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Kommensurabilität Mathematik In der Mathematik wird der Begriff Kommensurabilität in verschiedenen Zusammenhängen verwen

Kommensurabilität (Mathematik)

In der Mathematik wird der Begriff Kommensurabilität in verschiedenen Zusammenhängen verwendet, neben der klassischen Verwendung (siehe Inkommensurabilität (Mathematik)) zum Beispiel auch in Gruppentheorie und Topologie.

Klassische Verwendung des Begriffs Kommensurabilität Bearbeiten

Zwei reelle Zahlen a und b heißen kommensurabel (lat. zusammen messbar), wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten reellen Zahl c sind.

Diese Bedingung ist (für ) äquivalent dazu, dass das Verhältnis von und eine rationale Zahl ist:

(Außerdem ist zu jeder reellen Zahl kommensurabel.)

Zum Beispiel sind alle rationalen Zahlen zueinander kommensurabel. Die Seite eines Quadrats und die Länge seiner Diagonalen sind inkommensurabel, denn nach dem Satz des Pythagoras ist , und die Annahme, dass dies eine Bruchzahl ist, lässt sich widerlegen. Hingegen sind und zueinander kommensurabel.

Gruppentheorie Bearbeiten

Untergruppen einer gegebenen Gruppe Bearbeiten

Sei eine gegebene Gruppe, dann heißen zwei Untergruppen zueinander kommensurabel, wenn der Durchschnitt endlichen Index sowohl in als in hat.

Zum Beispiel sind aller Untergruppen der Gruppe der ganzen Zahlen zueinander kommensurabel: alle Untergruppen von sind von der Form für geeignete , der Durchschnitt hat endlichen Index bzw. in bzw. .

Abstrakte Gruppen Bearbeiten

Zwei Gruppen heißen zueinander kommensurabel, wenn es einen Isomorphismus zweier Untergruppen endlichen Indexes gibt.

Dies ist insbesondere der Fall für kommensurable Untergruppen einer gegebenen Gruppe, hier kann man und setzen.

Zwei Untergruppen einer gegebenen Gruppe, die als abstrakte Gruppen kommensurabel sind, müssen nicht unbedingt im Sinne des vorherigen Abschnitts kommensurable Untergruppen sein.

Geometrische Gruppentheorie Bearbeiten

Auf endlich erzeugten Gruppen kann man mit der Wort-Metrik eine Struktur eines metrischen Raumes auf dem Cayley-Graphen definieren. Kommensurable Gruppen haben quasi-isometrische Cayley-Graphen, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Es gibt aber eine Reihe von Spezialfällen, in denen auch die Umkehrung gilt. Zum Beispiel ist eine Gruppe genau dann quasi-isometrisch zu , wenn sie (abstrakt) kommensurabel zu ist; oder sie ist quasi-isometrisch zu einer freien Gruppe genau dann, wenn sie zur freien Gruppe (abstrakt) kommensurabel ist. Wenn Fundamentalgruppen zweier nicht-kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens und gleicher Dimension sind, dann sind sie quasi-isometrisch genau dann, wenn sie (als Untergruppen der Isometriegruppe des hyperbolischen Raumes) zueinander kommensurabel sind. Hingegen sind alle Fundamentalgruppen kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten einer gegebenen Dimension zueinander quasi-isometrisch, sie sind aber nicht immer zueinander kommensurabel.

Topologie Bearbeiten

Zwei topologische Räume heißen kommensurabel, wenn es einen topologischen Raum mit endlichen Überlagerungen gibt.

Zum Beispiel sind verschiedene Linsenräume zueinander kommensurabel, weil sie alle von der Sphäre endlich überlagert werden.

Der topologische und der gruppentheoretische Kommensurabilitätsbegriff hängen wie folgt zusammen. Wenn zwei topologische Räume kommensurabel zueinander sind, dann sind ihre Fundamentalgruppen kommensurabel, denn und enthalten jeweils eine Untergruppe von endlichem Index, die zu isomorph ist.

Für Räume, die eine gemeinsame universelle Überlagerung besitzen, zum Beispiel hyperbolische Mannigfaltigkeiten einer gegebenen Dimension, gilt auch die Umkehrung: zwei solche Räume sind kommensurabel genau dann, wenn ihre Fundamentalgruppen als Untergruppen der Gruppe der Homöomorphismen von kommensurabel sind.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Richard Evan Schwartz: The quasi-isometry classification of rank one lattices. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 82 (1995), 133–168 (1996).
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In der Mathematik wird der Begriff Kommensurabilitat in verschiedenen Zusammenhangen verwendet neben der klassischen Verwendung siehe Inkommensurabilitat Mathematik zum Beispiel auch in Gruppentheorie und Topologie Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Verwendung des Begriffs Kommensurabilitat 2 Gruppentheorie 2 1 Untergruppen einer gegebenen Gruppe 2 2 Abstrakte Gruppen 2 3 Geometrische Gruppentheorie 3 Topologie 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseKlassische Verwendung des Begriffs Kommensurabilitat Bearbeiten Hauptartikel Inkommensurabilitat Mathematik Zwei reelle Zahlen a und b heissen kommensurabel lat zusammen messbar wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten reellen Zahl c sind Diese Bedingung ist fur b 0 displaystyle b not 0 nbsp aquivalent dazu dass das Verhaltnis x displaystyle x nbsp von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp eine rationale Zahl ist a b x Q displaystyle frac a b x in mathbb Q nbsp Ausserdem ist b 0 displaystyle b 0 nbsp zu jeder reellen Zahl kommensurabel Zum Beispiel sind alle rationalen Zahlen zueinander kommensurabel Die Seite a displaystyle a nbsp eines Quadrats und die Lange d displaystyle d nbsp seiner Diagonalen sind inkommensurabel denn nach dem Satz des Pythagoras ist d a 2 displaystyle tfrac d a sqrt 2 nbsp und die Annahme dass dies eine Bruchzahl ist lasst sich widerlegen Hingegen sind 2 displaystyle sqrt 2 nbsp und 2 2 displaystyle 2 sqrt 2 nbsp zueinander kommensurabel Gruppentheorie BearbeitenUntergruppen einer gegebenen Gruppe Bearbeiten Sei G displaystyle G nbsp eine gegebene Gruppe dann heissen zwei Untergruppen H 1 H 2 G displaystyle H 1 H 2 subset G nbsp zueinander kommensurabel wenn der Durchschnitt H 1 H 2 displaystyle H 1 cap H 2 nbsp endlichen Index sowohl in H 1 displaystyle H 1 nbsp als in H 2 displaystyle H 2 nbsp hat Zum Beispiel sind aller Untergruppen der Gruppe der ganzen Zahlen zueinander kommensurabel alle Untergruppen von G Z displaystyle G mathbb Z nbsp sind von der Form H 1 m Z H 2 n Z displaystyle H 1 m mathbb Z H 2 n mathbb Z nbsp fur geeignete m n N displaystyle m n in mathbb N nbsp der Durchschnitt H 1 H 2 kgV m n Z displaystyle H 1 cap H 2 operatorname kgV m n mathbb Z nbsp hat endlichen Index kgV m n n displaystyle frac operatorname kgV m n n nbsp bzw kgV m n m displaystyle frac operatorname kgV m n m nbsp in H 1 displaystyle H 1 nbsp bzw H 2 displaystyle H 2 nbsp Abstrakte Gruppen Bearbeiten Zwei Gruppen H 1 H 2 displaystyle H 1 H 2 nbsp heissen zueinander kommensurabel wenn es einen Isomorphismus ϕ K 1 K 2 displaystyle phi colon K 1 rightarrow K 2 nbsp zweier Untergruppen K 1 H 1 K 2 H 2 displaystyle K 1 subset H 1 K 2 subset H 2 nbsp endlichen Indexes gibt Dies ist insbesondere der Fall fur kommensurable Untergruppen einer gegebenen Gruppe hier kann man K 1 K 2 H 1 H 2 displaystyle K 1 K 2 H 1 cap H 2 nbsp und ϕ i d displaystyle phi id nbsp setzen Zwei Untergruppen einer gegebenen Gruppe die als abstrakte Gruppen kommensurabel sind mussen nicht unbedingt im Sinne des vorherigen Abschnitts kommensurable Untergruppen sein Geometrische Gruppentheorie Bearbeiten Auf endlich erzeugten Gruppen kann man mit der Wort Metrik eine Struktur eines metrischen Raumes auf dem Cayley Graphen definieren Kommensurable Gruppen haben quasi isometrische Cayley Graphen die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht Es gibt aber eine Reihe von Spezialfallen in denen auch die Umkehrung gilt Zum Beispiel ist eine Gruppe genau dann quasi isometrisch zu Z n displaystyle mathbb Z n nbsp wenn sie abstrakt kommensurabel zu Z n displaystyle mathbb Z n nbsp ist oder sie ist quasi isometrisch zu einer freien Gruppe genau dann wenn sie zur freien Gruppe abstrakt kommensurabel ist Wenn G 1 G 2 displaystyle Gamma 1 Gamma 2 nbsp Fundamentalgruppen zweier nicht kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens und gleicher Dimension n 3 displaystyle n geq 3 nbsp sind dann sind sie quasi isometrisch genau dann wenn sie als Untergruppen der Isometriegruppe des hyperbolischen Raumes zueinander kommensurabel sind 1 Hingegen sind alle Fundamentalgruppen kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten einer gegebenen Dimension zueinander quasi isometrisch sie sind aber nicht immer zueinander kommensurabel Topologie BearbeitenZwei topologische Raume X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp heissen kommensurabel wenn es einen topologischen Raum X displaystyle X nbsp mit endlichen Uberlagerungen p 1 X X 1 p 2 X X 2 displaystyle p 1 colon X rightarrow X 1 p 2 colon X rightarrow X 2 nbsp gibt Zum Beispiel sind verschiedene Linsenraume zueinander kommensurabel weil sie alle von der Sphare endlich uberlagert werden Der topologische und der gruppentheoretische Kommensurabilitatsbegriff hangen wie folgt zusammen Wenn zwei topologische Raume kommensurabel zueinander sind dann sind ihre Fundamentalgruppen kommensurabel denn p 1 X 1 displaystyle pi 1 X 1 nbsp und p 1 X 2 displaystyle pi 1 X 2 nbsp enthalten jeweils eine Untergruppe von endlichem Index die zu p 1 X displaystyle pi 1 X nbsp isomorph ist Fur Raume die eine gemeinsame universelle Uberlagerung X displaystyle widetilde X nbsp besitzen zum Beispiel hyperbolische Mannigfaltigkeiten einer gegebenen Dimension gilt auch die Umkehrung zwei solche Raume sind kommensurabel genau dann wenn ihre Fundamentalgruppen als Untergruppen der Gruppe der Homoomorphismen von X displaystyle widetilde X nbsp kommensurabel sind Weblinks BearbeitenLuisa Paoluzzi The notion of commensurability in group theory and geometryEinzelnachweise Bearbeiten Richard Evan Schwartz The quasi isometry classification of rank one lattices Inst Hautes Etudes Sci Publ Math No 82 1995 133 168 1996 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kommensurabilitat Mathematik amp oldid 183981838