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Vermutung von Mordell Die entstammt der Zahlentheorie wurde im Jahr 1922 von Louis Mordell aufgestellt und 1983 von Gerd

Vermutung von Mordell

Die Vermutung von Mordell entstammt der Zahlentheorie, wurde im Jahr 1922 von Louis Mordell aufgestellt und 1983 von Gerd Faltings in seinem Artikel Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern (Faltings’ Satz) bewiesen.

Motivation und Aussage des Satzes Bearbeiten

Wenn ein Zahlkörper und eine nichtsinguläre Kurve definiert über sind, dann besteht die Frage, wie viele Punkte der Kurve selbst Koordinaten in haben. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall des Körpers der rationalen Zahlen, für den die Vermutung ursprünglich von Louis Mordell formuliert war.

Nach dem Satz gibt es für Kurven vom Geschlecht nur endlich viele rationale Punkte auf der Kurve. Kurven über den rationalen Zahlen zeigen also wesentlich verschiedenes Verhalten für , und  – eine topologische Größe bestimmt das zahlentheoretische Verhalten. Für ganze Zahlen hatte das schon Carl Ludwig Siegel in den 1920er Jahren bewiesen.

Die dritte Aussage des Satzes ist als „Vermutung von Mordell“ bekannt und wurde 1983 von Gerd Faltings bewiesen.

Beweis Bearbeiten

Faltings trug seinen Beweis zuerst auf der mathematischen Arbeitstagung in Bonn am 17. und 19. Juli 1983 vor. 1986 erhielt er dafür die höchste Auszeichnung für Mathematiker, die Fields-Medaille. Manchmal wird die Vermutung von Mordell, die ja nun ein bewiesener Satz ist, nach Faltings Satz von Faltings genannt.

In seiner Arbeit bewies Faltings auch die Tate-Vermutung von John T. Tate und die Schafarewitsch-Vermutung von Igor Schafarewitsch, indem er den Übersetzungsmechanismus von Funktionenkörpern auf Zahlkörper von Suren Arakelov ausbaute. Dass die Mordell-Vermutung aus der Schafarewitsch-Vermutung folgt, bewies Alexei Nikolajewitsch Parschin 1968 (Vortrag auf dem ICM 1970).

Auf anderem Weg hat nach Faltings Paul Vojta den Satz bewiesen. Vojtas Beweis wurde von Faltings selbst und Enrico Bombieri vereinfacht.

Für Funktionenkörper wurde die Mordell-Vermutung schon 1963 durch Yuri Manin, 1965 durch Hans Grauert und 1968 durch Alexei Nikolajewitsch Parschin bewiesen.

Einen neuen Beweis gab Akshay Venkatesh mit Brian Lawrence 2018. Der Beweis folgt den Grundlinien von Faltings Beweis, nutzt aber die Analyse der Variation p-adischer Galoisdarstellungen.

Anwendungen Bearbeiten

Der Satz lieferte ein wichtiges Teilergebnis zu der fermatschen Vermutung, denn die fermatsche Gleichung hat nach ihm für höchstens endlich viele teilerfremde Lösungen. Durch den Beweis der fermatschen Vermutung durch Andrew Wiles im Jahre 1993 ist diese Aussage jedoch überholt. Dennoch bleibt der Satz von Mordell wichtig für andere Gleichungen, bei denen sich die Methode von Wiles nicht anwenden lässt.

Die bisher bekannten Beweise der Mordellvermutung sind nicht effektiv, das heißt, sie machen keine Angaben über die Anzahl und Größe der Lösungen. Die Mordellvermutung folgt allerdings aus der unbewiesenen abc-Vermutung (Noam Elkies) in einer effektiven Variante.

Literatur Bearbeiten

  • Spencer Bloch: The proof of the Mordell conjecture. In: Mathematical Intelligencer, Band 6, 1984, S. 41.
  • Gerd Faltings: Die Vermutungen von Tate und Mordell. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1984, S. 1–13.
  • Gerd Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. In: Inventiones Mathematicae, Band 73, 1983, S. 349–366; Erratum, Band 75, 1984, S. 381
  • Lucien Szpiro: La conjecture de Mordell. In: Séminaire Bourbaki, Nr. 619, 1983/84.
  • A. N. Parshin, Yu. G. Zarhin: Finiteness Problems in Diophantine Geometry. In: Eight papers translated from the Russian. In: American Mathematical Society Translations Ser. 2, Band 143, 1989, S. 35–102, überarbeitete Fassung des ursprünglich als Anhang in der russischen Ausgabe von Serge Lang Fundamentals of Diophantine Geometry veröffentlichten Aufsatzes. arxiv:0912.4325
  • Barry Mazur: Arithmetic on curves. In: AMS (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society Band 14. 2. April 1986, S. 207–259 (englisch, ams.org [PDF; 4,8 MB; abgerufen am 3. November 2014]).
  • Barry Mazur: The unity and breadth of mathematics – from Diophantus to today. Paul Bernays Lecture, ETH Zürich 2018, math.harvard.edu (PDF)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. In: Inventiones Mathematicae, 73 (3), S. 349–366 und Erratum.
  2. Siegel: Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen. In: Abh. Preuß. Akad. Wiss., Phys-Math. Klasse 1929, Nr. 1, auch in Siegel: Gesammelte Abhandlungen. Springer, 1966, Band 1, S. 209–266
  3. Faltings: Diophantine approximation on abelian varieties. In: Annals of Mathematics, Band 133, 1991, S. 549–567
  4. Bombieri: The Mordell conjecture revisited. In: Annali Scuola Normale Superiore di Pisa, Band 17, 1990, S. 615–640. Auch dargestellt in Bombieri, Gubler: Heights in Diophantine Geometry. Cambridge UP, 2006
  5. Manin: Rational points of algebraic curves over function fields. In: Izvestija Akad. Nauka SSSR, Band 27, 1963, S. 1397–1442
  6. Robert F. Coleman fand eine Lücke in Manin’s Beweis und füllte diese in Coleman: Manin’s proof of the Mordell conjecture over function fields. In: L’Enseignement Mathématique, Band 36, 1990, S. 393–427.
  7. Grauert: Mordell’s Vermutung über rationale Punkte aut algebraischen Kurven und Funktionenkörper. In: Publ. Math. I.H.E.S., Band 25, 1965, S. 131–149
  8. Parshin: Algebraic curves over function fields I. In: Math. USSR Izvestija, 2, 1968, S. 1145–1170
  9. Lawrence, Venkatesh: Diophantine problems and p-adic period mappings. arxiv:1807.02721
  10. Die größten Rätsel der Mathematik. Spektrum der Wissenschaft Dossier, 6/2009, ISBN 978-3-941205-34-5, S. 8 (Interview mit Gerd Faltings).
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Die Vermutung von Mordell entstammt der Zahlentheorie wurde im Jahr 1922 von Louis Mordell aufgestellt und 1983 von Gerd Faltings in seinem Artikel Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern 1 Faltings Satz bewiesen Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und Aussage des Satzes 2 Beweis 3 Anwendungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseMotivation und Aussage des Satzes BearbeitenWenn K displaystyle K nbsp ein Zahlkorper und C displaystyle C nbsp eine nichtsingulare Kurve definiert uber K displaystyle K nbsp sind dann besteht die Frage wie viele Punkte der Kurve C K displaystyle C K nbsp selbst Koordinaten in K displaystyle K nbsp haben Von besonderem Interesse ist dabei der Fall des Korpers der rationalen Zahlen fur den die Vermutung ursprunglich von Louis Mordell formuliert war Falls das Geschlecht g displaystyle g nbsp von C displaystyle C nbsp gleich 0 displaystyle 0 nbsp ist ist C displaystyle C nbsp isomorph zum eindimensionalen projektiven Raum uber dem algebraischen Abschluss von K displaystyle K nbsp also C P 1 K displaystyle C cong mathbb P 1 overline K nbsp Daher kann C K displaystyle C K nbsp leer oder eine unendliche Menge C K P 1 K displaystyle left C K cong mathbb P 1 K right nbsp sein Falls das Geschlecht g displaystyle g nbsp von C displaystyle C nbsp gleich 1 displaystyle 1 nbsp ist und wenn C K displaystyle C K nbsp mindestens einen Punkt mit Koordinaten in K displaystyle K nbsp hat dann sind C displaystyle C nbsp eine elliptische Kurve und C K displaystyle C K nbsp eine endlich erzeugte abelsche Gruppe Letzteres ist als Satz von Mordell Weil gelaufig und impliziert dass C K displaystyle C K nbsp endlich oder unendlich sein kann Falls das Geschlecht g displaystyle g nbsp von C displaystyle C nbsp grosser als 1 displaystyle 1 nbsp ist dann ist C K displaystyle C K nbsp endlich Nach dem Satz gibt es fur Kurven vom Geschlecht g gt 1 displaystyle g gt 1 nbsp nur endlich viele rationale Punkte auf der Kurve Kurven uber den rationalen Zahlen zeigen also wesentlich verschiedenes Verhalten fur g 0 displaystyle g 0 nbsp g 1 displaystyle g 1 nbsp und g gt 1 displaystyle g gt 1 nbsp eine topologische Grosse bestimmt das zahlentheoretische Verhalten Fur ganze Zahlen hatte das schon Carl Ludwig Siegel in den 1920er Jahren bewiesen 2 Die dritte Aussage des Satzes ist als Vermutung von Mordell bekannt und wurde 1983 von Gerd Faltings bewiesen Beweis BearbeitenFaltings trug seinen Beweis zuerst auf der mathematischen Arbeitstagung in Bonn am 17 und 19 Juli 1983 vor 1986 erhielt er dafur die hochste Auszeichnung fur Mathematiker die Fields Medaille Manchmal wird die Vermutung von Mordell die ja nun ein bewiesener Satz ist nach Faltings Satz von Faltings genannt In seiner Arbeit bewies Faltings auch die Tate Vermutung von John T Tate und die Schafarewitsch Vermutung von Igor Schafarewitsch indem er den Ubersetzungsmechanismus von Funktionenkorpern auf Zahlkorper von Suren Arakelov ausbaute Dass die Mordell Vermutung aus der Schafarewitsch Vermutung folgt bewies Alexei Nikolajewitsch Parschin 1968 Vortrag auf dem ICM 1970 Auf anderem Weg hat nach Faltings Paul Vojta den Satz bewiesen Vojtas Beweis wurde von Faltings 3 selbst und Enrico Bombieri 4 vereinfacht Fur Funktionenkorper wurde die Mordell Vermutung schon 1963 durch Yuri Manin 5 6 1965 durch Hans Grauert 7 und 1968 durch Alexei Nikolajewitsch Parschin 8 bewiesen Einen neuen Beweis gab Akshay Venkatesh mit Brian Lawrence 2018 Der Beweis folgt den Grundlinien von Faltings Beweis nutzt aber die Analyse der Variation p adischer Galoisdarstellungen 9 Anwendungen BearbeitenDer Satz lieferte ein wichtiges Teilergebnis zu der fermatschen Vermutung denn die fermatsche Gleichung x n y n z n displaystyle x n y n z n nbsp hat nach ihm fur n 4 displaystyle n geq 4 nbsp hochstens endlich viele teilerfremde Losungen Durch den Beweis der fermatschen Vermutung durch Andrew Wiles im Jahre 1993 ist diese Aussage jedoch uberholt Dennoch bleibt der Satz von Mordell wichtig fur andere Gleichungen bei denen sich die Methode von Wiles nicht anwenden lasst 10 Die bisher bekannten Beweise der Mordellvermutung sind nicht effektiv das heisst sie machen keine Angaben uber die Anzahl und Grosse der Losungen Die Mordellvermutung folgt allerdings aus der unbewiesenen abc Vermutung Noam Elkies in einer effektiven Variante Literatur BearbeitenSpencer Bloch The proof of the Mordell conjecture In Mathematical Intelligencer Band 6 1984 S 41 Gerd Faltings Die Vermutungen von Tate und Mordell In Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 1984 S 1 13 Gerd Faltings Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern In Inventiones Mathematicae Band 73 1983 S 349 366 Erratum Band 75 1984 S 381 Lucien Szpiro La conjecture de Mordell In Seminaire Bourbaki Nr 619 1983 84 A N Parshin Yu G Zarhin Finiteness Problems in Diophantine Geometry In Eight papers translated from the Russian In American Mathematical Society Translations Ser 2 Band 143 1989 S 35 102 uberarbeitete Fassung des ursprunglich als Anhang in der russischen Ausgabe von Serge Lang Fundamentals of Diophantine Geometry veroffentlichten Aufsatzes arxiv 0912 4325 Barry Mazur Arithmetic on curves In AMS Hrsg Bulletin of the American Mathematical Society Band 14 2 April 1986 S 207 259 englisch ams org PDF 4 8 MB abgerufen am 3 November 2014 Barry Mazur The unity and breadth of mathematics from Diophantus to today Paul Bernays Lecture ETH Zurich 2018 math harvard edu PDF Einzelnachweise Bearbeiten Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern In Inventiones Mathematicae 73 3 S 349 366 und Erratum Siegel Uber einige Anwendungen diophantischer Approximationen In Abh Preuss Akad Wiss Phys Math Klasse 1929 Nr 1 auch in Siegel Gesammelte Abhandlungen Springer 1966 Band 1 S 209 266 Faltings Diophantine approximation on abelian varieties In Annals of Mathematics Band 133 1991 S 549 567 Bombieri The Mordell conjecture revisited In Annali Scuola Normale Superiore di Pisa Band 17 1990 S 615 640 Auch dargestellt in Bombieri Gubler Heights in Diophantine Geometry Cambridge UP 2006 Manin Rational points of algebraic curves over function fields In Izvestija Akad Nauka SSSR Band 27 1963 S 1397 1442 Robert F Coleman fand eine Lucke in Manin s Beweis und fullte diese in Coleman Manin s proof of the Mordell conjecture over function fields In L Enseignement Mathematique Band 36 1990 S 393 427 retro seals ch Grauert Mordell s Vermutung uber rationale Punkte aut algebraischen Kurven und Funktionenkorper In Publ Math I H E S Band 25 1965 S 131 149 Parshin Algebraic curves over function fields I In Math USSR Izvestija 2 1968 S 1145 1170 Lawrence Venkatesh Diophantine problems and p adic period mappings arxiv 1807 02721 Die grossten Ratsel der Mathematik Spektrum der Wissenschaft Dossier 6 2009 ISBN 978 3 941205 34 5 S 8 Interview mit Gerd Faltings Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vermutung von Mordell amp oldid 224403352