Schwache Konvergenz in Lp Die schwache Konvergenz in L p displaystyle mathcal L p und die schwache Konvergenz in L p dis

Schwache Konvergenz in Lp

Die schwache Konvergenz in und die schwache Konvergenz in sind zwei eng miteinander verwandte Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen aus der Maßtheorie. Sie sind ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis für Folgen in L^p-Räumen. Zu beachten ist, dass es in der Maßtheorie und der Stochastik mehrere verschiedene Konzepte von schwacher Konvergenz gibt, diese sollten nicht miteinander verwechselt werden. In Abgrenzung zur schwachen Konvergenz in oder wird die Norm-Konvergenz, also die Konvergenz im p-ten Mittel dann auch als starke Konvergenz in oder bezeichnet.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Maßraum sowie und , also mit , der zu konjugierte Index. Außerdem seien aus , kurz , dem Raum der p-fach integrierbaren Funktionen. Die Funktionenfolge heißt schwach konvergent gegen , wenn für alle gilt, dass

ist. Analog definiert man die schwache Konvergenz von Funktionen aus . Man schreibt dann in beiden Fällen .

Einordnung Bearbeiten

In der Funktionalanalysis versteht man unter schwacher Konvergenz Folgendes: Ausgehend von einem normierten Vektorraum bildet man den topologischen Dualraum

Eine Folge in heißt dann schwach konvergent gegen , wenn

ist. Betrachtet man nun als normierten Vektorraum den für , so ist der Dualraum normisomorph zum (siehe auch Dualität von Lp-Räumen), wobei der zu konjugierte Index ist, also . Jedes Element aus dem Dualraum ist dann von der Form

Somit ist eine Folge von schwach konvergent in , wenn

für alle , was der oben angegebenen Definition entspricht. Die schwache Konvergenz in ist somit ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis und auch ein Standardbeispiel für ebendiese.

Eindeutigkeit Bearbeiten

Der Grenzwert einer schwach konvergenten Folge in ist nur bis auf eine -Nullmenge eindeutig bestimmt. Das bedeutet, dass wenn die Funktionenfolge schwach gegen und schwach gegen konvergiert folgt, dass -fast überall ist.

Dementsprechend ist der Grenzwert bei der schwachen Konvergenz in aufgrund der Unempfindlichkeit gegenüber Nullmengen eindeutig bestimmt.

Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen Bearbeiten

Konvergenz lokal nach Maß Bearbeiten

Aus der Konvergenz lokal nach Maß folgt für unter Umständen die schwache Konvergenz. Konvergiert eine Folge aus gegen lokal nach Maß und ist die Folge reeller Zahlen beschränkt, so konvergiert die Folge auch schwach gegen .

Für ist diese Aussage im Allgemeinen nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt: Betrachtet man den Maßraum , so konvergiert die Folge

lokal nach Maß gegen 0 und es ist für alle . Aber für die konstante Funktion aus ist dann

Somit konvergiert die Folge nicht schwach gegen 0.

Konvergenz im p-ten Mittel Bearbeiten

Jede im p-ten Mittel konvergente Folge konvergiert für auch schwach, denn aus der Hölder-Ungleichung folgt

somit existiert eine konvergente Majorante. Die Grenzwerte stimmen dann überein. Der Satz von Radon-Riesz liefert unter einer Voraussetzung auch die Umkehrung. Er besagt, dass für eine Funktionenfolge genau dann im p-ten Mittel konvergiert, wenn sie schwach konvergiert und die Folge der Normen der Funktionenfolge gegen die Norm der Grenzfunktion konvergiert.

Literatur Bearbeiten

Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 03:45 am

Die schwache Konvergenz in L p displaystyle mathcal L p und die schwache Konvergenz in L p displaystyle L p sind zwei eng miteinander verwandte Konvergenzbegriffe fur Funktionenfolgen aus der Masstheorie Sie sind ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis fur Folgen in Lp Raumen Zu beachten ist dass es in der Masstheorie und der Stochastik mehrere verschiedene Konzepte von schwacher Konvergenz gibt diese sollten nicht miteinander verwechselt werden In Abgrenzung zur schwachen Konvergenz in L p displaystyle mathcal L p oder L p displaystyle L p wird die Norm Konvergenz also die Konvergenz im p ten Mittel dann auch als starke Konvergenz in L p displaystyle mathcal L p oder L p displaystyle L p bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Einordnung 3 Eindeutigkeit 4 Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen 4 1 Konvergenz lokal nach Mass 4 2 Konvergenz im p ten Mittel 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein Massraum X A m displaystyle X mathcal A mu nbsp sowie p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp und q 1 1 1 p displaystyle q tfrac 1 1 1 p nbsp also 1 p 1 q 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp mit 1 0 displaystyle tfrac 1 infty 0 nbsp der zu p displaystyle p nbsp konjugierte Index Ausserdem seien f f n n N displaystyle f f n n in mathbb N nbsp aus L p X A m displaystyle mathcal L p X mathcal A mu nbsp kurz L p displaystyle mathcal L p nbsp dem Raum der p fach integrierbaren Funktionen Die Funktionenfolge f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp heisst schwach konvergent gegen f displaystyle f nbsp wenn fur alle g L q displaystyle g in mathcal L q nbsp gilt dass lim n X f n g d m X f g d m displaystyle lim n to infty int X f n g mathrm d mu int X fg mathrm d mu nbsp ist Analog definiert man die schwache Konvergenz von Funktionen aus L p displaystyle L p nbsp Man schreibt dann in beiden Fallen f n f displaystyle f n rightharpoonup f nbsp Einordnung BearbeitenIn der Funktionalanalysis versteht man unter schwacher Konvergenz Folgendes Ausgehend von einem normierten Vektorraum V displaystyle V nbsp bildet man den topologischen Dualraum V T T V K ist linear und stetig displaystyle V T T colon V to mathbb K text ist linear und stetig nbsp Eine Folge x n n N displaystyle x n n in N nbsp in V displaystyle V nbsp heisst dann schwach konvergent gegen x V displaystyle x in V nbsp wenn lim n T x n T x fur alle T V displaystyle lim n to infty T x n T x text fur alle T in V nbsp ist Betrachtet man nun als normierten Vektorraum den L p X A m displaystyle mathcal L p X mathcal A mu nbsp fur p 1 displaystyle p 1 infty nbsp so ist der Dualraum normisomorph zum L q X A m displaystyle mathcal L q X mathcal A mu nbsp siehe auch Dualitat von Lp Raumen wobei q displaystyle q nbsp der zu p displaystyle p nbsp konjugierte Index ist also 1 p 1 q 1 displaystyle tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp Jedes Element aus dem Dualraum ist dann von der Form T g g d m fur ein g L q displaystyle T g cdot int g cdot mathrm d mu text fur ein g in 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der Unempfindlichkeit gegenuber Nullmengen eindeutig bestimmt Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen BearbeitenKonvergenz lokal nach Mass Bearbeiten Aus der Konvergenz lokal nach Mass folgt fur p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp unter Umstanden die schwache Konvergenz Konvergiert eine Folge f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp aus L p displaystyle mathcal L p nbsp gegen f L p displaystyle f in mathcal L p nbsp lokal nach Mass und ist die Folge reeller Zahlen f n p n N displaystyle f n p n in mathbb N nbsp beschrankt so konvergiert die Folge auch schwach gegen f displaystyle f nbsp Fur p 1 displaystyle p 1 nbsp ist diese Aussage im Allgemeinen nicht richtig wie folgendes Beispiel zeigt Betrachtet man den Massraum 0 1 B 0 1 l 0 1 displaystyle 0 1 mathcal B 0 1 lambda 0 1 nbsp so konvergiert die Folge f n n x 0 1 n displaystyle f n n chi 0 1 n nbsp lokal nach Mass gegen 0 und es ist f n 1 1 displaystyle f n 1 1 nbsp fur alle n displaystyle n nbsp Aber fur die konstante Funktion g 1 displaystyle g 1 nbsp aus L displaystyle mathcal L infty nbsp ist dann X f n g d l 1 displaystyle int X f n g mathrm d lambda 1 nbsp Somit konvergiert die Folge nicht schwach gegen 0 Konvergenz im p ten Mittel Bearbeiten Jede im p ten Mittel konvergente Folge konvergiert fur p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp auch schwach denn aus der Holder Ungleichung folgt X f n g d m X f g d m f n f p g q displaystyle left int X f n g mathrm d mu int X fg mathrm d mu right leq f n f p g q nbsp somit existiert eine konvergente Majorante Die Grenzwerte stimmen dann uberein Der Satz von Radon Riesz liefert unter einer Voraussetzung auch die Umkehrung Er besagt dass fur p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp eine Funktionenfolge genau dann im p ten Mittel konvergiert wenn sie schwach konvergiert und die Folge der Normen der Funktionenfolge gegen die Norm der Grenzfunktion konvergiert Literatur BearbeitenHans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis 6 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 22260 3 doi 10 1007 978 3 642 22261 0 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schwache Konvergenz in Lp amp oldid 209171101