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Jordan Brouwer Zerlegungssatz Der ist ein Lehrsatz der Topologie welcher den Jordanschen Kurvensatz von zwei auf n displ

Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz

Der Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz ist ein Lehrsatz der Topologie, welcher den Jordanschen Kurvensatz von zwei auf Dimensionen verallgemeinert. Er geht zurück auf den französischen Mathematiker Camille Jordan und den niederländischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer. In der deutschsprachigen Literatur findet man den Satz auch als Trennungssatz von Jordan-Brouwer oder als Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer-Alexander. Letztere Namensgebung berücksichtigt die Leistung, welche der amerikanische Mathematiker James Waddell Alexander zu diesem Thema beigetragen hat.

Aussage Bearbeiten

Der Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz (in der heute gängigen Fassung) lautet:


Speziellere Formulierung:

Wenn eine kompakte, geschlossene und zusammenhängende Hyperfläche des ist, dann besteht das Komplement von , also , aus zwei offenen zusammenhängenden Mengen, dem „Inneren“ und dem „Äußeren“ . Dabei ist die die abgeschlossene Hülle des Inneren, also , eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand , also .

Folgerungen Bearbeiten

Der Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz zieht neben dem Jordanschen Kurvensatz noch weitere Sätze der Topologie des n-dimensionalen euklidischen Raums nach sich. Dies gibt einen Hinweis auf seine fundamentale Bedeutung.

Satz von der Invarianz offener Mengen Bearbeiten

In der deutschsprachigen Literatur wird der Satz auch unter dem ähnlich lautenden Stichwort Invarianz der offenen Menge zitiert.

Da unter stetigen Abbildungen Zusammenhang bzw. Wegzusammenhang stets erhalten bleiben, ergibt sich als Korollar sofort der folgende Invarianzsatz.

Satz von der Invarianz des Gebietes Bearbeiten

In der englischsprachigen Literatur findet sich dieser Satz unter dem Stichwort Invariance of domain.

Satz von der Invarianz der Dimension Bearbeiten

Insbesondere sind und für niemals homöomorph.

In der englischsprachigen Literatur findet sich dieser Satz unter dem Stichwort Invariance of dimension.

Im Jahr 1879 bewies Eugen Netto, dass die bijektive Abbildung des Einheitsintervalls auf das Einheitsquadrat von Georg Cantor nicht stetig sein kann.

Bedeutung der Sätze, Herleitung, Historisches Bearbeiten

Die Bedeutung des Zerlegungssatzes und der Invarianzsätze (und damit die Bedeutung der Leistung Brouwers) beruht nicht zuletzt auf dem Beitrag zur Klärung der seit Georg Cantor in Diskussion befindlichen Frage nach dem Wesen der Dimension des Raums. Cantor hatte im Briefverkehr mit Richard Dedekind gezeigt, dass und und damit , und dann auch alle dieselbe Mächtigkeit haben, dass sich also und für bijektiv aufeinander abbilden lassen. Es wurde jedoch vermutet (im Anschluss an Dedekind), dass keine solche Bijektion ein Homöomorphismus sein könne. Diesen Beweis konnte Brouwer als erster führen. Nicht weniger bedeutsam ist, dass Brouwer zur Herleitung seiner Sätze neue fruchtbare Methoden in die Topologie einführte. So geht insbesondere der Abbildungsgrad (englisch degree) für stetige Funktionen auf Brouwer zurück, welcher sich in der Folge als sehr nützliches Werkzeug erwiesen hat.

Dass neben dem Brouwerschen Zugang auch ein anderer Zugang möglich ist, konnte James Waddell Alexander 1922 zeigen. Er bewies, dass sein Dualitätssatz den Zerlegungssatz nach sich zieht. Die Sätze von der Invarianz offener Mengen, der Invarianz des Gebietes und der Invarianz der Dimension sind für sich auch schon im Rahmen der Singulären Homologietheorie ableitbar. Wie Emanuel Sperner im Jahre 1928 zeigen konnte, sind letztere auch schon unter alleiniger Benutzung elementarer kombinatorischer Hilfsmittel beweisbar.

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten

Monographien

  • Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
  • Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
  • Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2.
  • Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik. Vieweg, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0.
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
  • Tammo tom Dieck: Topologie. 2., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-11-016236-9.

Weblink Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. K. H. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 254.
  2. E. Harzheim: Einführung in die kombinatorische Topologie. 1978, S. 141 ff.
  3. Proof of Jordan-Brouwer Separation Theorem math.berkeley.edu, 20. November 2014, abgerufen am 7. September 2019
  4. Der Zerlegungssatz von Jordan-Brouwer nach ”Differential Topology”, V. Guillemin / A. Pollack, bell0bytes.eu, 14. Januar 2007, abgerufen am 7. September 2019
  5. E. Harzheim: Einführung in die kombinatorische Topologie. 1978, S. 153.
  6. H. Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. 1990, S. 246.
  7. J. W. Alexander: A proof and extension of the Jordan-Brouwer separation theorem. 1922, S. 333 ff.
  8. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 272.
  9. E. Sperner: Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes. 1928, S. 265 ff.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Jordan Brouwer Zerlegungssatz ist ein Lehrsatz der Topologie welcher den Jordanschen Kurvensatz von zwei auf n displaystyle n Dimensionen verallgemeinert Er geht zuruck auf den franzosischen Mathematiker Camille Jordan und den niederlandischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer In der deutschsprachigen Literatur findet man den Satz auch als Trennungssatz von Jordan Brouwer 1 oder als Zerlegungssatz von Jordan Brouwer Alexander 2 Letztere Namensgebung berucksichtigt die Leistung welche der amerikanische Mathematiker James Waddell Alexander zu diesem Thema beigetragen hat Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Folgerungen 2 1 Satz von der Invarianz offener Mengen 2 2 Satz von der Invarianz des Gebietes 2 3 Satz von der Invarianz der Dimension 3 Bedeutung der Satze Herleitung Historisches 4 Literatur 5 Weblink 6 EinzelnachweiseAussage BearbeitenDer Jordan Brouwer Zerlegungssatz in der heute gangigen Fassung lautet Seien K displaystyle K nbsp und L displaystyle L nbsp homoomorphe kompakte Teilmengen des R n displaystyle mathbb R n nbsp Dann haben die Komplemente R n K displaystyle mathbb R n setminus K nbsp und R n L displaystyle mathbb R n setminus L nbsp dieselbe Anzahl von Wegkomponenten Speziellere Formulierung Wenn X displaystyle X nbsp eine kompakte geschlossene und zusammenhangende Hyperflache des R n displaystyle mathbb R n nbsp ist dann besteht das Komplement von X displaystyle X nbsp also R n X displaystyle mathbb R n setminus X nbsp aus zwei offenen zusammenhangenden Mengen dem Inneren D 1 displaystyle D 1 nbsp und dem Ausseren D 0 displaystyle D 0 nbsp Dabei ist die die abgeschlossene Hulle des Inneren also D 1 displaystyle overline D 1 nbsp eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand X displaystyle X nbsp also D 1 X displaystyle partial overline D 1 X nbsp 3 4 Folgerungen BearbeitenDer Jordan Brouwer Zerlegungssatz zieht neben dem Jordanschen Kurvensatz noch weitere Satze der Topologie des n dimensionalen euklidischen Raums nach sich Dies gibt einen Hinweis auf seine fundamentale Bedeutung Satz von der Invarianz offener Mengen Bearbeiten Sei U displaystyle U nbsp eine offene Teilmenge des R n displaystyle mathbb R n nbsp und f U R n displaystyle f colon U to mathbb R n nbsp eine injektive stetige Abbildung Dann ist f U R n displaystyle f U subseteq mathbb R n nbsp ebenfalls eine offene Teilmenge des R n displaystyle mathbb R n nbsp und f U f U displaystyle f colon U to f U nbsp sogar ein Homoomorphismus In der deutschsprachigen Literatur wird der Satz auch unter dem ahnlich lautenden Stichwort Invarianz der offenen Menge zitiert 5 Da unter stetigen Abbildungen Zusammenhang bzw Wegzusammenhang stets erhalten bleiben ergibt sich als Korollar sofort der folgende Invarianzsatz Satz von der Invarianz des Gebietes Bearbeiten Sei U displaystyle U nbsp ein Gebiet des R n displaystyle mathbb R n nbsp und f U R n displaystyle f colon U to mathbb R n nbsp eine injektive stetige Abbildung Dann ist f U R n displaystyle f U subseteq mathbb R n nbsp ebenfalls ein Gebiet des R n displaystyle mathbb R n nbsp und f U f U displaystyle f colon U to f U nbsp sogar ein Homoomorphismus In der englischsprachigen Literatur findet sich dieser Satz unter dem Stichwort Invariance of domain Satz von der Invarianz der Dimension Bearbeiten Sei U displaystyle emptyset neq U nbsp eine offene Teilmenge des R n displaystyle mathbb R n nbsp und sei V displaystyle emptyset neq V nbsp eine offene Teilmenge des R m displaystyle mathbb R m nbsp Sind U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp homoomorph so gilt n m displaystyle n m nbsp Insbesondere sind R n displaystyle mathbb R n nbsp und R m displaystyle mathbb R m nbsp fur n m displaystyle n neq m nbsp niemals homoomorph In der englischsprachigen Literatur findet sich dieser Satz unter dem Stichwort Invariance of dimension Im Jahr 1879 bewies Eugen Netto dass die bijektive Abbildung des Einheitsintervalls auf das Einheitsquadrat von Georg Cantor nicht stetig sein kann Bedeutung der Satze Herleitung Historisches BearbeitenDie Bedeutung des Zerlegungssatzes und der Invarianzsatze und damit die Bedeutung der Leistung Brouwers beruht nicht zuletzt auf dem Beitrag zur Klarung der seit Georg Cantor in Diskussion befindlichen Frage nach dem Wesen der Dimension des Raums Cantor hatte im Briefverkehr mit Richard Dedekind gezeigt dass 0 1 displaystyle 0 1 nbsp und 0 1 0 1 displaystyle 0 1 times 0 1 nbsp und damit R displaystyle mathbb R nbsp R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp und dann auch alle R n displaystyle mathbb R n nbsp dieselbe Machtigkeit haben dass sich also R n displaystyle mathbb R n nbsp und R m displaystyle mathbb R m nbsp fur n m displaystyle n neq m nbsp bijektiv aufeinander abbilden lassen Es wurde jedoch vermutet im Anschluss an Dedekind dass keine solche Bijektion ein Homoomorphismus sein konne Diesen Beweis konnte Brouwer als erster fuhren Nicht weniger bedeutsam ist dass Brouwer zur Herleitung seiner Satze neue fruchtbare Methoden in die Topologie einfuhrte 6 So geht insbesondere der Abbildungsgrad englisch degree fur stetige Funktionen auf Brouwer zuruck welcher sich in der Folge als sehr nutzliches Werkzeug erwiesen hat Dass neben dem Brouwerschen Zugang auch ein anderer Zugang moglich ist konnte James Waddell Alexander 1922 7 zeigen Er bewies dass sein Dualitatssatz den Zerlegungssatz nach sich zieht Die Satze von der Invarianz offener Mengen der Invarianz des Gebietes und der Invarianz der Dimension sind fur sich auch schon im Rahmen der Singularen Homologietheorie ableitbar 8 Wie Emanuel Sperner 9 im Jahre 1928 zeigen konnte sind letztere auch schon unter alleiniger Benutzung elementarer kombinatorischer Hilfsmittel beweisbar Literatur BearbeitenOriginalarbeiten James W Alexander A proof and extension of the Jordan Brouwer separation theorem In Transactions of the American Mathematical Society Band 23 Nr 4 1922 S 333 349 doi 10 2307 1988883 Luitzen E J Brouwer Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl In Mathematische Annalen Band 70 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Kontinuen Einzelnachweise Bearbeiten K H Mayer Algebraische Topologie 1989 S 254 E Harzheim Einfuhrung in die kombinatorische Topologie 1978 S 141 ff Proof of Jordan Brouwer Separation Theorem math berkeley edu 20 November 2014 abgerufen am 7 September 2019 Der Zerlegungssatz von Jordan Brouwer nach Differential Topology V Guillemin A Pollack bell0bytes eu 14 Januar 2007 abgerufen am 7 September 2019 E Harzheim Einfuhrung in die kombinatorische Topologie 1978 S 153 H Meschkowski Denkweisen grosser Mathematiker 1990 S 246 J W Alexander A proof and extension of the Jordan Brouwer separation theorem 1922 S 333 ff H Schubert Topologie 1975 S 272 E Sperner Neuer Beweis fur die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes 1928 S 265 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jordan Brouwer Zerlegungssatz amp oldid 230713488