In der Mathematik ist die Tate-Vermutung ein 1983 von Gerd Faltings bewiesener Lehrsatz der arithmetischen Geometrie, der 1963 von John Tate vermutet worden war.
Der Beweis der Tate-Vermutung war Teil des Beweises der Schafarewitsch-Vermutung, aus der wiederum die Mordell-Vermutung folgt. Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für eine endliche Menge von Primidealen in einem Zahlkörper nur endlich viele Isomorphieklassen von Kurven gegebenen Geschlechts mit guter Reduktion außerhalb gibt. Wegen des Prinzips beschränkter Höhe genügt es dafür, die Beschränktheit der Höhen der zu den Kurven assoziierten Jacobi-Varietäten zu zeigen. Mit der Tate-Vermutung kann man das auf den Fall zurückführen, dass die Jacobi-Varietäten alle isogen sind.
Tate-Vermutung Bearbeiten
Sei eine abelsche Varietät über einem Zahlkörper und ihr Tate-Modul tensoriert mit für eine Primzahl . Dann ist die natürliche Abbildung
ein Isomorphismus.
Verallgemeinerung Bearbeiten
Die allgemeinere, noch unbewiesene Version der Tate-Vermutung besagt, dass die Zykelklassenabbildung
für alle ein Isomorphismus ist. Der von Faltings bewiesene Fall entspricht . Aus der allgemeinen Vermutung folgt die Hodge-Vermutung für abelsche Varietäten.
Literatur Bearbeiten
- J. Tate: Endomorphisms of Abelian varieties over finite fields. Invent. Math. 2, 134–144 (1966).
- G. Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Invent. Math. 73, 349–366 (1983); Erratum ibid. 75, 381 (1984).