www.wikidata.de-de.nina.az

Satz von Kolmogorow Riesz Der nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Marcel Riesz ist ein Lehrsatz aus dem mathematis

Satz von Kolmogorow-Riesz

Der Satz von Kolmogorow-Riesz (nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Marcel Riesz) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, der ein Kompaktheitskriterium für Teilmengen von Lp-Räumen darstellt. Dieser Satz wird, je nach Verallgemeinerungsgrad, auch Satz von M. Riesz, Satz von Kolmogorow-Fréchet-Riesz oder Satz von Kolmogorow-Riesz-Weil genannt, womit auch Beiträge der Mathematiker Maurice René Fréchet und André Weil gewürdigt werden, auch die Namen Jakob Davidowitsch Tamarkin und A. N. Tulajkov werden von einigen Autoren erwähnt, wobei Letzterer den Sonderfall behandelt hatte. Derartige Kompaktheitskriterien haben viele Anwendungen, insbesondere in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen.

Der Folgenraum lp Bearbeiten

Die Situation für die Folgenräume stellt sich besonders einfach dar, der folgende Satz wurde 1908 für von Fréchet bewiesen:

Eine Teilmenge () ist genau dann präkompakt, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  • . Dabei ist die -te Komponente von .
  • .

Funktionenräume Lp Bearbeiten

Aufwändiger sind Kompaktheitskriterien für Lp-Räume über nicht-diskreten Grundmengen. Mittels Zurückführung auf den Satz von Arzelà-Ascoli kann man zeigen:

Satz von Kolmogorow-Riesz: Eine Teilmenge , , ist genau dann präkompakt, wenn

Dabei ist für außerhalb des Einheitsintervalls, um in obiger Formel bilden zu können. Ein analoger Satz gilt natürlich für für beliebige .

Eine Ausdehnung dieses Satzes auf unbeschränkte Gebiete erfordert eine zusätzliche Bedingung:

Satz von M. Riesz: Eine Teilmenge () ist genau dann präkompakt, wenn

Dabei steht für die Kugel um 0 mit Radius .

Lokalkompakte abelsche Gruppen Bearbeiten

Der Satz von M. Riesz lässt sich nicht auf Lp-Räume über beliebigen Maßräumen verallgemeinern, da in der zweiten Bedingung des Kompaktheitskriteriums von der Addition und damit von der Gruppenstruktur des Gebrauch gemacht wird. Sei nun eine lokalkompakte abelsche Gruppe und sei ein Haarsches Maß auf . Ist ein Banachraum, so kann man wie oben den Raum aller messbaren Funktionen mit bilden. Die Norm macht zu einem Banachraum. Dies verallgemeinert offenbar die oben betrachteten -Räume. Statt der Kugeln um 0 betrachten wir hier ein bzgl. der Vereinigung gerichtetes Netz kompakter Mengen in , so dass jede kompakte Menge aus in einer Menge aus enthalten ist.

Nicolae Dinculeanu hat folgende Verallgemeinerung obigen Kompaktheitskriteriums bewiesen:

Satz: Eine Teilmenge (, lokalkompakte abelsche Gruppe, Banachraum) ist genau dann präkompakt, wenn

  • Für alle messbaren Teilmengen mit ist präkompakt,
  • ,
  • .

Diese Version wurde für den Fall , also für skalarwertige Funktionen, von M. Riesz bewiesen. Eine auf Kolmogorow und J. D. Tamarkin zurückgehende Version, die eine Approximation der Eins verwendet, wurde ebenfalls von N. Dinculeanu auf den Banachraum-wertigen Fall verallgemeinert. Für die folgende Darstellung dieses Ergebnisses sei eine Nullumgebungsbasis aus relativ kompakten, offenen Mengen in . Zu jedem wähle eine Funktion , die beschränkt, messbar uns symmetrisch (d. h. ) ist mit Träger in und . Man kann zum Beispiel wählen, wobei die charakteristische Funktion von sei. Für und sei die Faltung definiert. Dann ist , und ; das heißt, das Netz ist in diesem Sinne eine Approximation der Eins. Es gilt folgender

Satz: Eine Teilmenge (, lokalkompakte abelsche Gruppe, Banachraum) ist genau dann präkompakt, wenn

  • Für alle messbaren Teilmengen mit ist präkompakt,
  • ,
  • .

In den früheren Fassungen für und wurden die Netze und verwendet. Wendet man diesen Satz auf die lokalkompakte abelsche Gruppe an, so ist die erste Bedingung äquivalent zu , denn jede Menge endlichen Maßes ist endlich; die zweite Bedingung ist leer, wenn man das Netz wählt, und die letzte Bedingung wird zu , wenn man setzt. Mit einer geeigneten Isomorphie zwischen und erhält man genau den eingangs zitierten Satz über -Räume.

Weitere Verallgemeinerungen Bearbeiten

Weitere Verallgemeinerungen auf nicht-kommutative lokalkompakte Gruppen wurden von Josh Isralowitz gefunden. Eine Ausweitung von Kompaktheitskriterien dieses Typs auf andere über lokalkompakten Gruppen definierte Funktionenräume findet sich bei Hans G. Feichtinger.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. H. Hanche-Olsen, Helge Holden: The Kolmogorov–Riesz Compactness Theorem, 4. A Bit of History
  2. M. Fréchet: Essai de geometrie analytique, Nouv. ann. Math. 4 (1908) 97–116, 289–317.
  3. Joseph Wloka: Funktionalanalysis und Anwendungen, §22, Satz1
  4. Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze, Satz 3.2
  5. Joseph Wloka: Funktionalanalysis und Anwendungen, §22, Satz 3
  6. N. Dinculeanu: On Kolmogorov-Tamarkin and M. Riesz Compactness Criteria in Function Spaces Over a Locally Compact Group, J. Math. Anal. Appl. 87 (1982), Seiten 67–85
  7. Josh Isralowitz: A characterization of norm compactness in the Bochner space Lp(G;B) for an arbitrary locally compact group, J. Math. Anal. Appl. 323,2 (2005), Seiten 1007–1017
  8. Hans G. Feichtinger: Compactness in Translation Invariant Banach Spaces of Distributions and Compact Multipliers, Journal of Mathematical Analysis and Applications (1984), Band 102, Seiten 289–327, Theorem 2.2

Quellen Bearbeiten

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis, Springer-Verlag (2006) ISBN 3-540-34186-2
  • Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze, Vieweg+Teubner (2005), ISBN 3-528-03222-7
  • N. Dinculeanu: On Kolmogorov-Tamarkin and M. Riesz Compactness Criteria in Function Spaces Over a Locally Compact Group, J. Math. Anal. Appl. 87 (1982), Seiten 67–85
  • Hans G. Feichtinger: Compactness in Translation Invariant Banach Spaces of Distributions and Compact Multipliers, Journa l of Mathematical Analysis and Applications (1984), Band 102, Seiten 289–327. (PDF; 2,6 MB)
  • H. Hanche-Olsen, Helge Holden: The Kolmogorov–Riesz Compactness Theorem (PDF; 398 kB)
  • A. N. Kolmogorow: Über die Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Phys. Kl. II (1931), Seiten 60–63
  • J. D. Tamarkin: On the compactness of the space L, Bull. Amer. Math. Soc. Band 38 (1932) Seiten 79–84
  • A. N. Tulajkow: Zur Kompaktheit im Raum Lp für p=1, Göttinger. Nachrichten (1933), Seiten 167–170
  • Joseph Wloka: Funktionalanalysis und Anwendungen, ISBN 3-110-01989-2
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Kolmogorow Riesz nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Marcel Riesz ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis der ein Kompaktheitskriterium fur Teilmengen von Lp Raumen darstellt Dieser Satz wird je nach Verallgemeinerungsgrad auch Satz von M Riesz Satz von Kolmogorow Frechet Riesz oder Satz von Kolmogorow Riesz Weil genannt womit auch Beitrage der Mathematiker Maurice Rene Frechet und Andre Weil gewurdigt werden auch die Namen Jakob Davidowitsch Tamarkin und A N Tulajkov werden von einigen Autoren erwahnt wobei Letzterer den Sonderfall p 1 displaystyle p 1 behandelt hatte 1 Derartige Kompaktheitskriterien haben viele Anwendungen insbesondere in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Inhaltsverzeichnis 1 Der Folgenraum lp 2 Funktionenraume Lp 3 Lokalkompakte abelsche Gruppen 4 Weitere Verallgemeinerungen 5 Einzelnachweise 6 QuellenDer Folgenraum lp BearbeitenDie Situation fur die Folgenraume ℓ p displaystyle ell p nbsp stellt sich besonders einfach dar der folgende Satz wurde 1908 fur p 2 displaystyle p 2 nbsp von Frechet bewiesen 2 3 Eine Teilmenge M ℓ p displaystyle M subset ell p nbsp 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp ist genau dann prakompakt wenn die folgenden beiden Bedingungen erfullt sind sup x M x k lt k N displaystyle sup x in M x k lt infty forall k in mathbb N nbsp Dabei ist x k displaystyle x k nbsp die k displaystyle k nbsp te Komponente von x displaystyle x nbsp sup x M k n x k p n 0 displaystyle sup x in M sum k n infty x k p xrightarrow n to infty 0 nbsp Funktionenraume Lp BearbeitenAufwandiger sind Kompaktheitskriterien fur Lp Raume uber nicht diskreten Grundmengen Mittels Zuruckfuhrung auf den Satz von Arzela Ascoli kann man zeigen 4 Satz von Kolmogorow Riesz Eine Teilmenge M L p 0 1 displaystyle M subset L p 0 1 nbsp 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp ist genau dann prakompakt wenn M displaystyle M nbsp ist beschrankt bezuglich der Norm p displaystyle cdot p nbsp sup f M 0 1 f t h f t p d t h 0 0 displaystyle sup f in M int 0 1 f t h f t p mathrm d t xrightarrow h to 0 0 nbsp Dabei ist f t 0 displaystyle f t 0 nbsp fur t displaystyle t nbsp ausserhalb des Einheitsintervalls um in obiger Formel f t h displaystyle f t h nbsp bilden zu konnen Ein analoger Satz gilt naturlich fur L p a b displaystyle L p a b nbsp fur beliebige a b R a lt b displaystyle a b in R a lt b nbsp Eine Ausdehnung dieses Satzes auf unbeschrankte Gebiete erfordert eine zusatzliche Bedingung 5 Satz von M Riesz Eine Teilmenge M L p R n displaystyle M subset L p mathbb R n nbsp 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp ist genau dann prakompakt wenn M displaystyle M nbsp ist beschrankt bezuglich der Norm p displaystyle cdot p nbsp sup f M R n f t h f t p d t h 0 0 displaystyle sup f in M int mathbb R n f t h f t p mathrm d t xrightarrow h to 0 0 nbsp sup f M R n B r 0 f t p d t r 0 displaystyle sup f in M int mathbb R n setminus B r 0 f t p mathrm d t xrightarrow r nearrow infty 0 nbsp Dabei steht B r 0 displaystyle B r 0 nbsp fur die Kugel um 0 mit Radius r displaystyle r nbsp Lokalkompakte abelsche Gruppen BearbeitenDer Satz von M Riesz lasst sich nicht auf Lp Raume uber beliebigen Massraumen verallgemeinern da in der zweiten Bedingung des Kompaktheitskriteriums von der Addition und damit von der Gruppenstruktur des R n displaystyle mathbb R n nbsp Gebrauch gemacht wird Sei nun G displaystyle G nbsp eine lokalkompakte abelsche Gruppe und m displaystyle mu nbsp sei ein Haarsches Mass auf G displaystyle G nbsp Ist Y displaystyle Y nbsp ein Banachraum so kann man wie oben den Raum L p G Y displaystyle L p G Y nbsp aller messbaren Funktionen f G Y displaystyle f colon G rightarrow Y nbsp mit G f t p d m t lt displaystyle int G f t p mathrm d mu t lt infty nbsp bilden Die Norm f p G f t p d m t 1 p displaystyle f p left int G f t p mathrm d mu t right frac 1 p nbsp macht L p G Y displaystyle L p G Y nbsp zu einem Banachraum Dies verallgemeinert offenbar die oben betrachteten L p R n Y displaystyle L p mathbb R n Y nbsp Raume Statt der Kugeln um 0 betrachten wir hier ein bzgl der Vereinigung gerichtetes Netz C displaystyle mathcal C nbsp kompakter Mengen in G displaystyle G nbsp so dass jede kompakte Menge aus G displaystyle G nbsp in einer Menge aus C displaystyle mathcal C nbsp enthalten ist Nicolae Dinculeanu hat folgende Verallgemeinerung obigen Kompaktheitskriteriums bewiesen 6 Satz Eine Teilmenge M L p G Y displaystyle M subset L p G Y nbsp 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp G displaystyle G nbsp lokalkompakte abelsche Gruppe Y displaystyle Y nbsp Banachraum ist genau dann prakompakt wenn Fur alle messbaren Teilmengen A G displaystyle A subset G nbsp mit m A lt displaystyle mu A lt infty nbsp ist A f t d m t f M Y displaystyle int A f t mathrm d mu t f in M subset Y nbsp prakompakt sup f M G f t h f t p d m t h 0 0 displaystyle sup f in M int G f t h f t p mathrm d mu t xrightarrow h to 0 0 nbsp sup f M G C f t p d m t C C 0 displaystyle sup f in M int G setminus C f t p mathrm d mu t xrightarrow C in mathcal C 0 nbsp Diese Version wurde fur den Fall Y R displaystyle Y mathbb R nbsp also fur skalarwertige Funktionen von M Riesz bewiesen Eine auf Kolmogorow und J D Tamarkin zuruckgehende Version die eine Approximation der Eins verwendet wurde ebenfalls von N Dinculeanu auf den Banachraum wertigen Fall verallgemeinert Fur die folgende Darstellung dieses Ergebnisses sei V displaystyle mathcal V nbsp eine Nullumgebungsbasis aus relativ kompakten offenen Mengen in G displaystyle G nbsp Zu jedem V V displaystyle V in mathcal V nbsp wahle eine Funktion u V G R 0 displaystyle u V colon G rightarrow mathbb R 0 nbsp die beschrankt messbar uns symmetrisch d h u V t u V t t G displaystyle u V t u V t forall t in G nbsp ist mit Trager in V displaystyle overline V nbsp und G u V t d m t 1 displaystyle int G u V t mathrm d mu t 1 nbsp Man kann zum Beispiel u V 1 2 m V x V x V displaystyle u V frac 1 2 mu V chi V chi V nbsp wahlen wobei x V displaystyle chi V nbsp die charakteristische Funktion von V displaystyle V nbsp sei Fur f L p G Y displaystyle f in L p G Y nbsp und t G displaystyle t in G nbsp sei die Faltung u v f t G u V s f t s d m s displaystyle u v star f t int G u V s f t s mathrm d mu s nbsp definiert Dann ist u V L p G Y displaystyle u V in L p G Y nbsp u V f L p G Y displaystyle u V star f in L p G Y nbsp und u V f f p V V 0 displaystyle u V star f f p xrightarrow V in mathcal V 0 nbsp das heisst das Netz u V V V displaystyle u V V in mathcal V nbsp ist in diesem Sinne eine Approximation der Eins Es gilt folgenderSatz Eine Teilmenge M L p G Y displaystyle M subset L p G Y nbsp 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp G displaystyle G nbsp lokalkompakte abelsche Gruppe Y displaystyle Y nbsp Banachraum ist genau dann prakompakt wenn Fur alle messbaren Teilmengen A G displaystyle A subset G nbsp mit m A lt displaystyle mu A lt infty nbsp ist K A A f t d m t f M displaystyle K A int A f t mathrm d mu t f in M nbsp prakompakt sup f M G u V f t f t p d m t V V 0 displaystyle sup f in M int G u V star f t f t p mathrm d mu t xrightarrow V in mathcal V 0 nbsp sup f M G C f t p d m t C C 0 displaystyle sup f in M int G setminus C f t p mathrm d mu t xrightarrow C in mathcal C 0 nbsp In den fruheren Fassungen fur G R displaystyle G mathbb R nbsp und Y R displaystyle Y mathbb R nbsp wurden die Netze u n 1 2 n x n n displaystyle u n frac 1 2n chi n n nbsp und C n n n displaystyle C n n n nbsp verwendet Wendet man diesen Satz auf die lokalkompakte abelsche Gruppe G Z displaystyle G mathbb Z nbsp an so ist die erste Bedingung aquivalent zu sup x M x k lt k N displaystyle sup x in M x k lt infty forall k in mathbb N nbsp denn jede Menge endlichen Masses ist endlich die zweite Bedingung ist leer wenn man das Netz u V u 0 displaystyle u V u 0 nbsp wahlt und die letzte Bedingung wird zu sup x M k gt n x k p n 0 displaystyle sup x in M sum k gt n x k p xrightarrow n to infty 0 nbsp wenn man C n n n displaystyle C n n ldots n nbsp setzt Mit einer geeigneten Isomorphie zwischen ℓ p displaystyle ell p nbsp und L p Z displaystyle L p mathbb Z nbsp erhalt man genau den eingangs zitierten Satz uber ℓ p displaystyle ell p nbsp Raume Weitere Verallgemeinerungen BearbeitenWeitere Verallgemeinerungen auf nicht kommutative lokalkompakte Gruppen wurden von Josh Isralowitz 7 gefunden Eine Ausweitung von Kompaktheitskriterien dieses Typs auf andere uber lokalkompakten Gruppen definierte Funktionenraume findet sich bei Hans G Feichtinger 8 Einzelnachweise Bearbeiten H Hanche Olsen Helge Holden The Kolmogorov Riesz Compactness Theorem 4 A Bit of History M Frechet Essai de geometrie analytique Nouv ann Math 4 1908 97 116 289 317 Joseph Wloka Funktionalanalysis und Anwendungen 22 Satz1 Jurgen Appell Martin Vath Elemente der Funktionalanalysis Vektorraume Operatoren und Fixpunktsatze Satz 3 2 Joseph Wloka Funktionalanalysis und Anwendungen 22 Satz 3 N Dinculeanu On Kolmogorov Tamarkin and M Riesz Compactness Criteria in Function Spaces Over a Locally Compact Group J Math Anal Appl 87 1982 Seiten 67 85 Josh Isralowitz A characterization of norm compactness in the Bochner space Lp G B for an arbitrary locally compact group J Math Anal Appl 323 2 2005 Seiten 1007 1017 Hans G Feichtinger Compactness in Translation Invariant Banach Spaces of Distributions and Compact Multipliers Journal of Mathematical Analysis and Applications 1984 Band 102 Seiten 289 327 Theorem 2 2Quellen BearbeitenHans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis Springer Verlag 2006 ISBN 3 540 34186 2 Jurgen Appell Martin Vath Elemente der Funktionalanalysis Vektorraume Operatoren und Fixpunktsatze Vieweg Teubner 2005 ISBN 3 528 03222 7 N Dinculeanu On Kolmogorov Tamarkin and M Riesz Compactness Criteria in Function Spaces Over a Locally Compact Group J Math Anal Appl 87 1982 Seiten 67 85 Hans G Feichtinger Compactness in Translation Invariant Banach Spaces of Distributions and Compact Multipliers Journa l of Mathematical Analysis and Applications 1984 Band 102 Seiten 289 327 auch online verfugbar PDF 2 6 MB H Hanche Olsen Helge Holden The Kolmogorov Riesz Compactness Theorem PDF 398 kB A N Kolmogorow Uber die Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel Nachr Akad Wiss Gottingen Math Phys Kl II 1931 Seiten 60 63 J D Tamarkin On the compactness of the space L Bull Amer Math Soc Band 38 1932 Seiten 79 84 A N Tulajkow Zur Kompaktheit im Raum Lp fur p 1 Gottinger Nachrichten 1933 Seiten 167 170 Joseph Wloka Funktionalanalysis und Anwendungen ISBN 3 110 01989 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Kolmogorow Riesz amp oldid 229054203