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Schafarewitsch Vermutung In der Mathematik ist die eine 1983 von Gerd Faltings bewiesene Vermutung aus der arithmetische

Schafarewitsch-Vermutung

In der Mathematik ist die Schafarewitsch-Vermutung eine 1983 von Gerd Faltings bewiesene Vermutung aus der arithmetischen Geometrie. Sie wurde ursprünglich von Schafarewitsch auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1962 in Stockholm aufgestellt und für hyperelliptische Kurven bewiesen.

Aussage Bearbeiten

Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für einen Zahlkörper und eine endliche Menge von Primidealen im Ganzheitsring nur endlich viele Kurven gegebenen Geschlechts gibt, deren Néron-Modelle modulo der Ideale in schlechte Reduktion haben, d. h. nach Reduktion algebraische Kurven mit Singularitäten sind.

Durch Übergang zur Jacobi-Varietät und Verwendung des Satzes von Torelli ist die Vermutung äquivalent zu der Vermutung, dass es nur endlich viele -dimensionale, prinzipal polarisierte, abelsche Varietäten mit schlechter Reduktion modulo der Ideale in gibt.

Beispiele Bearbeiten

Für besagt die Schafarewitsch-Vermutung, dass es nur endlich viele elliptische Kurven über gibt, deren Néron-Modelle bezüglich Primzahlen in schlechte Reduktion haben. Tatsächlich sind Néron-Modelle elliptischer Kurven durch eine Gleichung gegeben und sie haben nur dann schlechte Reduktion modulo , wenn und nur durch die Primzahlen in teilbar sind. Dies ist zu einer gegebenen Menge nur für endlich viele der Fall.

Anwendungen Bearbeiten

Aus der Schafarewitsch-Vermutung folgt mit Arbeiten von Alexei Nikolajewitsch Parschin die Mordell-Vermutung: eine algebraische Kurve vom Geschlecht über einem Zahlkörper hat nur endlich viele rationale Punkte.

Analoga Bearbeiten

Die Schafarewitsch-Vermutung für Funktionenkörper wurde in Charakteristik Null 1971 von Arakelow und in positiver Charakteristik 1978 von Szpiro bewiesen.

Literatur Bearbeiten

  • I. R. Shafarevich: Algebraic number fields, Transl. AMS 31, 25–39 (1963)
  • A. N. Parshin: Algebraic curves over function fields I, Math. USSR Izv. 2, 1145–1170 (1968)
  • S. Arakelov: Families of curves with fixed degenracies, Math. USSR Izv. 5, 1277–1302 (1979)
  • L. Szpiro: Sur le théorème de rigidité de Parsin er Arakelov, Asterisque 164, 169–202 (1979)
  • G. Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern, Inv. Math. 73, 349–366 (1983)
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist die Schafarewitsch Vermutung eine 1983 von Gerd Faltings bewiesene Vermutung aus der arithmetischen Geometrie Sie wurde ursprunglich von Schafarewitsch auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1962 in Stockholm aufgestellt und fur hyperelliptische Kurven bewiesen Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beispiele 3 Anwendungen 4 Analoga 5 LiteraturAussage BearbeitenDie Schafarewitsch Vermutung besagt dass es fur einen Zahlkorper K displaystyle K nbsp und eine endliche Menge von Primidealen S displaystyle S nbsp im Ganzheitsring O K displaystyle mathcal O K nbsp nur endlich viele Kurven gegebenen Geschlechts g 1 displaystyle g geq 1 nbsp gibt deren Neron Modelle modulo der Ideale in S displaystyle S nbsp schlechte Reduktion haben d h nach Reduktion algebraische Kurven mit Singularitaten sind Durch Ubergang zur Jacobi Varietat und Verwendung des Satzes von Torelli ist die Vermutung aquivalent zu der Vermutung dass es nur endlich viele g displaystyle g nbsp dimensionale prinzipal polarisierte abelsche Varietaten mit schlechter Reduktion modulo der Ideale in S displaystyle S nbsp gibt Beispiele BearbeitenFur g 1 displaystyle g 1 nbsp besagt die Schafarewitsch Vermutung dass es nur endlich viele elliptische Kurven uber K displaystyle K nbsp gibt deren Neron Modelle bezuglich Primzahlen in S displaystyle S nbsp schlechte Reduktion haben Tatsachlich sind Neron Modelle elliptischer Kurven durch eine Gleichung y 2 x x 1 x l displaystyle y 2 x x 1 x lambda nbsp gegeben und sie haben nur dann schlechte Reduktion modulo S displaystyle S nbsp wenn l displaystyle lambda nbsp und l 1 displaystyle lambda 1 nbsp nur durch die Primzahlen in S displaystyle S nbsp teilbar sind Dies ist zu einer gegebenen Menge S displaystyle S nbsp nur fur endlich viele l displaystyle lambda nbsp der Fall Anwendungen BearbeitenAus der Schafarewitsch Vermutung folgt mit Arbeiten von Alexei Nikolajewitsch Parschin die Mordell Vermutung eine algebraische Kurve vom Geschlecht g 2 displaystyle g geq 2 nbsp uber einem Zahlkorper hat nur endlich viele rationale Punkte Analoga BearbeitenDie Schafarewitsch Vermutung fur Funktionenkorper wurde in Charakteristik Null 1971 von Arakelow und in positiver Charakteristik 1978 von Szpiro bewiesen Literatur BearbeitenI R Shafarevich Algebraic number fields Transl AMS 31 25 39 1963 A N Parshin Algebraic curves over function fields I Math USSR Izv 2 1145 1170 1968 S Arakelov Families of curves with fixed degenracies Math USSR Izv 5 1277 1302 1979 L Szpiro Sur le theoreme de rigidite de Parsin er Arakelov Asterisque 164 169 202 1979 G Faltings Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern Inv Math 73 349 366 1983 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schafarewitsch Vermutung amp oldid 212702797