyle A otimes R X xrightarrow mathrm id A otimes alpha A otimes R Y xrightarrow mathrm id A otimes beta A otimes R Z rightarrow 0 nbsp von abelschen Gruppen die sich im Allgemeinen nicht mit dem Nullobjekt nach links zu einer exakten Sequenz fortsetzen lasst das heisst i d A a displaystyle mathrm id A otimes alpha nbsp ist im Allgemeinen nicht injektiv oder kurz Der Tensorfunktor ist rechtsexakt aber im Allgemeinen nicht linksexakt Als Beispiel betrachte man die kurze exakte Sequenz 0 Z a Z b Z 2 0 displaystyle 0 rightarrow mathbb Z xrightarrow alpha mathbb Z xrightarrow beta mathbb Z 2 rightarrow 0 nbsp von Z displaystyle mathbb Z nbsp Moduln wobei a n 2 n displaystyle alpha n 2n nbsp und b displaystyle beta nbsp die naturliche Abbildung von Z displaystyle mathbb Z nbsp auf die Restklassengruppe Z 2 0 1 displaystyle mathbb Z 2 overline 0 overline 1 nbsp sei Tensoriert man diese Sequenz mit Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp so ist i d Z 2 a displaystyle mathrm id mathbb Z 2 otimes alpha nbsp nicht injektiv denn es ist i d Z 2 a 1 1 i d Z 2 1 a 1 1 2 1 2 1 1 0 1 0 displaystyle mathrm id mathbb Z 2 otimes alpha overline 1 otimes 1 mathrm id mathbb Z 2 overline 1 otimes alpha 1 overline 1 otimes 2 cdot 1 2 cdot overline 1 otimes 1 overline 0 otimes 1 0 nbsp Dabei wurde der Faktor 2 von der torsionsfreien Gruppe Z displaystyle mathbb Z nbsp mittels Tensoroperation in die Torsionsgruppe Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp verschoben und hat dort zu einer 0 gefuhrt Das ist der typische Grund warum die Injektivitat des Morphismus a displaystyle alpha nbsp beim Ubergang zur tensorierten Sequenz verloren geht Die fehlende Injektivitat fuhrt zum Auftreten eines Kerns und gibt Anlass zu folgender Definition Definition BearbeitenEs seien A displaystyle A nbsp ein Rechts R displaystyle R nbsp Modul und B displaystyle B nbsp ein Links R displaystyle R nbsp Modul Weiter sei 0 S m P n B 0 displaystyle 0 rightarrow S xrightarrow mu P xrightarrow nu B rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz mit projektivem Modul P displaystyle P nbsp Dann definiert man die abelsche Gruppe Tor A B ker A R S i d A m A R P displaystyle operatorname Tor A B operatorname ker A otimes R S xrightarrow mathrm id A otimes mu A otimes R P nbsp und man kann zeigen dass diese Definition nicht von der gewahlten exakten Sequenz 0 S P B 0 displaystyle 0 rightarrow S rightarrow P rightarrow B rightarrow 0 nbsp mit projektivem P displaystyle P nbsp abhangt Das rechtfertigt die Schreibweise Tor A B displaystyle operatorname Tor A B nbsp ohne Hinweis auf diese Sequenz Manchmal fugt man noch den Ring R displaystyle R nbsp an und schreibt Tor R A B displaystyle operatorname Tor R A B nbsp Ist a A A displaystyle alpha colon A rightarrow A nbsp ein Morphismus so entnimmt man dem kommutativen Diagramm A R S i d A m A R P i d A n A R B 0 a i d S a i d P a i d B A R S i d A m A R P i d A n A R B 0 displaystyle begin array cccccc A otimes R S amp xrightarrow mathrm id A otimes mu amp A otimes R P amp xrightarrow mathrm id A otimes nu amp A otimes R B amp rightarrow 0 downarrow alpha otimes mathrm id S amp amp downarrow alpha otimes mathrm id P amp amp downarrow alpha otimes mathrm id B amp A otimes R S amp xrightarrow mathrm id A otimes mu amp A otimes R P amp xrightarrow mathrm id A otimes nu amp A otimes R B amp rightarrow 0 end array nbsp dass die Einschrankung von a i d S displaystyle alpha otimes mathrm id S nbsp den Kern von i d A m displaystyle mathrm id A otimes mu nbsp nach ker i d A m displaystyle operatorname ker mathrm id A otimes mu nbsp abbildet und so einen Gruppenhomomorphismus a Tor A B Tor A B displaystyle alpha colon operatorname Tor A B rightarrow operatorname Tor A B nbsp definiert Auf diese Weise erhalt man einen Funktor Tor R B r M o d R A b displaystyle operatorname Tor R B colon mathfrak rMod R rightarrow mathfrak Ab nbsp von der Kategorie der Rechts R displaystyle R nbsp Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen Weiter kann man die Rollen von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp vertauschen das heisst man geht von der exakten Sequenz 0 S P A displaystyle 0 rightarrow S rightarrow P rightarrow A nbsp von Rechts R displaystyle R nbsp Moduln aus und zeigt dass man mit ker S R B P R B displaystyle operatorname ker S otimes R B rightarrow P otimes R B nbsp eine zu obiger Definition naturlich isomorphe Gruppe erhalt die daher ebenfalls mit Tor A B displaystyle operatorname Tor A B nbsp bzw Tor R A B displaystyle operatorname Tor R A B nbsp bezeichnet werden kann Insgesamt erhalt man so einen Bi Funktor Tor R r M o d R l M o d R A b displaystyle operatorname Tor R colon mathfrak rMod R times mathfrak lMod R rightarrow mathfrak Ab nbsp von dem Produkt der Kategorie der Rechts Moduln uber R displaystyle R nbsp mit der Kategorie der Links Moduln uber R displaystyle R nbsp in die Kategorie der abelschen Gruppen 1 Der Tor Funktor ist additiv das heisst man hat naturliche Isomorphismen Tor R A A B Tor R A B Tor R A B displaystyle operatorname Tor R A oplus A B cong operatorname Tor R A B oplus operatorname Tor R A B nbsp Tor R A B B Tor R A B Tor R A B displaystyle operatorname Tor R A B oplus B cong operatorname Tor R A B oplus operatorname Tor R A B nbsp fur Rechts R displaystyle R nbsp Moduln A A displaystyle A A nbsp und Links R displaystyle R nbsp Moduln B B displaystyle B B nbsp Abelsche Gruppen BearbeitenWahlt man Z displaystyle mathbb Z nbsp als Grundring so bewegt man sich in der Kategorie der abelschen Gruppen denn diese sind genau die Z displaystyle mathbb Z nbsp Moduln und man muss wegen der Kommutativitat des Grundrings nicht zwischen Links und Rechts Moduln unterscheiden In dieser Kategorie ergeben sich gewisse Vereinfachungen und man findet einen Zusammenhang zwischen dem Tor Funktor und der fur ihn namensgebenden Torsion von Gruppen Alternative Beschreibung von Tor A B Bearbeiten Im Falle abelscher Gruppen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp kann Tor A B displaystyle operatorname Tor A B nbsp wie folgt durch Erzeuger und Relationen prasentiert werden 2 Die Menge E displaystyle mathcal E nbsp der Erzeuger sei die Menge aller Symbole a m b displaystyle langle a m b rangle nbsp mit a A m Z b B displaystyle a in A m in mathbb Z b in B nbsp a m 0 displaystyle am 0 nbsp und m b 0 displaystyle mb 0 nbsp wobei hier die Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul Operation nur aus praktischen Grunden einmal links und einmal rechts geschrieben wurde eine Unterscheidung ist wie oben erwahnt nicht notig Die Menge R displaystyle mathcal R nbsp der Relationen enthalte alle Ausdrucke der Form a 1 a 2 m b a 1 m b a 2 m b a 1 m b a 2 m b E displaystyle langle a 1 a 2 m b rangle langle a 1 m b rangle langle a 2 m b rangle quad langle a 1 m b rangle langle a 2 m b rangle in mathcal E nbsp a m b 1 b 2 a m b 1 a m b 2 a m b 1 a m b 2 E displaystyle langle a m b 1 b 2 rangle langle a m b 1 rangle langle a m b 2 rangle quad langle a m b 1 rangle langle a m b 2 rangle in mathcal E nbsp a m n b a m n b a m n b E displaystyle langle a mn b rangle langle am n b rangle quad langle am n b rangle in mathcal E nbsp a m n b a m n b a m n b E displaystyle langle a mn b rangle langle a m nb rangle quad langle a m nb rangle in mathcal E nbsp Dann kann man zeigen dass die durch E R displaystyle langle mathcal E mathcal R rangle nbsp prasentierte Gruppe zu Tor A B displaystyle operatorname Tor A B nbsp isomorph ist Zur Konstruktion einer Abbildung E R Tor A B displaystyle langle mathcal E mathcal R rangle rightarrow operatorname Tor A B nbsp sei 0 S m P n B 0 displaystyle 0 rightarrow S xrightarrow mu P xrightarrow nu B rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz mit projektivem Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul P displaystyle P nbsp und a m b displaystyle langle a m b rangle nbsp ein Erzeuger Wahle p P displaystyle p in P nbsp mit n p b displaystyle nu p b nbsp Dann ist n m p m b 0 displaystyle nu mp mb 0 nbsp und wegen der Exaktheit gibt es genau ein s S displaystyle s in S nbsp mit m s m p displaystyle mu s mp nbsp Man kann zeigen dass a s displaystyle a otimes s nbsp nicht von der Wahl p displaystyle p nbsp abhangt Da i d A m a s a m s a m p a m p 0 p 0 displaystyle mathrm id A otimes mu a otimes s a otimes mu s a otimes mp am otimes p 0 otimes p 0 nbsp liegt a s displaystyle a otimes s nbsp im Kern von i d A m displaystyle mathrm id A otimes mu nbsp und damit definitionsgemass in Tor A B displaystyle operatorname Tor A B nbsp Die vorgestellte Konstruktion definiert daher eine Abbildung E R Tor A B displaystyle langle mathcal E mathcal R rangle rightarrow operatorname Tor A B nbsp von der man zeigen kann dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt Charakterisierung torsionsfreier Gruppen Bearbeiten Fur eine abelsche Gruppe A displaystyle A nbsp sind folgende Aussagen aquivalent 3 A displaystyle A nbsp ist torsionsfrei das heisst enthalt ausser 0 keine Elemente endlicher Ordnung Tor A B 0 displaystyle operatorname Tor A B 0 nbsp fur alle abelschen Gruppen B displaystyle B nbsp Fur alle injektiven Gruppenhomomorphismen b B C displaystyle beta colon B rightarrow C nbsp ist auch i d A b A Z B A Z C displaystyle mathrm id A otimes beta colon A otimes mathbb Z B rightarrow A otimes mathbb Z C nbsp injektiv Jede exakte Sequenz abelscher Gruppen geht durch Tensorieren mit A displaystyle A nbsp wieder in eine exakte Sequenz uber Insbesondere ist Tor A B 0 displaystyle operatorname Tor A B 0 nbsp falls eine der Gruppen gleich Z displaystyle mathbb Z nbsp oder Q displaystyle mathbb Q nbsp ist Endlich erzeugte abelsche Gruppen Bearbeiten Tor A B displaystyle operatorname Tor A B nbsp lasst sich fur endlich erzeugte abelsche Gruppen vollstandig berechnen Nach dem Hauptsatz uber endlich erzeugte abelsche Gruppen sind solche Gruppen direkte Summen von zyklischen Gruppen so dass Tor A B displaystyle operatorname Tor A B nbsp wegen der Additivitat des Tor Funktors nur noch fur zyklische Gruppen zu bestimmen ist Ist eine der Gruppen gleich Z displaystyle mathbb Z nbsp so ist Tor A B 0 displaystyle operatorname Tor A B 0 nbsp und es bleibt nur noch der Fall endlicher zyklischer Gruppen Sei Z n displaystyle mathbb Z n nbsp die zyklische Gruppe der Ordnung n displaystyle n nbsp Dann folgt 4 Tor Z n B b B n b 0 displaystyle operatorname Tor mathbb Z n B cong b in B nb 0 nbsp und daraus wenn man den grossten gemeinsamen Teiler von m displaystyle m nbsp und n displaystyle n nbsp mit m n displaystyle m n nbsp bezeichnet Tor Z m Z n Z m n displaystyle operatorname Tor mathbb Z m mathbb Z n cong mathbb Z m n nbsp was man aber auch direkt aus der Definition mit der Auflosung 0 Z a m a Z Z m displaystyle 0 rightarrow mathbb Z xrightarrow a mapsto ma mathbb Z rightarrow mathbb Z m nbsp herleiten kann Damit ist Tor A B displaystyle operatorname Tor A B nbsp fur endlich erzeugte abelsche Gruppen bestimmt Tor als Ableitung des Tensor Funktors BearbeitenEine allgemeinere Definition erhalt man durch Tor n R A B L n R B A L n A R B displaystyle operatorname Tor n R A B L n otimes R B A cong L n A otimes R B nbsp als n displaystyle n nbsp te Linksableitung des Tensorfunktors Ist der Grundring R displaystyle R nbsp durch den Kontext gegeben so lasst man ihn in der Bezeichnung fort und schreibt einfach Tor n A B displaystyle operatorname Tor n A B nbsp Man erhalt so eine Folge von Bi Funktoren Tor n R r M o d R l M o d R A b displaystyle operatorname Tor n R colon mathfrak rMod R times mathfrak lMod R rightarrow mathfrak Ab nbsp Verwendet man projektive Auflosungen zur Berechnung von Tor n R A B displaystyle operatorname Tor n R A B nbsp so sieht man dass Tor 1 R A B displaystyle operatorname Tor 1 R A B nbsp mit dem oben definierten Tor displaystyle operatorname Tor nbsp Funktor zusammenfallt Man erhalt aus der allgemeinen Theorie folgende lange exakte Sequenzen die zeigen wie der Tor Funktor die fehlende Linksexaktheit des Tensorfunktors kompensiert 5 Ist 0 A A A 0 displaystyle 0 rightarrow A rightarrow A rightarrow A rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz von Rechts R displaystyle R nbsp Moduln und B displaystyle B nbsp ein Links R displaystyle R nbsp Modul so hat man eine lange exakte Sequenz Tor 2 A B Tor 1 A B Tor 1 A B Tor 1 A B displaystyle ldots rightarrow operatorname Tor 2 A B rightarrow operatorname Tor 1 A B rightarrow operatorname Tor 1 A B rightarrow operatorname Tor 1 A B nbsp A R B A R B A R B 0 displaystyle rightarrow A otimes R B rightarrow A otimes R B rightarrow A otimes R B rightarrow 0 nbsp dd Ist 0 B B B 0 displaystyle 0 rightarrow B rightarrow B rightarrow B rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz von Links R displaystyle R nbsp Moduln und A displaystyle A nbsp ein Rechts R displaystyle R nbsp Modul so hat man eine lange exakte Sequenz Tor 2 A B Tor 1 A B Tor 1 A B Tor 1 A B displaystyle ldots rightarrow operatorname Tor 2 A B rightarrow operatorname Tor 1 A B rightarrow operatorname Tor 1 A B rightarrow operatorname Tor 1 A B nbsp A R B A R B A R B 0 displaystyle rightarrow A otimes R B rightarrow A otimes R B rightarrow A otimes R B rightarrow 0 nbsp dd Einzelnachweise Bearbeiten P J Hilton und U Stammbach A course in homological algebra 2 Auflage Springer Verlag Graduate Texts in Mathematics 1997 ISBN 0 387 94823 6 Kapitel III 8 The Functor Tor Saunders Mac Lane Homology Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 1967 Kap V 6 Torsion Products of Groups Saunders Mac Lane Homology Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 1967 Kap V Theorem 6 2 Saunders Mac Lane Homology Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 1967 Kap V 6 Torsion Products of Groups P J Hilton und U Stammbach A course in homological algebra 2 Auflage Springer Verlag Graduate Texts in Mathematics 1997 ISBN 0 387 94823 6 Kapitel IV 11 The Functor Tor n L displaystyle operatorname Tor n Lambda nbsp Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tor Mathematik amp oldid 227693182
