www.wikidata.de-de.nina.az

Topologischer Ring In der Mathematik ist ein topologischer Ring ein Ring welcher bezüglich der Addition eine topologisch

Topologischer Ring

In der Mathematik ist ein topologischer Ring ein Ring, welcher bezüglich der Addition eine topologische Gruppe ist und dessen Multiplikation in der gegebenen Topologie ebenfalls stetig ist. Ist R sogar ein Körper und ist auch die multiplikative Inversenbildung stetig, dann spricht man von einem topologischen Körper. Entsprechend kann man einen topologischen Schiefkörper definieren. Im Gegensatz zu den nichtkommutativen topologischen Ringen (wie den Endomorphismenringen s. u.) sind „echte“ topologische Schiefkörper von geringem Interesse. Wo in diesem Artikel nicht ausdrücklich darauf hingewiesen wird, gelten die über Körper gemachten Aussagen auch für Schiefkörper.

Lokale Charakterisierung der Stetigkeit Bearbeiten

Die Stetigkeit der Multiplikation bzw. der Inversenbildung kann man in einem Ring , der bezüglich seiner Addition eine topologische Gruppe ist, allein mit Nullumgebungen charakterisieren. Sei dazu eine Umgebungsbasis von 0:
Die Linksmultiplikation mit einem festen Element ist auf genau dann stetig, wenn

Entsprechend lässt sich die Stetigkeit der Rechtsmultiplikation mit charakterisieren. Im Fall eines kommutativen Ringes sind die beiden Bedingungen gleichwertig. Ist die Links- und Rechtsmultiplikation mit jedem Element stetig und gilt dann noch

dann ist die Multiplikation stetig und ein topologischer Ring.
Die Inversenbildung ist genau dann stetig im invertierbaren Element , wenn zu jedem in ein in existiert, so dass die Inversen von alle in liegen. Ist also ein Körper und trifft dies für alle seine Elemente zu, dann ist ein topologischer Körper.

Eigenschaften. Vervollständigung Bearbeiten

  • Der Abschluss eines Unterringes (bzw. Linksideals, Rechtsideals, zweiseitigen Ideals) ist wieder ein Unterring (Linksideal, Rechtsideal, zweiseitiges Ideal).
  • Insbesondere ist der Abschluss des Nullideals ein zweiseitiges Ideal. Der Faktorring mit der Quotiententopologie ist hausdorffsch.
  • Zu jedem topologischen Ring gibt es einen im Wesentlichen eindeutig bestimmten vollständigen hausdorffschen topologischen Ring zusammen mit einem stetigen Ringhomomorphismus mit Kern und dichtem Bild. wird als Vervollständigung von bezeichnet. Im Allgemeinen muss die Vervollständigung eines topologischen Körpers aber kein topologischer Körper mehr sein, sondern kann sogar Nullteiler besitzen.

Beispiele Bearbeiten

Topologische Körper Bearbeiten

  • Die Körper der rationalen, reellen und komplexen Zahlen sind topologische Körper bezüglich der üblichen Topologie (des durch die Betragsfunktion definierten metrischen Raumes).
  • Etwas allgemeiner sind alle bewerteten Körper topologische Körper. Hierzu gehören wieder die rationalen Zahlen mit einer -adischen Bewertung ( Primzahl). Bezüglich jeder -adischen Bewertung kann zu einem vollständigen metrischen Raum, wieder einem topologischen Körper, dem Körper der -adischen Zahlen komplettiert werden.
  • Ein Beispiel für einen „echten“ topologischen Schiefkörper ist der Quaternionenschiefkörper .

Endomorphismenringe Bearbeiten

  • Wichtige Beispiele für topologische Ringe liefern die Algebren von stetigen linearen Selbstabbildungen eines normierten Vektorraumes über einem Körper mit . Als Norm legt man hier die Abbildungsnorm zugrunde:
  • Hierzu gehören als einfachste Beispiele die vollen Matrizenringe der quadratischen Matrizen mit Einträgen aus . Die Norm kann hier anstelle der Abbildungsnorm jede beliebige Norm auf sein, da alle dieselbe Topologie induzieren.

Beachte: Die vollen Endomorphismenringe sind, von Trivialfällen abgesehen, nicht kommutativ und auch keine Schiefkörper. Häufig sind Unterringe von Interesse, die gelegentlich eine dieser Eigenschaften haben:

  • Der Ring der Diagonalmatrizen ist ein (für echter) kommutativer Unterring von und damit ein topologischer Ring.
  • Allgemein lassen sich alle endlichdimensionalen Algebren über einem bewerteten Körper als Matrixringe darstellen und so mit einer Topologie versehen, die mit ihren Verknüpfungen verträglich ist.

Funktionenräume Bearbeiten

  • Jede Banachalgebra. Ein besonders wichtiges Beispiel ist , die Menge der stetigen Funktionen auf einem kompakten topologischen Raum .
  • Die Menge der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet ist ein topologischer Ring (sogar ein Integritätsring), die Topologie ist die Topologie der kompakten Konvergenz.
    Auf speziellen Gebieten in der komplexen Zahlenebene sind eindeutige Darstellungen der dort holomorphen Funktionen möglich:
  • Ist das Innere einer Kreisscheibe, dann besitzt jede auf holomorphe Funktion eine eindeutige Darstellung als kompakt konvergente Potenzreihe. Umgekehrt sind die auf kompakt konvergenten Potenzreihen holomorph auf .
  • Ist eine (rechte) Halbebene der komplexen Zahlenebene (d. h. besteht aus allen Zahlen mit für eine feste reelle Zahl ), dann existiert eine eindeutige Darstellung durch eine auf kompakt konvergente Dirichletreihe. Auch hier trifft analog zu den Potenzreihen die Umkehrung zu.

Literatur Bearbeiten

  • Vladimir I. Arnautov, S. T. Glavatsky, Aleksandr V. Michalev: Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 197) Marcel Dekker Inc, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-8247-9323-4.
  • Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie générale. Hermann, Paris 1971, Abschnitt III § 6.
  • Seth Warner: Topological Rings (= North-Holland Mathematics Studies. Bd. 178). North-Holland, Amsterdam u. a. 1993, ISBN 0-444-89446-2.

Zu den Anwendungen in der Funktionalanalysis und Funktionentheorie kann jedes einführende Lehrbuch zu diesen Gebieten herangezogen werden. Siehe etwa diese Literaturangaben zur Funktionalanalysis und diese zur Funktionentheorie.

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist ein topologischer Ring ein Ring welcher bezuglich der Addition eine topologische Gruppe ist und dessen Multiplikation in der gegebenen Topologie ebenfalls stetig ist Ist R sogar ein Korper und ist auch die multiplikative Inversenbildung stetig dann spricht man von einem topologischen Korper Entsprechend kann man einen topologischen Schiefkorper definieren Im Gegensatz zu den nichtkommutativen topologischen Ringen wie den Endomorphismenringen s u sind echte topologische Schiefkorper von geringem Interesse Wo in diesem Artikel nicht ausdrucklich darauf hingewiesen wird gelten die uber Korper gemachten Aussagen auch fur Schiefkorper Inhaltsverzeichnis 1 Lokale Charakterisierung der Stetigkeit 2 Eigenschaften Vervollstandigung 3 Beispiele 3 1 Topologische Korper 3 2 Endomorphismenringe 3 3 Funktionenraume 4 LiteraturLokale Charakterisierung der Stetigkeit BearbeitenDie Stetigkeit der Multiplikation bzw der Inversenbildung kann man in einem Ring R displaystyle R nbsp der bezuglich seiner Addition eine topologische Gruppe ist allein mit Nullumgebungen charakterisieren Sei dazu B 0 displaystyle B 0 nbsp eine Umgebungsbasis von 0 Die Linksmultiplikation mit einem festen Element c displaystyle c nbsp ist auf R displaystyle R nbsp genau dann stetig wenn fur jede Umgebung U displaystyle U nbsp in B 0 displaystyle B 0 nbsp eine Umgebung V displaystyle V nbsp in B 0 displaystyle B 0 nbsp existiert so dass c V U displaystyle c cdot V subseteq U nbsp gilt Entsprechend lasst sich die Stetigkeit der Rechtsmultiplikation mit c displaystyle c nbsp charakterisieren Im Fall eines kommutativen Ringes sind die beiden Bedingungen gleichwertig Ist die Links und Rechtsmultiplikation mit jedem Element c displaystyle c nbsp stetig und gilt dann noch fur alle U displaystyle U nbsp in B 0 displaystyle B 0 nbsp existiert V displaystyle V nbsp in B 0 displaystyle B 0 nbsp so dass V V U displaystyle V cdot V subseteq U nbsp gilt dann ist die Multiplikation stetig und R displaystyle R nbsp ein topologischer Ring Die Inversenbildung ist genau dann stetig im invertierbaren Element x R displaystyle x in R times nbsp wenn zu jedem U displaystyle U nbsp in B 0 displaystyle B 0 nbsp ein V displaystyle V nbsp in B 0 displaystyle B 0 nbsp existiert so dass die Inversen von x V displaystyle x V nbsp alle in x 1 U displaystyle x 1 U nbsp liegen Ist R displaystyle R nbsp also ein Korper und trifft dies fur alle seine Elemente x 0 displaystyle x neq 0 nbsp zu dann ist R displaystyle R nbsp ein topologischer Korper Eigenschaften Vervollstandigung BearbeitenDer Abschluss eines Unterringes bzw Linksideals Rechtsideals zweiseitigen Ideals ist wieder ein Unterring Linksideal Rechtsideal zweiseitiges Ideal Insbesondere ist der Abschluss N displaystyle N nbsp des Nullideals ein zweiseitiges Ideal Der Faktorring R N displaystyle R N nbsp mit der Quotiententopologie ist hausdorffsch Zu jedem topologischen Ring R displaystyle R nbsp gibt es einen im Wesentlichen eindeutig bestimmten vollstandigen hausdorffschen topologischen Ring R displaystyle hat R nbsp zusammen mit einem stetigen Ringhomomorphismus R R displaystyle R to hat R nbsp mit Kern N displaystyle N nbsp und dichtem Bild R displaystyle hat R nbsp wird als Vervollstandigung von R displaystyle R nbsp bezeichnet Im Allgemeinen muss die Vervollstandigung eines topologischen Korpers aber kein topologischer Korper mehr sein sondern kann sogar Nullteiler besitzen Beispiele BearbeitenTopologische Korper Bearbeiten Die Korper der rationalen reellen und komplexen Zahlen sind topologische Korper bezuglich der ublichen Topologie des durch die Betragsfunktion definierten metrischen Raumes Etwas allgemeiner sind alle bewerteten Korper topologische Korper Hierzu gehoren wieder die rationalen Zahlen mit einer p displaystyle p nbsp adischen Bewertung p displaystyle p nbsp Primzahl Bezuglich jeder p displaystyle p nbsp adischen Bewertung kann Q displaystyle mathbb Q nbsp zu einem vollstandigen metrischen Raum wieder einem topologischen Korper dem Korper der p displaystyle p nbsp adischen Zahlen komplettiert werden Ein Beispiel fur einen echten topologischen Schiefkorper ist der Quaternionenschiefkorper H displaystyle mathbb H nbsp Endomorphismenringe Bearbeiten Wichtige Beispiele fur topologische Ringe liefern die Algebren A displaystyle A nbsp von stetigen linearen Selbstabbildungen F displaystyle F nbsp eines normierten Vektorraumes V displaystyle V nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp mit Q K C displaystyle mathbb Q subseteq K subseteq mathbb C nbsp Als Norm legt man hier die Abbildungsnorm zugrunde F A sup x V x V 1 F x V displaystyle F A sup x in V x V 1 Fx V nbsp dd Hierzu gehoren als einfachste Beispiele die vollen Matrizenringe R M n n K displaystyle R mathcal M n times n K nbsp der quadratischen Matrizen mit Eintragen aus K displaystyle K nbsp Die Norm kann hier anstelle der Abbildungsnorm jede beliebige Norm auf R displaystyle R nbsp sein da alle dieselbe Topologie induzieren Beachte Die vollen Endomorphismenringe sind von Trivialfallen abgesehen nicht kommutativ und auch keine Schiefkorper Haufig sind Unterringe von Interesse die gelegentlich eine dieser Eigenschaften haben Der Ring D displaystyle D nbsp der Diagonalmatrizen ist ein fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp echter kommutativer Unterring von M n n K displaystyle mathcal M n times n K nbsp und damit ein topologischer Ring Allgemein lassen sich alle endlichdimensionalen Algebren uber einem bewerteten Korper als Matrixringe darstellen und so mit einer Topologie versehen die mit ihren Verknupfungen vertraglich ist Funktionenraume Bearbeiten Siehe auch Funktionenraum vollstandige topologische Ringe in der Funktionalanalysis Jede Banachalgebra Ein besonders wichtiges Beispiel ist C T displaystyle C T nbsp die Menge der stetigen Funktionen auf einem kompakten topologischen Raum T displaystyle T nbsp topologische Ringe in der Funktionentheorie Die Menge der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet G C displaystyle G subseteq mathbb C nbsp ist ein topologischer Ring sogar ein Integritatsring die Topologie ist die Topologie der kompakten Konvergenz Auf speziellen Gebieten in der komplexen Zahlenebene sind eindeutige Darstellungen der dort holomorphen Funktionen moglich Ist G displaystyle G nbsp das Innere einer Kreisscheibe dann besitzt jede auf G displaystyle G nbsp holomorphe Funktion eine eindeutige Darstellung als kompakt konvergente Potenzreihe Umgekehrt sind die auf G displaystyle G nbsp kompakt konvergenten Potenzreihen holomorph auf G displaystyle G nbsp Ist G displaystyle G nbsp eine rechte Halbebene der komplexen Zahlenebene d h G displaystyle G nbsp besteht aus allen Zahlen z displaystyle z nbsp mit R e z gt s displaystyle Re z gt sigma nbsp fur eine feste reelle Zahl s displaystyle sigma nbsp dann existiert eine eindeutige Darstellung durch eine auf G displaystyle G nbsp kompakt konvergente Dirichletreihe Auch hier trifft analog zu den Potenzreihen die Umkehrung zu Literatur BearbeitenVladimir I Arnautov S T Glavatsky Aleksandr V Michalev Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules Pure and Applied Mathematics Bd 197 Marcel Dekker Inc New York NY u a 1996 ISBN 0 8247 9323 4 Nicolas Bourbaki Elements de mathematique Topologie generale Hermann Paris 1971 Abschnitt III 6 Seth Warner Topological Rings North Holland Mathematics Studies Bd 178 North Holland Amsterdam u a 1993 ISBN 0 444 89446 2 Zu den Anwendungen in der Funktionalanalysis und Funktionentheorie kann jedes einfuhrende Lehrbuch zu diesen Gebieten herangezogen werden Siehe etwa diese Literaturangaben zur Funktionalanalysis und diese zur Funktionentheorie Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Topologischer Ring amp oldid 193175066