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Quasi Isometrie Der Begriff der dient in der Mathematik dazu die grobe globale Geometrie metrischer Räume zu untersuchen

Quasi-Isometrie

Der Begriff der Quasi-Isometrie dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ globale Geometrie metrischer Räume zu untersuchen. Er spielt in zahlreichen Gebieten der Geometrie, Analysis und geometrischen Gruppentheorie eine wichtige Rolle, etwa in der Theorie der hyperbolischen Gruppen oder in Beweisen von Starrheitssätzen.

Definitionen Bearbeiten

Seien und zwei metrische Räume.

  • Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung ist eine quasi-isometrische Einbettung, wenn es Konstanten und gibt derart, dass.
  • Zwei Abbildungen haben endlichen Abstand, falls .
  • Zwei Abbildungen und sind quasi-invers zueinander, wenn und sowie und jeweils endlichen Abstand haben.
  • Eine Abbildung ist eine Quasi-Isometrie, wenn sie eine Quasi-Einbettung ist und es eine zu quasi-inverse Quasi-Einbettung gibt.
  • Die Räume und sind quasi-isometrisch, wenn es eine Quasi-Isometrie gibt.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die identische Abbildung auf einem metrischen Raum ist eine Quasi-Isometrie.
  • Die Verkettung von quasi-isometrischen Einbettungen (Quasi-Isometrien) ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
  • Eine Abbildung, die einen endlichen Abstand von einer quasi-isometrischen Einbettung (Quasi-Isometrie) hat, ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
  • Eine Quasi-Einbettung zwischen metrischen Räumen ist genau dann eine Quasi-Isometrie, wenn sie quasi-dicht ist, was wie folgt definiert ist: Eine Abbildung zwischen metrischen Räumen ist quasi-dicht, wenn eine Konstante existiert so, dass es für jedes ein mit gibt.

Beispiele Bearbeiten

Die Einbettung ist eine Quasi-Isometrie

Jeder beschränkte metrische Raum ist quasi-isometrisch zum Punkt.

Die Einbettung ist eine Quasi-Isometrie für die euklidische Metrik auf und . Man kann in obiger Definition , und setzen.

Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen , einer Gruppe zugeordneten Cayley-Graphen sind quasi-isometrisch.

Švarc-Milnor-Lemma: Wenn eine endlich erzeugte Gruppe kokompakt und eigentlich diskontinuierlich durch Isometrien auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit wirkt, dann ist (der Cayley-Graph von) quasi-isometrisch zu . (Siehe auch Satz von Švarc-Milnor.)

Mit erhält man daraus insbesondere: Die Fundamentalgruppe einer kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung .

Kategorien Bearbeiten

Die metrischen Räume mit den quasi-isometrischen Einbettungen bilden nach obigen Eigenschaften eine Kategorie. Diese ist allerdings für Quasi-Isometrien nicht interessant, da ihre Isomorphismen bijektiv sein müssen und daher viele wichtige Quasi-Isometrien keine Isomorphismen sind, wie zum Beispiel die in den obigen Beispielen genannte Quasi-Isometrie zwischen und .

Man geht daher zu einer Kategorie über, in der die metrischen Räume immer noch die Objekte sind, aber die Morphismen Äquivalenzklassen quasi-isometrischer Einbettungen sind. Dabei heißen zwei quasi-isometrische Einbettungen äquivalent, wenn sie endlichen Abstand haben; dies definiert offenbar eine Äquivalenzrelation. Bezeichnet die Äquivalenzklasse der quasi-isometrischen Einbettung , so ergeben die Definitionen

eine Kategorie. In dieser Kategorie sind die Isomorphismen genau die Äquivalenzklassen von Quasi-Isometrien. Die in dieser Kategorie gebildete Automorphismengruppe eines metrischen Raums heißt dessen Quasi-Isometrie-Gruppe.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Definition 5.1.6
  2. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Proposition 5.1.10
  3. Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Remark 5.1.12 und Definition 5.1.13
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Der Begriff der Quasi Isometrie dient in der Mathematik dazu die grobe globale Geometrie metrischer Raume zu untersuchen Er spielt in zahlreichen Gebieten der Geometrie Analysis und geometrischen Gruppentheorie eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der hyperbolischen Gruppen oder in Beweisen von Starrheitssatzen Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Kategorien 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenSeien M 1 d 1 displaystyle M 1 d 1 nbsp und M 2 d 2 displaystyle M 2 d 2 nbsp zwei metrische Raume Eine nicht notwendig stetige Abbildung f M 1 M 2 displaystyle f colon M 1 to M 2 nbsp ist eine quasi isometrische Einbettung wenn es Konstanten A 1 displaystyle A geq 1 nbsp und B 0 displaystyle B geq 0 nbsp gibt derart dass1 A d 1 x y B d 2 f x f y A d 1 x y B fur alle x y M 1 displaystyle frac 1 A d 1 x y B leq d 2 f x f y leq A d 1 x y B quad mbox fur alle x y in M 1 nbsp Zwei Abbildungen f g M 1 M 2 displaystyle f g colon M 1 to M 2 nbsp haben endlichen Abstand falls sup x M 1 d 2 f x g x lt displaystyle sup x in M 1 d 2 f x g x lt infty nbsp Zwei Abbildungen f M 1 M 2 displaystyle f colon M 1 to M 2 nbsp und g M 2 M 1 displaystyle g colon M 2 to M 1 nbsp sind quasi invers zueinander wenn g f displaystyle g circ f nbsp und i d M 1 displaystyle id M 1 nbsp sowie f g displaystyle f circ g nbsp und i d M 2 displaystyle id M 2 nbsp jeweils endlichen Abstand haben Eine Abbildung f M 1 M 2 displaystyle f M 1 to M 2 nbsp ist eine Quasi Isometrie wenn sie eine Quasi Einbettung ist und es eine zu f displaystyle f nbsp quasi inverse Quasi Einbettung g M 2 M 1 displaystyle g M 2 to M 1 nbsp gibt Die Raume M 1 d 1 displaystyle M 1 d 1 nbsp und M 2 d 2 displaystyle M 2 d 2 nbsp sind quasi isometrisch wenn es eine Quasi Isometrie f M 1 M 2 displaystyle f colon M 1 to M 2 nbsp gibt 1 Eigenschaften BearbeitenDie identische Abbildung auf einem metrischen Raum ist eine Quasi Isometrie Die Verkettung von quasi isometrischen Einbettungen Quasi Isometrien ist wieder eine quasi isometrische Einbettung Quasi Isometrie Eine Abbildung die einen endlichen Abstand von einer quasi isometrischen Einbettung Quasi Isometrie hat ist wieder eine quasi isometrische Einbettung Quasi Isometrie Eine Quasi Einbettung zwischen metrischen Raumen ist genau dann eine Quasi Isometrie wenn sie quasi dicht ist was wie folgt definiert ist Eine Abbildung f M 1 M 2 displaystyle f colon M 1 to M 2 nbsp zwischen metrischen Raumen ist quasi dicht wenn eine Konstante C 0 displaystyle C geq 0 nbsp existiert so dass es fur jedes u M 2 displaystyle u in M 2 nbsp ein x M 1 displaystyle x in M 1 nbsp mit d 2 u f x C displaystyle d 2 u f x leq C nbsp gibt 2 Beispiele Bearbeiten nbsp Die Einbettung Z R displaystyle mathbb Z to mathbb R nbsp ist eine Quasi IsometrieJeder beschrankte metrische Raum ist quasi isometrisch zum Punkt Die Einbettung f Z n R n displaystyle f colon mathbb Z n to mathbb R n nbsp ist eine Quasi Isometrie fur die euklidische Metrik auf Z n displaystyle mathbb Z n nbsp und R n displaystyle mathbb R n nbsp Man kann in obiger Definition A 1 displaystyle A 1 nbsp B 0 displaystyle B 0 nbsp und C 1 displaystyle C 1 nbsp setzen Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S 1 displaystyle S 1 nbsp S 2 displaystyle S 2 nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp zugeordneten Cayley Graphen sind quasi isometrisch Svarc Milnor Lemma Wenn eine endlich erzeugte Gruppe G displaystyle G nbsp kokompakt und eigentlich diskontinuierlich durch Isometrien auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit Y displaystyle Y nbsp wirkt dann ist der Cayley Graph von G displaystyle G nbsp quasi isometrisch zu Y displaystyle Y nbsp Siehe auch Satz von Svarc Milnor Mit Y X displaystyle Y widetilde X nbsp erhalt man daraus insbesondere Die Fundamentalgruppe p 1 X displaystyle pi 1 X nbsp einer kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp ist quasi isometrisch zur universellen Uberlagerung X displaystyle widetilde X nbsp Kategorien BearbeitenDie metrischen Raume mit den quasi isometrischen Einbettungen bilden nach obigen Eigenschaften eine Kategorie Diese ist allerdings fur Quasi Isometrien nicht interessant da ihre Isomorphismen bijektiv sein mussen und daher viele wichtige Quasi Isometrien keine Isomorphismen sind wie zum Beispiel die in den obigen Beispielen genannte Quasi Isometrie zwischen Z n displaystyle mathbb Z n nbsp und R n displaystyle mathbb R n nbsp Man geht daher zu einer Kategorie uber in der die metrischen Raume immer noch die Objekte sind aber die Morphismen Aquivalenzklassen quasi isometrischer Einbettungen sind Dabei heissen zwei quasi isometrische Einbettungen aquivalent wenn sie endlichen Abstand haben dies definiert offenbar eine Aquivalenzrelation Bezeichnet f displaystyle f nbsp die Aquivalenzklasse der quasi isometrischen Einbettung f displaystyle f nbsp so ergeben die Definitionen 1 M i d M displaystyle 1 M mathrm id M nbsp f g f g displaystyle f circ g f circ g nbsp Wohldefiniertheit eine Kategorie In dieser Kategorie sind die Isomorphismen genau die Aquivalenzklassen von Quasi Isometrien Die in dieser Kategorie gebildete Automorphismengruppe eines metrischen Raums heisst dessen Quasi Isometrie Gruppe 3 Literatur BearbeitenClara Loh Geometric group theory an introduction Skript zur Vorlesung Geometrische Gruppentheorie an der Universitat Regensburg 2015 Engl PDF 1 3 MB Kapitel 5 Michael Kapovich Lectures in quasi isometric rigidity Engl PDF 319 kB Einzelnachweise Bearbeiten Clara Loh Geometric Group Theory Springer Verlag 2017 ISBN 978 3 319 72253 5 Definition 5 1 6 Clara Loh Geometric Group Theory Springer Verlag 2017 ISBN 978 3 319 72253 5 Proposition 5 1 10 Clara Loh Geometric Group Theory Springer Verlag 2017 ISBN 978 3 319 72253 5 Remark 5 1 12 und Definition 5 1 13 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quasi Isometrie amp oldid 233829320