Grenzbedingungen sind Stetigkeitsbedingungen welche in der klassischen Elektrodynamik zwischen zwei unterschiedlichen Medien gelten Sie stellen die Randwerte bei den Maxwellgleichungen im Ubergangsbereich zwischen unterschiedlichen Materialien dar Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Grenzbedingungen 2 Grenzbedingungen fur ungeladene Isolatoren 3 Grenzbedingungen von isotropen zeitinvarianten Materialien 4 Siehe auch 5 Fussnoten und EinzelnachweiseAllgemeine Grenzbedingungen BearbeitenDie Felder in den beiden Medien werden mit den Indizes 1 und 2 gekennzeichnet n E 2 E 1 0 displaystyle hat n times left vec E 2 vec E 1 right 0 nbsp n D 2 D 1 s frei displaystyle hat n cdot left vec D 2 vec D 1 right sigma text frei nbsp n B 2 B 1 0 displaystyle hat n cdot left vec B 2 vec B 1 right 0 nbsp n H 2 H 1 j frei displaystyle hat n times left vec H 2 vec H 1 right vec j text frei nbsp dabei ist n displaystyle hat n nbsp der Normalenvektor auf der Grenzflache s frei displaystyle sigma text frei nbsp die Flachenladungsdichte freier Ladungen an der Grenzflache und j frei displaystyle vec j text frei nbsp die freie Stromdichte die den Strom pro Flacheneinheit an der Grenzflache angibt Diese Grenzbedingungen sagen aus Die Tangentialkomponente des E Feldes und die Normalkomponente des B Feldes sind stetig Die Tangentialkomponente des H Feldes springt um j f r e i displaystyle vec j mathrm frei nbsp und die Normalkomponente des D Feldes springen um s f r e i displaystyle sigma mathrm frei nbsp 1 Grenzbedingungen fur ungeladene Isolatoren BearbeitenFur ungeladene Isolatoren vereinfachen sich obige Beziehungen da es dort keine freien Ladungen s frei 0 displaystyle sigma text frei 0 nbsp und somit auch keine freien Strome gibt j f r e i 0 displaystyle vec j frei 0 nbsp n E 2 E 1 0 displaystyle hat n times left vec E 2 vec E 1 right 0 nbsp n D 2 D 1 0 displaystyle hat n cdot left vec D 2 vec D 1 right 0 nbsp n B 2 B 1 0 displaystyle hat n cdot left vec B 2 vec B 1 right 0 nbsp n H 2 H 1 0 displaystyle hat n times left vec H 2 vec H 1 right 0 nbsp Die Stetigkeitsbedingungen in Worten Die Tangentialkomponente des E Feldes und die Normalkomponente des B Feldes sind stetig Zusatzlich sind hier die Tangentialkomponente des H Feldes und die Normalkomponente des D Feldes stetig 1 Grenzbedingungen von isotropen zeitinvarianten Materialien BearbeitenIn isotropen und zeitinvarianten Materialien gelten die Zusammenhange D e 0 e r E B m o m r H displaystyle begin aligned vec D amp varepsilon 0 varepsilon mathrm r vec E vec B amp mu o mu mathrm r vec H end aligned nbsp Daraus konnen die restlichen Komponenten der Felder bestimmt werden E 1 E 2 e 1 E 1 e 2 E 2 s e 0 1 e 1 D 1 1 e 2 D 2 D 1 D 2 s frei H 1 H 2 t j f r e i n m 1 H 1 m 2 H 2 1 m 1 B 1 1 m 2 B 2 m 0 t j f r e i n B 1 B 2 displaystyle begin array ccclccccl E 1 parallel amp amp E 2 parallel amp amp qquad qquad amp varepsilon 1 E 1 perp amp amp varepsilon 2 E 2 perp amp frac sigma varepsilon 0 frac 1 varepsilon 1 D 1 parallel amp amp frac 1 varepsilon 2 D 2 parallel amp amp amp D 1 perp amp amp D 2 perp amp sigma text frei H 1 parallel amp amp H 2 parallel amp hat t cdot vec j mathrm frei times hat n amp amp mu 1 H 1 perp amp amp mu 2 H 2 perp frac 1 mu 1 B 1 parallel amp amp frac 1 mu 2 B 2 parallel amp mu 0 hat t cdot vec j mathrm frei times hat n amp amp B 1 perp amp amp B 2 perp end array nbsp oder in nicht leitenden ungeladen Materialien E 1 E 2 e 1 E 1 e 2 E 2 1 e 1 D 1 1 e 2 D 2 D 1 D 2 H 1 H 2 m 1 H 1 m 2 H 2 1 m 1 B 1 1 m 2 B 2 B 1 B 2 displaystyle begin array cccccc E 1 parallel amp amp E 2 parallel amp qquad qquad qquad qquad qquad qquad amp varepsilon 1 E 1 perp amp amp varepsilon 2 E 2 perp frac 1 varepsilon 1 D 1 parallel amp amp frac 1 varepsilon 2 D 2 parallel amp amp D 1 perp amp amp D 2 perp H 1 parallel amp amp H 2 parallel amp amp mu 1 H 1 perp amp amp mu 2 H 2 perp frac 1 mu 1 B 1 parallel amp amp frac 1 mu 2 B 2 parallel amp amp B 1 perp amp amp B 2 perp end array nbsp Dabei ist e r displaystyle varepsilon mathrm r nbsp die relative Permittivitat m r displaystyle mu mathrm r nbsp die relative Permeabilitat E displaystyle E parallel nbsp die Komponente des E Feldes parallel zur Oberflache und E displaystyle E perp nbsp die Komponente senkrecht zur Oberflache t displaystyle hat t nbsp ist der normierte Vektor in Richtung der Parallelkomponente Fur B displaystyle vec B parallel nbsp parallel zu j f r e i displaystyle vec j mathrm frei nbsp gilt damit t j f r e i n j f r e i displaystyle hat t cdot vec j mathrm frei times hat n vec j mathrm frei nbsp Siehe auch BearbeitenMaterialgleichungen der Elektrodynamik Fresnelsche FormelnFussnoten und Einzelnachweise Bearbeiten a b Mit Tangentialkomponente ist diejenige Komponente gemeint die tangential zur Grenzflache liegt analog bezeichnet die Normalkomponente die Komponente in Richtung des Normalenvektors der Grenzflache Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grenzbedingungen Elektrodynamik amp oldid 232429150
