Die fresnelschen Formeln nach Augustin Jean Fresnel beschreiben quantitativ die Reflexion und Transmission einer ebenen elektromagnetischen Welle an einer ebenen Grenzflache Der zunachst berechnete Reflexions und Transmissionsfaktor ist das Verhaltnis der reflektierten bzw transmittierten Amplitude zu jener der einfallenden Welle Durch Quadrieren erhalt man den Reflexions bzw den Transmissionsgrad welche als Energiegrossen Intensitatsverhaltnisse darstellen Inhaltsverzeichnis 1 Vorbetrachtungen 2 Allgemeiner Fall 2 1 Vorbetrachtung fur Gleichungen mit eliminiertem Brechungswinkel 2 2 Senkrechte Polarisation 2 3 Parallele Polarisation 3 Spezialfall gleiche magnetische Permeabilitat 4 Spezialfall dielektrische Materialien 4 1 Senkrechter Einfall 4 2 Diskussion der Amplitudenverhaltnisse 4 3 Diskussion der Amplitudenverhaltnisse bei Rontgenstrahlung unter streifendem Einfall 5 Zusammenhang mit Reflexions und Transmissionsgrad 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseVorbetrachtungen BearbeitenDie fresnelschen Formeln konnen aus den maxwellschen Gleichungen hergeleitet werden dabei nutzt man Sonderfalle der Randbedingungen elektromagnetischer Wellen an einer ladungs und stromfreien Grenzschicht n E 2 E 1 0 displaystyle vec n times vec E 2 vec E 1 0 nbsp n H 2 H 1 0 displaystyle vec n times vec H 2 vec H 1 0 nbsp n D 2 D 1 0 displaystyle vec n cdot vec D 2 vec D 1 0 nbsp n B 2 B 1 0 displaystyle vec n cdot vec B 2 vec B 1 0 nbsp Hierbei ist n displaystyle vec n nbsp die Normale auf die Grenzflache und die anderen Grossen beschreiben Magnetfeld und elektrisches Feld in den beiden Medien Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstarke E und der magnetischen Feldstarke H sind an der Grenzflache stetig ebenso wie die Normalkomponente der elektrischen Flussdichte D und der magnetischen Flussdichte B tangential und normal bezieht sich auf die Grenzflache Abhangig von der Polarisation der einfallenden Welle ergeben sich unterschiedliche Randbedingungen fur das Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine optische Grenzflache Jede beliebig polarisierte elektromagnetische Welle lasst sich als Superposition zweier linear polarisierter Wellen die senkrecht zueinander schwingen darstellen Als Bezugsebene dient die Einfallsebene die vom Wellenvektor k e displaystyle vec k e nbsp der einfallenden Welle und der Flachennormalen n displaystyle vec n nbsp aufgespannt wird Eine einfallende beliebig polarisierte Welle lasst sich also als Superposition einer parallel p und senkrecht s zur Einfallsebene polarisierten Welle schreiben E E 0 e s e s e i d s E 0 e p e p e i d p e i k e r w t E 0 e s e s e i k e r w t d s E 0 e p e p e i k e r w t d p displaystyle vec E left E 0e s vec e s e i delta s E 0e p vec e p e i delta p right e i vec k e cdot vec r omega t E 0e s vec e s e i vec k e cdot vec r omega t delta s E 0e p vec e p e i vec k e cdot vec r omega t delta p nbsp Dabei ist E displaystyle vec E nbsp der Feldvektor des elektrischen Feldes e i displaystyle vec e i nbsp sind die Einheitsvektoren fur s und p Polarisation und die Parameter d i displaystyle delta i nbsp entsprechen beliebigen Phasenverschiebungen Wegen des Superpositionsprinzips reicht es aus die Amplitudenverhaltnisse fur parallel und senkrecht zur Einfallsebene linear polarisierte Wellen zu berechnen Die Polarisationsrichtung senkrecht bzw parallel zur Einfallsebene bleibt nach der Reflexion unverandert Allgemeiner Fall BearbeitenIm allgemeinen Fall haben beide Medien eine unterschiedliche Permittivitat e r displaystyle varepsilon r nbsp und Permeabilitat m r displaystyle mu r nbsp sowie einen komplexen Brechungsindex N n i K displaystyle N n mathrm i K nbsp Vorbetrachtung fur Gleichungen mit eliminiertem Brechungswinkel Bearbeiten Im Allgemeinen sind fur die Berechnung der Reflexions bzw Transmissionsgrade mit den fresnelschen Formeln sowohl der Brechungsindex der beteiligten Medien als auch der Einfalls und Brechungswinkel notwendig Um neben diesen allgemeinen Gleichungen auch eine vom Brechungswinkel unabhangige Form anzugeben muss der Brechungswinkel aus der allgemeinen Form eliminiert werden Da beide Winkel a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp uber das snelliussche Brechungsgesetz verknupft sind kann dies wie folgt mit Hilfe einer Falleingrenzung erreicht werden N 1 sin a N 2 sin b displaystyle N 1 sin alpha N 2 sin beta nbsp Brechungsgesetz Quadrieren liefert unter Nutzung einer trigonometrischen Umrechnung folgenden Zusammenhang N 1 2 sin 2 a N 2 2 sin 2 b N 2 2 1 cos 2 b displaystyle N 1 2 sin 2 alpha N 2 2 sin 2 beta N 2 2 left 1 cos 2 beta right nbsp Umgestellt ergibt sich daraus cos b N 2 2 N 1 2 sin 2 a N 2 displaystyle cos beta pm frac sqrt N 2 2 N 1 2 sin 2 alpha N 2 nbsp Als Losung wird der Fall mit dem positiven Vorzeichen genutzt damit spater der Reflexionsfaktor r 1 ist Senkrechte Polarisation Bearbeiten nbsp Bei der senkrechten Polarisation bildet die elektrische Komponente mit der Einfallsebene einen rechten Winkel Als erstes betrachtet man die Komponente die linear senkrecht Index s zur Einfallsebene polarisiert ist Sie wird in der Literatur auch als transversalelektrische TE Komponente bezeichnet E 0 t E 0 e s t s 2 N 1 cos a N 1 cos a m r 1 m r 2 N 2 cos b 2 N 1 cos a N 1 cos a m r 1 m r 2 N 2 2 N 1 2 sin 2 a displaystyle left frac E 0t E 0e right s t s frac 2N 1 cos alpha N 1 cos alpha frac mu r1 mu r2 N 2 cos beta frac 2N 1 cos alpha N 1 cos alpha frac mu r1 mu r2 sqrt N 2 2 N 1 2 sin 2 alpha nbsp E 0 r E 0 e s r s N 1 cos a m r 1 m r 2 N 2 cos b N 1 cos a m r 1 m r 2 N 2 cos b N 1 cos a m r 1 m r 2 N 2 2 N 1 2 sin 2 a N 1 cos a m r 1 m r 2 N 2 2 N 1 2 sin 2 a displaystyle left frac E 0r E 0e right s r s frac N 1 cos alpha frac mu r1 mu r2 N 2 cos beta N 1 cos alpha frac mu r1 mu r2 N 2 cos beta frac N 1 cos alpha frac mu r1 mu r2 sqrt N 2 2 N 1 2 sin 2 alpha N 1 cos alpha frac mu r1 mu r2 sqrt N 2 2 N 1 2 sin 2 alpha nbsp Mit dem Transmissionsfaktor t s displaystyle t s nbsp Reflexionsfaktor r s displaystyle r s nbsp und den relativen magnetischen Permeabilitaten m r 1 displaystyle mu r1 nbsp bzw m r 2 displaystyle mu r2 nbsp Hierbei beziehen sich die Koeffizienten auf das elektrische Feld Parallele Polarisation Bearbeiten nbsp Bei paralleler Polarisation schwingt die elektrische Komponente in der Einfallsebene nbsp Koordinatensystem fur die Messung der E VektorenIm anderen Fall wird die Amplitude einer in der Einfallsebene linear parallel Index p polarisierten Welle betrachtet Sie wird in der Literatur auch als transversalmagnetische TM Komponente bezeichnet Hierbei beziehen sich die Koeffizienten auf das magnetische Feld E 0 t E 0 e p t p 2 N 1 cos a N 2 m r 1 m r 2 cos a N 1 cos b 2 N 1 N 2 cos a N 2 2 m r 1 m r 2 cos a N 1 N 2 2 N 1 2 sin 2 a displaystyle left frac E 0t E 0e right p t p frac 2N 1 cos alpha N 2 frac mu r1 mu r2 cos alpha N 1 cos beta frac 2N 1 N 2 cos alpha N 2 2 frac mu r1 mu r2 cos alpha N 1 sqrt N 2 2 N 1 2 sin 2 alpha nbsp E 0 r E 0 e p r p N 2 m r 1 m r 2 cos a N 1 cos b N 2 m r 1 m r 2 cos a N 1 cos b N 2 2 m r 1 m r 2 cos a N 1 N 2 2 N 1 2 sin 2 a N 2 2 m r 1 m r 2 cos a N 1 N 2 2 N 1 2 sin 2 a displaystyle left frac E 0r E 0e right p r p frac N 2 frac mu r1 mu r2 cos alpha N 1 cos beta N 2 frac mu r1 mu r2 cos alpha N 1 cos beta frac N 2 2 frac mu r1 mu r2 cos alpha N 1 sqrt N 2 2 N 1 2 sin 2 alpha N 2 2 frac mu r1 mu r2 cos alpha N 1 sqrt N 2 2 N 1 2 sin 2 alpha nbsp Die Richtungen der elektrischen Feldvektoren E r displaystyle vec E r nbsp bzw E t displaystyle vec E t nbsp entsprechen den Richtungen der Vektoren n e k r displaystyle vec n e times vec k r nbsp bzw n e k t displaystyle vec n e times vec k t nbsp wobei n e displaystyle vec n e nbsp der Normalenvektor der Einfallsebene ist Spezialfall gleiche magnetische Permeabilitat BearbeitenFur den in der Praxis haufigen Spezialfall dass die beteiligten Materialien naherungsweise die gleiche magnetische Permeabilitat besitzen m r 1 m r 2 displaystyle mu r1 mu r2 nbsp z B m r 1 displaystyle mu r 1 nbsp fur nicht magnetische Materialien vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt Senkrechte Polarisation TE E 0 t E 0 e s t s 2 N 1 cos a N 1 cos a N 2 cos b displaystyle left frac E 0t E 0e right s t s frac 2N 1 cos alpha N 1 cos alpha N 2 cos beta nbsp E 0 r E 0 e s r s N 1 cos a N 2 cos b N 1 cos a N 2 cos b displaystyle left frac E 0r E 0e right s r s frac N 1 cos alpha N 2 cos beta N 1 cos alpha N 2 cos beta nbsp Parallele Polarisation TM E 0 t E 0 e p t p 2 N 1 cos a N 2 cos a N 1 cos b displaystyle left frac E 0t E 0e right p t p frac 2N 1 cos alpha N 2 cos alpha N 1 cos beta nbsp E 0 r E 0 e p r p N 2 cos a N 1 cos b N 2 cos a N 1 cos b displaystyle left frac E 0r E 0e right p r p frac N 2 cos alpha N 1 cos beta N 2 cos alpha N 1 cos beta nbsp Spezialfall dielektrische Materialien Bearbeiten nbsp Amplitudenverhaltnisse r displaystyle r nbsp t displaystyle t nbsp oben und Reflexions Transmissionsvermogen R displaystyle R nbsp T displaystyle T nbsp unten fur die Grenzflache Luft n 1 displaystyle n 1 nbsp und Glas n 1 5 displaystyle n 1 5 nbsp m 1 m 2 1 displaystyle mu 1 mu 2 1 nbsp und k 1 k 2 0 displaystyle kappa 1 kappa 2 0 nbsp Auf die Grenzflache einfallendes Licht von der Luftseite links und von der Glasseite rechts Ein weiterer Spezialfall ergibt sich fur ideale Dielektrika bei denen der Absorptionskoeffizient k displaystyle kappa nbsp des komplexen Brechungsindex gleich null ist Das heisst das Material auf beiden Seiten der Grenzflache absorbiert die entsprechende elektromagnetische Strahlung nicht k 1 k 2 0 displaystyle k 1 k 2 0 nbsp Es gilt N i n i 1 i k i n i i k i k i 0 N i n i displaystyle N i n i 1 mathrm i kappa i n i mathrm i k i quad xrightarrow k i 0 quad N i n i nbsp Durch den Wegfall des Imaginarteils vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt 1 Senkrechte Polarisation TE E 0 t E 0 e s t s 2 n 1 cos a n 1 cos a n 2 cos b 2 sin b cos a sin a b displaystyle left frac E 0t E 0e right s t s frac 2n 1 cos alpha n 1 cos alpha n 2 cos beta frac 2 sin beta cos alpha sin alpha beta nbsp E 0 r E 0 e s r s n 1 cos a n 2 cos b n 1 cos a n 2 cos b sin a b sin a b displaystyle left frac E 0r E 0e right s r s frac n 1 cos alpha n 2 cos beta n 1 cos alpha n 2 cos beta frac sin alpha beta sin alpha beta nbsp Parallele Polarisation TM E 0 t E 0 e p t p 2 n 1 cos a n 2 cos a n 1 cos b 2 sin b cos a sin a b cos a b displaystyle left frac E 0t E 0e right p t p frac 2n 1 cos alpha n 2 cos alpha n 1 cos beta frac 2 sin beta cos alpha sin alpha beta cos alpha beta nbsp E 0 r E 0 e p r p n 2 cos a n 1 cos b n 2 cos a n 1 cos b tan a b tan a b displaystyle left frac E 0r E 0e right p r p frac n 2 cos alpha n 1 cos beta n 2 cos alpha n 1 cos beta frac tan alpha beta tan alpha beta nbsp Hinweis Das jeweils dritte Gleichheitszeichen ergibt sich durch Anwenden des Brechungsgesetzes n 1 n 2 sin b sin a displaystyle frac n 1 n 2 frac sin beta sin alpha nbsp und Additionstheoremen 2 Die dabei getroffenen Annahmen sind fur Einfallswinkel von 0 und 90 nicht gultig und die Formeln konnen daher nicht genutzt werden Hierfur muss die ursprungliche Form aus reinen Kosinustermen verwendet werden Senkrechter Einfall Bearbeiten Eine weitere Vereinfachung ergibt sich fur den Fall dass der Einfallswinkel a gleich 0 ist senkrechter Einfall 1 E 0 r E 0 e s r s n 1 n 2 n 1 n 2 r p E 0 r E 0 e p displaystyle left frac E 0r E 0e right s r s frac n 1 n 2 n 1 n 2 r p left frac E 0r E 0e right p nbsp E 0 t E 0 e s t s 2 n 1 n 1 n 2 t p E 0 t E 0 e p displaystyle left frac E 0t E 0e right s t s frac 2n 1 n 1 n 2 t p left frac E 0t E 0e right p nbsp Fallt beispielsweise sichtbares Licht senkrecht auf die Grenzflache Luft Quarzglas dann wird der Anteil R r s 2 r p 2 n 1 n 2 n 1 n 2 2 1 1 46 1 1 46 2 0 035 3 5 displaystyle R r s 2 r p 2 left frac n 1 n 2 n 1 n 2 right 2 left frac 1 1 46 1 1 46 right 2 0 035 3 5 nbsp der einfallenden Intensitat unabhangig von der Polarisation reflektiert vgl Abschnitt Zusammenhang mit Reflexions und Transmissionsgrad Diskussion der Amplitudenverhaltnisse Bearbeiten nbsp Partielle Reflexion und Transmission einer eindimensionalen Welle an einer Potentialstufe Der Anteil der reflektierten und transmittierten Intensitat einer elektromagnetischen Welle lasst sich mit den Fresnelschen Formeln berechnen Dort wo die Amplitudenkoeffizienten reell und negativ sind tritt ein Phasensprung von 180 p displaystyle 180 circ pi nbsp auf bei reell und positiv keine Phasenanderung r r r e i p displaystyle r r r cdot e i pi nbsp Das Amplitudenverhaltnis r p displaystyle r p nbsp besitzt einen Nulldurchgang am Brewster Winkel a B displaystyle alpha text B nbsp r p tan a b tan a b 0 displaystyle r p frac tan alpha beta tan alpha beta 0 nbsp genau bei a b 90 displaystyle alpha beta 90 circ nbsp n 2 n 1 sin a sin b sin a sin 90 a sin a cos a tan a displaystyle frac n 2 n 1 frac sin alpha sin beta frac sin alpha sin 90 circ alpha frac sin alpha cos alpha tan alpha nbsp also a B arctan n 2 n 1 displaystyle alpha text B arctan frac n 2 n 1 nbsp Beispiele Brewster Winkel fur Luft Glas n 2 n 1 1 5 1 displaystyle tfrac n 2 n 1 tfrac 1 5 1 nbsp ist a B 56 3 displaystyle alpha text B 56 3 circ nbsp und fur Glas Luft n 2 n 1 1 1 5 displaystyle tfrac n 2 n 1 tfrac 1 1 5 nbsp ist a B 33 7 displaystyle alpha text B 33 7 circ nbsp Fur n 2 lt n 1 displaystyle n 2 lt n 1 nbsp werden ab einem bestimmten Winkel die Amplitudenverhaltnisse komplex Ab diesem kritischen Winkel oder Grenzwinkel tritt Totalreflexion auf Der Grenzwinkel a c displaystyle alpha text c nbsp entspricht dem Brechungswinkel b 90 displaystyle beta 90 circ nbsp also sin b 1 displaystyle sin beta 1 nbsp d h die Welle lauft an der Grenzflache entlang n 2 n 1 sin a sin 90 sin a displaystyle frac n 2 n 1 frac sin alpha sin 90 circ sin alpha nbsp also a c arcsin n 2 n 1 displaystyle alpha text c arcsin frac n 2 n 1 nbsp Beispiel Grenzwinkel fur Glas Luft n 2 n 1 1 1 5 displaystyle tfrac n 2 n 1 tfrac 1 1 5 nbsp ist a c 41 8 displaystyle alpha text c 41 8 circ nbsp Diskussion der Amplitudenverhaltnisse bei Rontgenstrahlung unter streifendem Einfall Bearbeiten Fur Rontgenstrahlung mit einer Energie weit weg von den Absoptionskanten des Mediums ist die Absorption vernachlassigbar und der Brechungsindex n 2 1 d displaystyle n 2 1 delta nbsp ist reell und nicht komplex Wenn die Strahlung im Medien mit Brechungsindex n 2 1 d displaystyle n 2 1 delta nbsp auf die Grenzflache zu Vakuum oder Luft mit n 1 1 gt n 2 displaystyle n 1 approx 1 gt n 2 nbsp trifft lautet das Snelliussche Brechungsgesetz unter streifendem Einfallswinkel ps 1 1 2 p a displaystyle psi 1 textstyle frac 1 2 pi alpha nbsp und streifenden Ausfallswinkel ps 2 1 2 p b displaystyle psi 2 textstyle frac 1 2 pi beta nbsp fur genugende hohe a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp um die 90 bei n 1 1 displaystyle n 1 1 nbsp n 1 sin a n 2 sin b sin 1 2 p ps 1 1 d sin 1 2 p ps 2 cos ps 1 1 d cos ps 2 1 1 2 ps 1 2 1 d 1 2 ps 2 2 ps 2 ps 1 2 2 d displaystyle begin aligned n 1 sin alpha n 2 sin beta quad amp Rightarrow quad sin textstyle frac 1 2 pi psi 1 1 delta sin textstyle frac 1 2 pi psi 2 quad Rightarrow quad cos psi 1 1 delta cos psi 2 amp Rightarrow quad 1 textstyle frac 1 2 psi 1 2 approx 1 delta textstyle frac 1 2 psi 2 2 quad Rightarrow quad psi 2 sqrt psi 1 2 2 delta end aligned nbsp Damit entwickelt man die Fresnelschen Formeln unter streifenden Einfall fur Winkel a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp um die 90 Senkrechte Polarisation TE E 0 t E 0 e s t s 2 sin b cos a sin a b 2 sin 1 2 p ps 2 cos 1 2 p ps 1 sin 1 2 p ps 1 1 2 p ps 2 2 cos ps 2 sin ps 1 sin ps 1 ps 2 2 ps 1 ps 1 ps 2 2 ps 1 ps 1 ps 1 2 2 d displaystyle left frac E 0t E 0e right s t s frac 2 sin beta cos alpha sin alpha beta frac 2 sin textstyle frac 1 2 pi psi 2 cos textstyle frac 1 2 pi psi 1 sin textstyle frac 1 2 pi psi 1 textstyle frac 1 2 pi psi 2 frac 2 cos psi 2 sin psi 1 sin psi 1 psi 2 approx frac 2 psi 1 psi 1 psi 2 frac 2 psi 1 psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta nbsp E 0 r E 0 e s r s sin a b sin a b sin 1 2 p ps 1 1 2 p ps 2 sin 1 2 p ps 1 1 2 p ps 2 sin ps 1 ps 2 sin ps 1 ps 2 ps 1 ps 2 ps 1 ps 2 ps 1 ps 1 2 2 d ps 1 ps 1 2 2 d displaystyle left frac E 0r E 0e right s r s frac sin alpha beta sin alpha beta frac sin textstyle frac 1 2 pi psi 1 textstyle frac 1 2 pi psi 2 sin textstyle frac 1 2 pi psi 1 textstyle frac 1 2 pi psi 2 frac sin psi 1 psi 2 sin psi 1 psi 2 approx frac psi 1 psi 2 psi 1 psi 2 frac psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta nbsp Bemerkung sin p ps 1 ps 2 sin ps 1 ps 2 displaystyle sin pi psi 1 psi 2 sin psi 1 psi 2 nbsp Parallele Polarisation TM E 0 t E 0 e p t p 2 sin b cos a sin a b cos a b 2 sin 1 2 p ps 2 cos 1 2 p ps 1 sin p ps 1 ps 2 cos ps 1 ps 2 2 cos ps 2 sin ps 1 sin ps 1 ps 2 2 ps 1 ps 1 ps 2 2 ps 1 ps 1 ps 1 2 2 d t s displaystyle left frac E 0t E 0e right p t p frac 2 sin beta cos alpha sin alpha beta cos alpha beta frac 2 sin textstyle frac 1 2 pi psi 2 cos textstyle frac 1 2 pi psi 1 sin pi psi 1 psi 2 cos psi 1 psi 2 approx frac 2 cos psi 2 sin psi 1 sin psi 1 psi 2 approx frac 2 psi 1 psi 1 psi 2 frac 2 psi 1 psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta t s nbsp E 0 r E 0 e p r p tan a b tan a b tan ps 1 ps 2 tan p ps 1 ps 2 tan ps 1 ps 2 tan ps 1 ps 2 ps 1 ps 2 ps 1 ps 2 ps 1 ps 1 2 2 d ps 1 ps 1 2 2 d r s displaystyle left frac E 0r E 0e right p r p frac tan alpha beta tan alpha beta frac tan psi 1 psi 2 tan pi psi 1 psi 2 frac tan psi 1 psi 2 tan psi 1 psi 2 approx frac psi 1 psi 2 psi 1 psi 2 frac psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta r s nbsp Bemerkung cos 1 2 p ps 1 1 2 p ps 2 cos ps 2 ps 1 1 displaystyle cos textstyle frac 1 2 pi psi 1 textstyle frac 1 2 pi psi 2 cos psi 2 psi 1 approx 1 nbsp Die Fresnelschen Formeln stimmen sowohl fur senkrechte als auch parallele Polarisation uberein Man braucht die Polarisationsrichtung fur Rontgenstrahlung unter streifendem Einfall nicht berucksichtigen Fur genugend hohe Einfallswinkel ps 1 gt ps g 2 d displaystyle psi 1 gt psi g sqrt 2 delta nbsp gilt r s r p ps 1 ps 1 2 2 d ps 1 ps 1 2 2 d 1 1 2 d ps 1 2 1 1 2 d ps 1 2 1 1 d ps 1 2 1 1 d ps 1 2 d 2 ps 1 2 ps g 2 4 ps 1 2 displaystyle r s r p frac psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta frac 1 sqrt 1 2 delta psi 1 2 1 sqrt 1 2 delta psi 1 2 approx frac 1 1 delta psi 1 2 1 1 delta psi 1 2 approx frac delta 2 psi 1 2 frac psi g 2 4 psi 1 2 nbsp Beim kritischen Winkel ps 1 ps g 2 d displaystyle psi 1 psi g sqrt 2 delta nbsp ist mit t p t s 2 displaystyle t p t s 2 nbsp die Amplitude der elektrischen Feldstarke im Medium doppelt so hoch wie die einfallende Amplitude Die Intensitat vervierfacht sich Dies lasst sich durch die Entstehung einer stehenden Welle an der Grenzflache verstehen Gemass der Wikipedia Seite zum Snelliusschen Brechungsgesetz uberlagern sich an der Grenzflache die einfallende Welle E e t displaystyle vec E e t nbsp und die reflektierte Welle E r t displaystyle vec E r t nbsp E e t E e e i n 1 w c x cos d 1 y sin d 1 w t E e e i w c x ps 1 y w t E r t E r e i n 1 w c x cos d 1 y sin d 1 w t E r e i w c x ps 1 y w t displaystyle begin aligned vec E e t amp vec E e text e text i n 1 frac omega c x cos delta 1 y sin delta 1 omega t approx vec E e text e text i frac omega c x psi 1 y omega t vec E r t amp vec E r text e text i n 1 frac omega c x cos delta 1 y sin delta 1 omega t approx vec E r text e text i frac omega c x psi 1 y omega t end aligned nbsp zu E e t E r t E e e i w c x ps 1 y w t E r e i w c x ps 1 y w t displaystyle vec E e t vec E r t vec E e text e text i frac omega c x psi 1 y omega t vec E r text e text i frac omega c x psi 1 y omega t nbsp Ohne Einschrankung gilt fur senkrechte Polarisation E e E 0 e e z displaystyle vec E e E 0e vec e z nbsp und E r E 0 r e z displaystyle vec E r E 0r vec e z nbsp E e t E r t E 0 e e z e i w c y w t e i w c x ps 1 E 0 r E 0 e s e i w c x ps 1 E 0 e e z e i w c y w t e i w c x ps 1 ps 1 ps 1 2 2 d ps 1 ps 1 2 2 d e i w c x ps 1 displaystyle vec E e t vec E r t E 0e vec e z text e text i frac omega c y omega t left text e text i frac omega c x psi 1 left frac E 0r E 0e right s text e text i frac omega c x psi 1 right E 0e vec e z text e text i frac omega c y omega t left text e text i frac omega c x psi 1 frac psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta text e text i frac omega c x psi 1 right nbsp Fur Einfallswinkel ps 1 displaystyle psi 1 nbsp beim kritischen Winkel der Totalreflexion ps 1 ps g 2 d displaystyle psi 1 psi g sqrt 2 delta nbsp uberlagern sich das einfallende und reflektierte Feld konstruktiv zu E e t E r t E 0 e e z e i w c y w t e i w c x ps 1 e i w c x ps 1 E 0 e e z e i w c y w t 2 cos w c x ps g displaystyle vec E e t vec E r t E 0e vec e z text e text i frac omega c y omega t left text e text i frac omega c x psi 1 text e text i frac omega c x psi 1 right E 0e vec e z text e text i frac omega c y omega t cdot 2 cos left frac omega c x psi g right nbsp und es bildet sich bei x 0 displaystyle x 0 nbsp ein Wellenbauch mit doppelter Amplitude und vierfacher Intensitat cos 2 f cos 2 f displaystyle sim cos 2 varphi sim cos 2 varphi nbsp Der nachste Wellenbauch vor der Grenzflache entsteht falls 2 f 2 w c x ps g p displaystyle 2 varphi 2 frac omega c x psi g pi nbsp und damit bei x p c 2 w ps g l 4 ps g displaystyle x frac pi c 2 omega psi g frac lambda 4 psi g nbsp mit der Kreisfrequenz w 2 p c l displaystyle omega 2 pi frac c lambda nbsp Im Grenzfall kleiner Einfallswinkel 0 ps 1 ps g displaystyle 0 neq psi 1 ll psi g nbsp geht ps 1 ps 1 2 2 d ps 1 ps 1 2 2 d 1 displaystyle frac psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta psi 1 sqrt psi 1 2 2 delta rightarrow 1 nbsp und das einfallende und reflektierte Feld loschen sich aus E e t E r t E 0 e e z e i w c y w t e i w c x ps 1 e i w c x ps 1 E 0 e e z e i w c y w t 2 i sin w c x ps 1 E 0 e e z e i w c y w t 2 i w c x ps 1 displaystyle vec E e t vec E r t E 0e vec e z text e text i frac omega c y omega t left text e text i frac omega c x psi 1 text e text i frac omega c x psi 1 right E 0e vec e z text e text i frac omega c y omega t cdot 2 text i sin left frac omega c x psi 1 right approx E 0e vec e z text e text i frac omega c y omega t cdot 2 text i left frac omega c x psi 1 right nbsp Es bildet sich bei x 0 displaystyle x 0 nbsp ein Wellenknoten Das stehende Wellenfeld andert also seine Phasenlage um p displaystyle pi nbsp zwischen ps 1 0 displaystyle psi 1 0 nbsp und ps 1 ps g displaystyle psi 1 psi g nbsp Totalreflexion fur senkrechte Polarisation TE und parallele Polarisation TM Fur Winkel ps 1 displaystyle psi 1 nbsp geringer als der Grenzwinkel ps g 2 d displaystyle psi g sqrt 2 delta nbsp tritt fur Rontgenstrahlung gemass der Wikipedia Seite Totalreflexion auf Die Quadratwurzel ps 1 2 2 d i 2 d ps 1 2 displaystyle sqrt psi 1 2 2 delta text i sqrt 2 delta psi 1 2 nbsp wird komplex E 0 t E 0 e t 2 ps 1 ps 1 i 2 d ps 1 2 T t 2 2 ps 1 ps 1 i 2 d ps 1 2 2 ps 1 ps 1 i 2 d ps 1 2 4 ps 1 2 ps 1 2 2 d ps 1 2 4 ps 1 2 ps g 2 t ps 1 displaystyle left frac E 0t E 0e right t frac 2 psi 1 psi 1 text i sqrt 2 delta psi 1 2 quad Rightarrow quad T t 2 frac 2 psi 1 psi 1 text i sqrt 2 delta psi 1 2 frac 2 psi 1 psi 1 text i sqrt 2 delta psi 1 2 frac 4 psi 1 2 psi 1 2 2 delta psi 1 2 4 cdot frac psi 1 2 psi g 2 quad Rightarrow quad t sim psi 1 nbsp E 0 r E 0 e r ps 1 i 2 d ps 1 2 ps 1 i 2 d ps 1 2 R r 2 1 displaystyle left frac E 0r E 0e right r frac psi 1 text i sqrt 2 delta psi 1 2 psi 1 text i sqrt 2 delta psi 1 2 quad Rightarrow quad R r 2 1 nbsp Der Betrag der transmittierten Amplitude t displaystyle t nbsp nimmt linear mit dem Einfallswinkel ps 1 displaystyle psi 1 nbsp zu Unterhalb des Grenzwinkels ps g displaystyle psi g nbsp ist das Reflexionsvermogen R 1 displaystyle R 1 nbsp Der totalreflektierende Spiegel ohne Absorption ist also ein idealer Spiegel Aber auch oberhalb reflektiert der Spiegel mit r s d 2 ps 1 2 displaystyle r s frac delta 2 psi 1 2 nbsp noch und zwar umso mehr je grosser d displaystyle delta nbsp ist Die Absorption der Strahlung im Spiegelmaterial reduziert das Reflexionsvermogen Auf der Totalreflexion der Rontgenstrahlung an Materie beruhen eine Reihe von Anwendungen Rontgenstrahlen lassen sich mithilfe gekrummter Spiegel fokussieren Das ist eine umso interessantere Moglichkeit als es keine Linsen fur Rontgenstrahlung gibt Das Wolter Teleskop ist solch ein Rontgenteleskop Die Totalreflexion kann dazu benutzt werden um den Brechungsindex von Materie im Rontgenbereich zu bestimmen Rontgenbeugung und Rontgenabsorption werden bei Totalreflexion inharent oberflachenempfindlich Zusammenhang mit Reflexions und Transmissionsgrad Bearbeiten nbsp Einfluss des komplexen Brechungsindex eines Materials n 1 i k 1 displaystyle n 1 mathrm i k 1 nbsp auf das Reflexionsverhalten eines Lichtstrahls beim Auftreffen auf die Grenzflache Luft MaterialMan betrachte ein Strahlenbundel das auf die Grenzflache eines isotropen nicht magnetischen Materials der Flache A displaystyle A nbsp einfallt Die Strahlquerschnitte des einfallenden reflektierten bzw transmittierten Strahls sind A cos a displaystyle A cos alpha nbsp A cos a displaystyle A cos alpha nbsp bzw A cos b displaystyle A cos beta nbsp Die Energie die wahrend einer Zeitspanne durch eine Flache fliesst deren Normale parallel zur Energieflussrichtung S displaystyle vec S nbsp bei isotropen Medien gleich Ausbreitungsrichtung k displaystyle vec k nbsp steht ist gegeben durch den komplexen Poynting Vektor S displaystyle vec underline S nbsp 3 S E H displaystyle vec underline S vec underline E times vec underline H nbsp Die mittlere Energieflussdichte erhalt man durch zeitliche Mittelwertbildung 3 und einige Umformungen I S 1 2 ℜ E H 1 2 ℜ e m E E 1 2 ℜ e m E 0 2 e 0 c 2 ℜ N E 0 2 displaystyle I left langle S right rangle frac 1 2 Re left lbrace vec underline E times vec underline H right rbrace frac 1 2 Re left lbrace sqrt frac underline varepsilon underline mu vec underline E times vec underline E right rbrace frac 1 2 Re left lbrace sqrt frac underline varepsilon underline mu right rbrace left E 0 right 2 frac varepsilon 0 c 2 Re left lbrace N right rbrace left E 0 right 2 nbsp Die mittlere Energie die pro Zeitspanne vom Strahlenbundel transportiert wird mittlere Leistung die auf Flache A displaystyle A nbsp trifft entspricht der mittleren Energieflussdichte mal der Querschnittsflache also I e A cos a displaystyle I e A cos alpha nbsp I r A cos a displaystyle I r A cos alpha nbsp bzw I t A cos b displaystyle I t A cos beta nbsp Allgemein unpolarisiertes Licht wird der Reflexionsgrad R displaystyle R nbsp oft auch mit r bezeichnet folgendermassen definiert R reflektierte Leistung eingestrahlte Leistung P r P e A S r n A S e n I r A cos a I e A cos a ℜ N 1 cos a ℜ N 1 cos a E 0 r E 0 e 2 E 0 r E 0 e 2 displaystyle R frac text reflektierte Leistung text eingestrahlte Leistung frac P r P e left frac A left langle vec S r right rangle cdot vec n A left langle vec S e right rangle cdot vec n right left frac I r A cos alpha I e A cos alpha right left frac Re left lbrace underline N 1 right rbrace cos alpha Re left lbrace underline N 1 right rbrace cos alpha right cdot left frac E 0r E 0e right 2 left frac E 0r E 0e right 2 nbsp und als Transmissionsgrad T displaystyle T nbsp oft auch mit t bezeichnet T transmittierte Leistung eingestrahlte Leistung P t P e A S t n A S e n I t A cos b I e A cos a ℜ N 2 cos b ℜ N 1 cos a E 0 t E 0 e 2 displaystyle T frac text transmittierte Leistung text eingestrahlte Leistung frac P t P e left frac A left langle vec S t right rangle cdot vec n A left langle vec S e right rangle cdot vec n right left frac I t A cos beta I e A cos alpha right left frac Re left lbrace underline N 2 right rbrace cos beta Re left lbrace underline N 1 right rbrace cos alpha right cdot left frac E 0t E 0e right 2 nbsp Die beiden Werte lassen sich nun mit Hilfe der fresnelschen Formeln berechnen sie sind das Produkt des entsprechenden Reflexions bzw Transmissionsfaktors mit dessen konjugiert komplexem Wert R i E 0 r E 0 e i 2 r i r i displaystyle R i left left frac E 0r E 0e right i right 2 r i cdot bar r i nbsp T i ℜ N 2 cos b N 1 cos a E 0 t E 0 e i 2 ℜ N 2 cos b N 1 cos a t i t i displaystyle T i left Re biggl frac left lbrace N 2 right rbrace cos beta left lbrace N 1 right rbrace cos alpha Biggr right cdot left left frac E 0t E 0e right i right 2 left Re biggl frac left lbrace N 2 right rbrace cos beta left lbrace N 1 right rbrace cos alpha Biggr right t i cdot bar t i nbsp Fur ideale Dielektrika die keine Absorption und daher nur reellwertige Brechungsindizes aufweisen vereinfachen sich die Gleichungen zu R i E 0 r E 0 e i 2 r i 2 displaystyle R i left left frac E 0r E 0e right i right 2 r i 2 nbsp T i n 2 n 1 cos b cos a E 0 t E 0 e i 2 n 2 n 1 cos b cos a t i 2 tan a tan b t i 2 displaystyle T i frac n 2 n 1 frac cos beta cos alpha left left frac E 0t E 0e right i right 2 frac n 2 n 1 frac cos beta cos alpha t i 2 frac tan alpha tan beta t i 2 nbsp mit i displaystyle i nbsp fur die s bzw p polarisierte Komponente Daruber hinaus sind der Reflexions und Transmissionsgrad uber folgende allgemeine Energiestrombilanz an einer Grenzflache keine Absorption d h Absorptionsgrad ist null miteinander verknupft T i R i 1 displaystyle T i R i 1 nbsp Literatur BearbeitenWolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 3 Elektrodynamik 7 Auflage Springer Berlin 2002 ISBN 3 540 20509 8 Wolfgang Demtroder Experimentalphysik 2 Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 20210 2 John David Jackson Klassische Elektrodynamik de Gruyter Berlin 2006 ISBN 3 11 018970 4 Karl J Ebeling Integrierte Optoelektronik Wellenleiteroptik Photonik Halbleiter 2 Auflage Springer Berlin 1998 ISBN 3 540 54655 3 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Fresnelsche Formeln Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten a b vgl M Bass Hrsg Handbook of Optics Volume I Geometrical and Physical Optics Polarized Light Components and Instruments 3 Auflage McGraw Hill Professional Publishing 2009 ISBN 978 0 07 162925 6 S 12 6 12 9 Eugene Hecht Schaum s outline of theory and problems of optics McGraw Hill Professional 1975 ISBN 0 07 027730 3 S 40 50 a b Jay N Damask Polarization optics in telecommunications Springer New York 2005 ISBN 0 387 22493 9 S 10 17 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fresnelsche Formeln amp oldid 234204556
