Spinorbündel Ein auch Spinbündel 1 genannt ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie beziehungsweise d

Spinorbündel

Ein Spinorbündel – auch Spinbündel genannt – ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Es ist eine spezielle Art eines Vektorbündels über einer Mannigfaltigkeit. Spinorbündel können nur für Spin-Mannigfaltigkeiten definiert werden. Dies sind spezielle riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer Spinstruktur auf dem Tangentialbündel. Ob ein Tangentialbündel mit einer Spinstruktur ausgestattet werden kann, kann durch die zweite Stiefel-Whitney-Klasse gemessen werden.

Der Raum der glatten Schnitte eines Spinorbündels wird auch als Raum der Spinoren oder Spinorfelder bezeichnet und dient als eine natürliche Definitionsmenge für den Dirac-Operator.

Das mathematische Teilgebiet, das sich mit Spinorbündeln und Spin-Mannigfaltigkeiten sowie mit verwandten Themen, wie zum Beispiel Dirac-Operatoren und deren Indextheorie beschäftigt, wird als Spin-Geometrie bezeichnet.

Spinstruktur Bearbeiten

Sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ein orientiertes hermitesches Vektorbündel der Dimension . Mit wird die Spin-Gruppe von bezeichnet. Sie kann als eine zweiblättrige Überlagerung der orthogonalen Gruppe aufgefasst werden. Eine Spinstruktur auf ist ein -Hauptfaserbündel zusammen mit einer zweiblättrigen Überlagerung

des -Hauptfaserbündels , so dass für alle und alle gilt.

Spin-Mannigfaltigkeit Bearbeiten

Eine Spin-Mannigfaltigkeit ist eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit, die eine Spinstruktur auf ihrem Tangentialbündel erlaubt.

Da die Stiefel-Whitney-Klasse einer Mannigfaltigkeit definiert ist als die Stiefel-Whitney-Klasse ihres Tangentialbündels ist, bedeutet das, dass eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit genau dann eine Spinstruktur zulässt, wenn gilt. Dann werden die verschiedenen Spinstrukturen von den Elementen von bestimmt.

Definition des Spinorbündels Bearbeiten

Sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und einer Spinstruktur auf dem Tangentialbündel , also kurz eine Spin-Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension. Sei die Darstellung der komplexen Clifford-Algebra (auch Spinor-Modul genannt). Die -Gruppe hat als Teilmenge von ebenfalls eine Darstellung .

Das Spinorbündel über der Mannigfaltigkeit ist definiert als das assoziierte komplexe Vektorbündel

Hierbei bezeichnet das Faserprodukt von mit über . In diesem konkreten Fall bedeutet dies

für , und .

Literatur Bearbeiten

Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. ISBN 3-528-06926-0.

Einzelnachweise Bearbeiten

Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. ISBN 3-528-06926-0, S. 467–468.
spin geometry. In: nlab. Abgerufen am 31. März 2021 (englisch).
H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 80.
H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 96.
H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 96–97.
Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 111.

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Veröffentlichungsdatum: Januar 01, 1970, 01:00 am

Ein Spinorbundel auch Spinbundel 1 genannt ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis Es ist eine spezielle Art eines Vektorbundels uber einer Mannigfaltigkeit Spinorbundel konnen nur fur Spin Mannigfaltigkeiten definiert werden Dies sind spezielle riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer Spinstruktur auf dem Tangentialbundel Ob ein Tangentialbundel mit einer Spinstruktur ausgestattet werden kann kann durch die zweite Stiefel Whitney Klasse gemessen werden Der Raum der glatten Schnitte eines Spinorbundels wird auch als Raum der Spinoren oder Spinorfelder bezeichnet und dient als eine naturliche Definitionsmenge fur den Dirac Operator Das mathematische Teilgebiet das sich mit Spinorbundeln und Spin Mannigfaltigkeiten sowie mit verwandten Themen wie zum Beispiel Dirac Operatoren und deren Indextheorie beschaftigt wird als Spin Geometrie bezeichnet 2 Inhaltsverzeichnis 1 Spinstruktur 2 Spin Mannigfaltigkeit 3 Definition des Spinorbundels 4 Literatur 5 EinzelnachweiseSpinstruktur BearbeitenSei M g displaystyle M g nbsp eine riemannsche Mannigfaltigkeit und p E E M displaystyle pi E colon E to M nbsp ein orientiertes hermitesches Vektorbundel der Dimension n displaystyle n nbsp Mit Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp wird die Spin Gruppe von C ℓ n displaystyle C ell n nbsp bezeichnet Sie kann als eine zweiblattrige Uberlagerung t 0 Spin n SO n displaystyle tau 0 colon operatorname Spin n to operatorname SO n nbsp der orthogonalen Gruppe SO n displaystyle operatorname SO n nbsp aufgefasst werden Eine Spinstruktur auf E displaystyle E nbsp ist ein Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp Hauptfaserbundel P Spin E E displaystyle P operatorname Spin E to E nbsp zusammen mit einer zweiblattrigen Uberlagerung t P Spin E P SO E displaystyle tau colon P operatorname Spin E to P operatorname SO E nbsp des SO n displaystyle operatorname SO n nbsp Hauptfaserbundels P SO E displaystyle P operatorname SO E nbsp so dass t p g t p t 0 g displaystyle tau pg tau p tau 0 g nbsp fur alle p P Spin E displaystyle p in P operatorname Spin E nbsp und alle g Spin n displaystyle g in operatorname Spin n nbsp gilt 3 Spin Mannigfaltigkeit BearbeitenEine Spin Mannigfaltigkeit ist eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit die eine Spinstruktur auf ihrem Tangentialbundel erlaubt 4 Da die Stiefel Whitney Klasse einer Mannigfaltigkeit definiert ist als die Stiefel Whitney Klasse ihres Tangentialbundels ist bedeutet das dass eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit genau dann eine Spinstruktur zulasst wenn w 2 X 0 displaystyle omega text 2 X 0 nbsp gilt Dann werden die verschiedenen Spinstrukturen von den Elementen von H 1 X Z 2 displaystyle H 1 X mathbb Z text 2 nbsp bestimmt 5 Definition des Spinorbundels BearbeitenSei M g displaystyle M g nbsp eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und einer Spinstruktur p P Spin M T M displaystyle pi colon P operatorname Spin M to TM nbsp auf dem Tangentialbundel T M displaystyle TM nbsp also kurz eine Spin Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension Sei S displaystyle S nbsp die Darstellung der komplexen Clifford Algebra C l n displaystyle mathbb C l n nbsp auch Spinor Modul genannt Die Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp Gruppe hat als Teilmenge von C l n displaystyle mathbb C l n nbsp ebenfalls eine Darstellung r Spin n End S displaystyle rho colon operatorname Spin n to operatorname End S nbsp Das Spinorbundel S displaystyle mathcal S nbsp uber der Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist definiert als das assoziierte komplexe Vektorbundel 6 S P Spin M Spin n S displaystyle mathcal S P operatorname Spin M times operatorname Spin n S nbsp Hierbei bezeichnet Spin n displaystyle times operatorname Spin n nbsp das Faserprodukt von P Spin M displaystyle P operatorname Spin M nbsp mit S displaystyle S nbsp uber Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp In diesem konkreten Fall bedeutet dies P Spin M Spin n S P Spin M S p g f p r g f displaystyle P operatorname Spin M times operatorname Spin n S P operatorname Spin M times S p cdot g f sim p rho g f nbsp fur p P Spin M displaystyle p in P operatorname Spin M nbsp g Spin n displaystyle g in operatorname Spin n nbsp und f S displaystyle f in S nbsp Literatur BearbeitenThomas Friedrich Dirac Operatoren in der Riemannschen Geometrie Mit einem Ausblick auf die Seiberg Witten Theorie Friedr Vieweg amp Sohn Braunschweig 1997 ISBN 3 528 06926 0 Einzelnachweise Bearbeiten Thomas Friedrich Dirac Operatoren in der Riemannschen Geometrie Mit einem Ausblick auf die Seiberg Witten Theorie Friedr Vieweg amp Sohn Braunschweig 1997 ISBN 3 528 06926 0 S 467 468 spin geometry In nlab Abgerufen am 31 Marz 2021 englisch H B Lawson M Michelsohn Spin Geometry Princeton University Press 1989 ISBN 978 0 691 08542 5 S 80 H B Lawson M Michelsohn Spin Geometry Princeton University Press 1989 ISBN 978 0 691 08542 5 S 96 H B Lawson M Michelsohn Spin Geometry Princeton University Press 1989 ISBN 978 0 691 08542 5 S 96 97 Nicole Berline Ezra Getzler Michele Vergne Heat kernels and Dirac operators Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298 Berlin u a Springer 1992 ISBN 0 387 53340 0 S 111 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spinorbundel amp oldid 216759671