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Stützhyperebene Eine oder stützende Hyperebene ist in der Mathematik eine Hyperebene die den Rand einer gegebenen Teilme

Stützhyperebene

Eine Stützhyperebene oder stützende Hyperebene ist in der Mathematik eine Hyperebene, die den Rand einer gegebenen Teilmenge des euklidischen Raums so schneidet, dass die Menge vollständig in einem der beiden durch die Hyperebene definierten abgeschlossenen Halbräume liegt. Im zwei- und dreidimensionalen Raum spricht man entsprechend auch von einer Stützgerade beziehungsweise einer Stützebene. Für eine konvexe Menge existiert an jedem Randpunkt eine Stützhyperebene, die im Fall von glatten konvexen Mengen sogar eindeutig ist.

Stützhyperebene (gestrichelte Linie) und zugehöriger Stützhalbraum (hellblau) einer Menge S (lila)

Definition Bearbeiten

Ist eine Menge im -dimensionalen euklidischen Raum, dann heißt eine Hyperebene Stützhyperebene von , wenn

und

gelten, wobei und die beiden abgeschlossenen Halbräume zu sind. Derjenige Halbraum, der die zweite Bedingung erfüllt, heißt dann Stützhalbraum von . Ein Randpunkt von , der auf einer Stützhyperebene liegt, wird auch Stützpunkt von genannt. Eine Stützhyperebene heißt eigentlich, wenn ist, ansonsten uneigentlich.

Darstellung Bearbeiten

Ist ein Randpunkt von und bezeichnet das Standardskalarprodukt im , dann ist die Hyperebene

mit Normalenvektor genau dann eine Stützhyperebene von durch den Stützpunkt , wenn entweder

für alle Punkte oder

für alle gilt. Durch Orientierung des Normalenvektors, zum Beispiel in Richtung der Menge , kann man sich auch auf einen der beiden Fälle beschränken.

Stützhyperebenen bei konvexen Mengen Bearbeiten

Bei einer nichtkonvexen Menge gibt es Randpunkte, an denen keine Stützhyperebene existiert

Existenzsatz Bearbeiten

Der folgende Existenzsatz für konvexe Mengen geht auf Hermann Minkowski (1896) zurück:

Das bedeutet, dass bei einer konvexen Menge zu jedem Randpunkt ein Vektor existiert, sodass

für alle gilt. Bei einer konvexen Menge sind damit alle Randpunkte Stützpunkte.

Beweis Bearbeiten

Sei mit eine Folge von Punkten außerhalb des Abschlusses von , die gegen den Randpunkt konvergiert (). Nach dem Trennungssatz existiert nun durch jeden Punkt eine Hyperebene

sodass gilt. Werden nun die Vektoren auf die Länge eins normiert, dann ist die Folge beschränkt und enthält damit nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge . Ist der Grenzwert einer solchen Teilfolge (), dann ergibt sich

für alle . Damit ist die Hyperebene

eine Stützhyperebene im Stützpunkt mit zugehörigen Stützhalbraum .

Anmerkungen Bearbeiten

Die Stützhyperebene durch einen gegebenen Stützpunkt muss nicht eindeutig sein

Hat die Menge ein nichtleeres Inneres, ist also , dann gilt auch die Umkehrung und ist konvex, wenn alle Randpunkte von Stützpunkte sind. Somit ergibt sich die folgende Charakterisierung konvexer Mengen:

Die Menge ist dabei streng konvex, wenn jede Stützhyperebene an genau einen Stützpunkt enthält. Bei einer streng konvexen Menge sind damit die Stützhyperebenen zu verschiedenen Stützpunkten ebenfalls verschieden und jeder Randpunkt der Menge ist ein Extremalpunkt. Ein verwandtes Resultat ist der Satz von Minkowski.

Eine Stützhyperebene durch einen gegebenen Stützpunkt muss jedoch nicht notwendigerweise eindeutig bestimmt sein, wie das Beispiel in der nebenstehenden Abbildung zeigt. Konvexe Mengen, bei denen die Stützhyperebene durch einen gegebenen Randpunkt eindeutig ist, heißen glatt konvex. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Theorie glatter Räume.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Stützhyperebenen werden allgemeiner auch in beliebigen topologischen Vektorräumen betrachtet. Eine Stützhyperebene an eine Teilmenge eines topologischen Vektorraums im Randpunkt ist dann eine reelle Hyperebene

wobei ein reelles lineares Funktional ist, welches nicht das Nullfunktional ist und dabei die Ungleichung

für alle erfüllt. Ein solches Funktional wird auch als Stützfunktional an bezeichnet. Besitzt ein gegebener Randpunkt eine derartige Stützhyperebene (und damit ein derartiges Stützfunktional), so wird er als Stützpunkt der Teilmenge bezeichnet.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28673-5.
  • Peter Gritzmann: Grundlagen der mathematischen Optimierung. Springer, 2013, ISBN 978-3-8348-2011-2.
  • Dieter Jungnickel: Optimierungsmethoden: Eine Einführung. Springer, 2014, ISBN 978-3-642-54821-5.
  • Gottfried Köthe: Topologische Lineare Räume I. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-24912-3.
  • Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5910-3.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Günter Ewald: Combinatorial convexity and algebraic geometry. In: Graduate texts in mathematics. Nr. 168. Springer, New York 1996, ISBN 978-1-4612-8476-5, S. 12.
  2. Peter Gritzmann: Grundlagen der mathematischen Optimierung. Springer, 2013, S. 261.
  3. Dieter Jungnickel: Optimierungsmethoden: Eine Einführung. Springer, 2014, S. 35.
  4. Hermann Minkowski: Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.
  5. ↑ Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, S. 247.
  6. Gottfried Köthe: Topologische Lineare Räume I. Springer, 2013, S. 346.
  7. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Springer, 2013, S. 108.
  8. Gottfried Köthe: Topologische Lineare Räume I. Springer, 2013, S. 196.
  9. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Springer, 2013, S. 66–67.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Eine Stutzhyperebene oder stutzende Hyperebene ist in der Mathematik eine Hyperebene die den Rand einer gegebenen Teilmenge des euklidischen Raums so schneidet dass die Menge vollstandig in einem der beiden durch die Hyperebene definierten abgeschlossenen Halbraume liegt Im zwei und dreidimensionalen Raum spricht man entsprechend auch von einer Stutzgerade beziehungsweise einer Stutzebene Fur eine konvexe Menge existiert an jedem Randpunkt eine Stutzhyperebene die im Fall von glatten konvexen Mengen sogar eindeutig ist Stutzhyperebene gestrichelte Linie und zugehoriger Stutzhalbraum hellblau einer Menge S lila Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Darstellung 3 Stutzhyperebenen bei konvexen Mengen 3 1 Existenzsatz 3 2 Beweis 3 3 Anmerkungen 4 Verallgemeinerung 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Einzelnachweise 8 WeblinksDefinition BearbeitenIst S R n displaystyle S subseteq mathbb R n nbsp eine Menge im n displaystyle n nbsp dimensionalen euklidischen Raum dann heisst eine Hyperebene H R n displaystyle H subset mathbb R n nbsp Stutzhyperebene von S displaystyle S nbsp wenn H S displaystyle H cap S neq emptyset nbsp und S H displaystyle S subseteq H nbsp oder S H displaystyle S subseteq H nbsp gelten wobei H displaystyle H nbsp und H displaystyle H nbsp die beiden abgeschlossenen Halbraume zu H displaystyle H nbsp sind 1 Derjenige Halbraum der die zweite Bedingung erfullt heisst dann Stutzhalbraum von S displaystyle S nbsp Ein Randpunkt von S displaystyle S nbsp der auf einer Stutzhyperebene liegt wird auch Stutzpunkt von S displaystyle S nbsp genannt Eine Stutzhyperebene heisst eigentlich wenn S H displaystyle S not subset H nbsp ist ansonsten uneigentlich 2 Darstellung BearbeitenIst r S displaystyle r in partial S nbsp ein Randpunkt von S displaystyle S nbsp und bezeichnet displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp das Standardskalarprodukt im R n displaystyle mathbb R n nbsp dann ist die Hyperebene H x R n v x v r displaystyle H x in mathbb R n mid langle v x rangle langle v r rangle nbsp mit Normalenvektor v R n 0 displaystyle v in mathbb R n setminus 0 nbsp genau dann eine Stutzhyperebene von S displaystyle S nbsp durch den Stutzpunkt r displaystyle r nbsp wenn entweder v s v r displaystyle langle v s rangle geq langle v r rangle nbsp fur alle Punkte s S displaystyle s in S nbsp oder v s v r displaystyle langle v s rangle leq langle v r rangle nbsp fur alle s S displaystyle s in S nbsp gilt Durch Orientierung des Normalenvektors zum Beispiel in Richtung der Menge S displaystyle S nbsp kann man sich auch auf einen der beiden Falle beschranken 3 Stutzhyperebenen bei konvexen Mengen Bearbeiten nbsp Bei einer nichtkonvexen Menge gibt es Randpunkte an denen keine Stutzhyperebene existiertExistenzsatz Bearbeiten Der folgende Existenzsatz fur konvexe Mengen geht auf Hermann Minkowski 1896 zuruck 4 Bei einer konvexen Teilmenge des euklidischen Raums besitzt jeder Randpunkt mindestens eine Stutzhyperebene Das bedeutet dass bei einer konvexen Menge S R n displaystyle S subseteq mathbb R n nbsp zu jedem Randpunkt r S displaystyle r in partial S nbsp ein Vektor v R n 0 displaystyle v in mathbb R n setminus 0 nbsp existiert sodass v s v r displaystyle langle v s rangle geq langle v r rangle nbsp fur alle s S displaystyle s in S nbsp gilt Bei einer konvexen Menge sind damit alle Randpunkte Stutzpunkte 5 Beweis Bearbeiten Sei r k k N displaystyle r k k in mathbb N nbsp mit r k R n S displaystyle r k in mathbb R n setminus bar S nbsp eine Folge von Punkten ausserhalb des Abschlusses von S displaystyle S nbsp die gegen den Randpunkt r displaystyle r nbsp konvergiert r k r displaystyle r k to r nbsp Nach dem Trennungssatz existiert nun durch jeden Punkt r k displaystyle r k nbsp eine Hyperebene H k x R n v k x v k r k displaystyle H k x in mathbb R n mid langle v k x rangle langle v k r k rangle nbsp sodass S H k displaystyle S subset H k nbsp gilt Werden nun die Vektoren v k displaystyle v k nbsp auf die Lange eins normiert dann ist die Folge v k k N displaystyle v k k in mathbb N nbsp beschrankt und enthalt damit nach dem Satz von Bolzano Weierstrass eine konvergente Teilfolge v k k N displaystyle tilde v k k in mathbb N nbsp Ist v displaystyle v nbsp der Grenzwert einer solchen Teilfolge v k v displaystyle tilde v k to v nbsp dann ergibt sich v r lim k v k r k lim k v k s v s displaystyle langle v r rangle lim k to infty langle tilde v k r k rangle leq lim k to infty langle tilde v k s rangle langle v s rangle nbsp fur alle s S displaystyle s in S nbsp Damit ist die Hyperebene H x R n v x v r displaystyle H x in mathbb R n mid langle v x rangle langle v r rangle nbsp eine Stutzhyperebene im Stutzpunkt r displaystyle r nbsp mit zugehorigen Stutzhalbraum H displaystyle H nbsp 5 Anmerkungen Bearbeiten nbsp Die Stutzhyperebene durch einen gegebenen Stutzpunkt muss nicht eindeutig seinHat die Menge S displaystyle S nbsp ein nichtleeres Inneres ist also S displaystyle S circ neq emptyset nbsp dann gilt auch die Umkehrung und S displaystyle S nbsp ist konvex wenn alle Randpunkte von S displaystyle S nbsp Stutzpunkte sind Somit ergibt sich die folgende Charakterisierung konvexer Mengen Eine Teilmenge des euklidischen Raums mit nichtleerem Inneren ist genau dann konvex wenn alle ihre Randpunkte Stutzpunkte sind Die Menge S displaystyle S nbsp ist dabei streng konvex wenn jede Stutzhyperebene an S displaystyle S nbsp genau einen Stutzpunkt enthalt Bei einer streng konvexen Menge sind damit die Stutzhyperebenen zu verschiedenen Stutzpunkten ebenfalls verschieden und jeder Randpunkt der Menge ist ein Extremalpunkt 6 Ein verwandtes Resultat ist der Satz von Minkowski Eine Stutzhyperebene durch einen gegebenen Stutzpunkt muss jedoch nicht notwendigerweise eindeutig bestimmt sein wie das Beispiel in der nebenstehenden Abbildung zeigt Konvexe Mengen bei denen die Stutzhyperebene durch einen gegebenen Randpunkt eindeutig ist heissen glatt konvex 7 Sie spielen eine wichtige Rolle in der Theorie glatter Raume Verallgemeinerung BearbeitenStutzhyperebenen werden allgemeiner auch in beliebigen topologischen Vektorraumen betrachtet Eine Stutzhyperebene an eine Teilmenge S V displaystyle S subseteq V nbsp eines topologischen Vektorraums V displaystyle V nbsp im Randpunkt r S displaystyle r in partial S nbsp ist dann eine reelle Hyperebene H v V f v f r displaystyle H v in V mid f v f r nbsp wobei f V R displaystyle f colon V rightarrow mathbb R nbsp ein reelles lineares Funktional ist welches nicht das Nullfunktional ist und dabei die Ungleichung f s f r displaystyle f s geq f r nbsp fur alle s S displaystyle s in S nbsp erfullt 8 Ein solches Funktional wird auch als Stutzfunktional an S displaystyle S nbsp bezeichnet Besitzt ein gegebener Randpunkt r S displaystyle r in partial S nbsp eine derartige Stutzhyperebene und damit ein derartiges Stutzfunktional so wird er als Stutzpunkt der Teilmenge S displaystyle S nbsp bezeichnet 9 Siehe auch BearbeitenGleichdick eine Flache bei der alle parallelen Stutzgeraden den gleichen Abstand haben Stutzlinie Stutzstelle StutzvektorLiteratur BearbeitenRainer E Burkard Uwe T Zimmermann Einfuhrung in die Mathematische Optimierung Springer 2012 ISBN 978 3 642 28673 5 Peter Gritzmann Grundlagen der mathematischen Optimierung Springer 2013 ISBN 978 3 8348 2011 2 Dieter Jungnickel Optimierungsmethoden Eine Einfuhrung Springer 2014 ISBN 978 3 642 54821 5 Gottfried Kothe Topologische Lineare Raume I Springer 2013 ISBN 978 3 662 24912 3 Jurg T Marti Konvexe Analysis Springer 2013 ISBN 978 3 0348 5910 3 Einzelnachweise Bearbeiten Gunter Ewald Combinatorial convexity and algebraic geometry In Graduate texts in mathematics Nr 168 Springer New York 1996 ISBN 978 1 4612 8476 5 S 12 Peter Gritzmann Grundlagen der mathematischen Optimierung Springer 2013 S 261 Dieter Jungnickel Optimierungsmethoden Eine Einfuhrung Springer 2014 S 35 Hermann Minkowski Geometrie der Zahlen Leipzig 1896 a b Rainer E Burkard Uwe T Zimmermann Einfuhrung in die Mathematische Optimierung Springer 2012 S 247 Gottfried Kothe Topologische Lineare Raume I Springer 2013 S 346 Jurg T Marti Konvexe Analysis Springer 2013 S 108 Gottfried Kothe Topologische Lineare Raume I Springer 2013 S 196 Jurg T Marti Konvexe Analysis Springer 2013 S 66 67 Weblinks BearbeitenSupporting hyperplane In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stutzhyperebene amp oldid 221314739