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Satz von Švarc Milnor Der in anderen Transkriptionen auch Satz von Schwartz Milnor oder Satz von Schwarz Milnor ist ein

Satz von Švarc-Milnor

Der Satz von Švarc-Milnor (in anderen Transkriptionen auch Satz von Schwartz-Milnor oder Satz von Schwarz-Milnor) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der geometrischen Gruppentheorie. Er wurde nach den Mathematikern Albert S. Švarc und John W. Milnor benannt.

Aussage Bearbeiten

Sei ein geodätischer metrischer Raum, in dem abgeschlossene Kugeln mit endlichem Radius kompakt sind. Die topologische Gruppe operiere kokompakt auf und für alle kompakten Mengen sei die Menge endlich.

Dann ist endlich erzeugt und für jedes ist die Abbildung eine Quasi-Isometrie bzgl. der zu einem (beliebigen) endlichen Erzeugendensystem definierten Wortmetrik.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • V.A. Efremovič: On the proximity geometry of Riemannian manifolds, Uspekhi Math Nauk, 8:189 (1953).
  • A.S. Švarc: A volume invariant of covering, Dokl. Akad. Nauka SSSR (N.S.), 105 (1955), 32–34.
  • J.W. Milnor: A note on curvature and fundamental group, J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7. online

Weblinks Bearbeiten

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Der Satz von Svarc Milnor in anderen Transkriptionen auch Satz von Schwartz Milnor oder Satz von Schwarz Milnor ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der geometrischen Gruppentheorie Er wurde nach den Mathematikern Albert S Svarc und John W Milnor benannt Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beispiele 3 Literatur 4 WeblinksAussage BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein geodatischer metrischer Raum in dem abgeschlossene Kugeln mit endlichem Radius kompakt sind Die topologische Gruppe G displaystyle G nbsp operiere kokompakt auf X displaystyle X nbsp und fur alle kompakten Mengen K X displaystyle K subset X nbsp sei die Menge g G g K K displaystyle g in G mid gK cap K neq emptyset nbsp endlich Dann ist G displaystyle G nbsp endlich erzeugt und fur jedes x 0 X displaystyle x 0 in X nbsp ist die Abbildung G X g g x 0 displaystyle G to X g mapsto g x 0 nbsp eine Quasi Isometrie bzgl der zu einem beliebigen endlichen Erzeugendensystem definierten Wortmetrik Beispiele BearbeitenDie Gruppe Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen ist quasi isometrisch zur reellen Zahlengerade R displaystyle mathbb R nbsp Die Gruppe Z n displaystyle mathbb Z n nbsp ist quasi isometrisch zum R n displaystyle mathbb R n nbsp Die Fundamentalgruppe p 1 X displaystyle pi 1 X nbsp eines kompakten metrischen Raumes X displaystyle X nbsp ist quasi isometrisch zur universellen Uberlagerung X displaystyle widetilde X nbsp falls diese existiert Literatur BearbeitenV A Efremovic On the proximity geometry of Riemannian manifolds Uspekhi Math Nauk 8 189 1953 A S Svarc A volume invariant of covering Dokl Akad Nauka SSSR N S 105 1955 32 34 J W Milnor A note on curvature and fundamental group J Differential Geometry 2 1968 1 7 onlineWeblinks BearbeitenThe Svarc Milnor Lemma Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Svarc Milnor amp oldid 213886845