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Fixpunktsatz von Kakutani Der ist ein mathematischer Lehrsatz der dem Gebiet der Funktionalanalysis angehört und auf ein

Fixpunktsatz von Kakutani

Der Fixpunktsatz von Kakutani ist ein mathematischer Lehrsatz, der dem Gebiet der Funktionalanalysis angehört und auf eine Arbeit des japanischen Mathematikers Shizuo Kakutani aus dem Jahr 1938 zurückgeht. Der Satz beruht auf Eigenschaften konvexer Mengen in hausdorffschen lokalkonvexen Vektorräumen und gibt eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen gemeinsamer Fixpunkte für gewisse Gruppen von Homöomorphismen solcher Mengen. Er gab Anlass zu zahlreichen Folgeuntersuchungen und ist eng verknüpft mit anderen bedeutenden Sätzen der Funktionalanalysis wie etwa mit dem Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski. Der Fixpunktsatz von Kakutani impliziert dabei nicht zuletzt die Existenz Haarscher Maße auf kompakten Gruppen. Zu seinem Beweis wird der hausdorffsche Maximalkettensatz oder das Lemma von Zorn (und damit das Auswahlaxiom) benötigt.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Fixpunktsatz von Kakutani lässt sich darstellen wie folgt:

Verwandtes Resultat: Der Satz von Markow Bearbeiten

Der russische Mathematiker Markow hat schon im Jahre 1936 und vor Publikation des kakutanischen Fixpunktsatzes einen Satz vorgelegt, der diesem in Fragestellung und Aussage sehr ähnelt, wobei der markowsche Satz im Wesentlichen darin abweicht, dass er die Voraussetzung der gleichmäßig-gleichgradigen Stetigkeit durch eine Vertauschbarkeitsbedingung ersetzt:

Zusatz Bearbeiten

Die Aussage des Satzes von Markow gilt insbesondere für den Fall, dass – bei sonst gleichen Voraussetzungen – als abelsche Gruppe von stetigen linearen Automorphismen mit vorausgesetzt wird. Diesen abgewandelten Satz nennt man auch den Fixpunktsatz von Kakutani-Markow (englisch Kakutani-Markov fixed point theorem)

Erläuterungen Bearbeiten

  • Die gleichmäßig-gleichgradige Stetigkeit (englisch Equicontinuity) der obigen Abbildungsgruppe ist auf die durch das -Umgebungssystem von gegebene uniforme Struktur zu beziehen. In diesem Zusammenhang nennt man – in voller Allgemeinheit – eine Familie von linearen Abbildungen zwischen zwei topologischen Vektorräumen und gleichmäßig gleichgradig stetig genau dann, wenn folgendes gilt:
  • Eine Abbildung der konvexen Menge heißt affin, wenn für je zwei Punkte und jede reelle Zahl stets die Gleichung erfüllt ist.

Quellen und Hintergrundliteratur Bearbeiten

  • Shizuo Kakutani: On the uniqueness of Haar's measure. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 14, 1938, S. 27–31 (MR1568492).
  • Shizuo Kakutani: Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 14, 1938, S. 242–245 (MR1568507).
  • Vasile I. Istrățescu: Fixed Point Theory. An Introduction. With a Preface by Michiel Hazewinkel (= Mathematics and its Application. Band 7). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Bosto, London 1981, ISBN 90-277-1224-7 (MR0620639).
  • A. A. Markov: Quelques théorèmes sur les ensembles abeliens. In: Doklady Akad. Nauk. SSSR. Band 10, 1936, S. 311–314.
  • Barbara Przebieracz: A proof of the Mazur-Orlicz theorem via the Markov-Kakutani common fixed point theorem, and vice versa. In: Fixed Point Theory and Applications. 2015, doi:10.1186/s13663-014-0257-2 (MR3304965).
  • Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815).
  • Dirk Werner: A proof of the Markov-Kakutani fixed point theorem via the Hahn-Banach theorem. In: xtracta Mathematicae. Band 8, 1993, S. 37–38 (MR1270326).
  • Robert J. Zimmer: Essential Results of Functional Analysis (= Chicago Lectures in Mathematics). The University of Chicago Press, Chicago, London 1990, ISBN 0-226-98337-4 (MR1045444).

Einzelnachweise und Hinweise Bearbeiten

  1. Walter Rudin: Functional Analysis. 1991, S. 120 ff, 377, 393
  2. Vasile I. Istrățescu: Fixed Point Theory. 1987, S. 276 ff
  3. Robert J. Zimmer: Essential Results of Functional Analysis. 1990, S. 38 ff
  4. Rudin, op. cit., S. 120
  5. Istrățescu, op. cit., S. 277
  6. Zimmer, op. cit., S. 39
  7. Rudin, op. cit., S. 43
  8. Istrățescu, op. cit., S. 276
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Veröffentlichungsdatum:
Der Fixpunktsatz von Kakutani ist ein mathematischer Lehrsatz der dem Gebiet der Funktionalanalysis angehort und auf eine Arbeit des japanischen Mathematikers Shizuo Kakutani aus dem Jahr 1938 zuruckgeht Der Satz beruht auf Eigenschaften konvexer Mengen in hausdorffschen lokalkonvexen Vektorraumen und gibt eine hinreichende Bedingung fur das Vorliegen gemeinsamer Fixpunkte fur gewisse Gruppen von Homoomorphismen solcher Mengen Er gab Anlass zu zahlreichen Folgeuntersuchungen und ist eng verknupft mit anderen bedeutenden Satzen der Funktionalanalysis wie etwa mit dem Fixpunktsatz von Ryll Nardzewski Der Fixpunktsatz von Kakutani impliziert dabei nicht zuletzt die Existenz Haarscher Masse auf kompakten Gruppen Zu seinem Beweis wird der hausdorffsche Maximalkettensatz oder das Lemma von Zorn und damit das Auswahlaxiom benotigt 1 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Verwandtes Resultat Der Satz von Markow 2 1 Zusatz 3 Erlauterungen 4 Quellen und Hintergrundliteratur 5 Einzelnachweise und HinweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Fixpunktsatz von Kakutani lasst sich darstellen wie folgt 4 Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum X displaystyle X nbsp und darin eine nichtleere kompakte und konvexe Teilmenge C X displaystyle C subset X nbsp zusammen mit einer Gruppe G displaystyle mathcal G nbsp von linearen Automorphismen g X X displaystyle g colon X to X nbsp die C displaystyle C nbsp invariant lassen in der also alle Automorphismen g G displaystyle g in mathcal G nbsp die Teilmengenrelation g C C displaystyle g C subseteq C nbsp erfullen Die Gruppe G displaystyle mathcal G nbsp sei dabei gleichmassig gleichgradig stetig Dann gilt G displaystyle mathcal G nbsp hat auf C displaystyle C nbsp einen gemeinsamen Fixpunkt d h es gibt ein c 0 C displaystyle c 0 in C nbsp mit g c 0 c 0 displaystyle g c 0 c 0 nbsp fur alle g G displaystyle g in mathcal G nbsp Verwandtes Resultat Der Satz von Markow BearbeitenDer russische Mathematiker Markow hat schon im Jahre 1936 und vor Publikation des kakutanischen Fixpunktsatzes einen Satz vorgelegt der diesem in Fragestellung und Aussage sehr ahnelt wobei der markowsche Satz im Wesentlichen darin abweicht dass er die Voraussetzung der gleichmassig gleichgradigen Stetigkeit durch eine Vertauschbarkeitsbedingung ersetzt 5 Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum X displaystyle X nbsp und darin eine nichtleere kompakte konvexe Teilmenge C X displaystyle C subset X nbsp Weiter gegeben sei eine Familie F f i i I displaystyle mathcal F f i i in I nbsp von stetigen affinen Abbildungen f i C C displaystyle f i colon C to C nbsp die hinsichtlich der Hintereinanderausfuhrung paarweise vertauschbar sein sollen Dann gilt F displaystyle mathcal F nbsp hat auf C displaystyle C nbsp einen gemeinsamen Fixpunkt d h es gibt ein c 0 C displaystyle c 0 in C nbsp mit f i c 0 c 0 displaystyle f i c 0 c 0 nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp Zusatz Bearbeiten Die Aussage des Satzes von Markow gilt insbesondere fur den Fall dass bei sonst gleichen Voraussetzungen F displaystyle mathcal F nbsp als abelsche Gruppe von stetigen linearen Automorphismen f X X displaystyle f colon X to X nbsp mit f C C displaystyle f C subseteq C nbsp vorausgesetzt wird Diesen abgewandelten Satz nennt man auch den Fixpunktsatz von Kakutani Markow englisch Kakutani Markov fixed point theorem 6 Erlauterungen BearbeitenDie gleichmassig gleichgradige Stetigkeit englisch Equicontinuity der obigen Abbildungsgruppe G displaystyle mathcal G nbsp ist auf die durch das 0 displaystyle 0 nbsp Umgebungssystem von X displaystyle X nbsp gegebene uniforme Struktur zu beziehen In diesem Zusammenhang nennt man in voller Allgemeinheit eine Familie F f i i I displaystyle mathcal F f i i in I nbsp von linearen Abbildungen f i X Y displaystyle f i colon X to Y nbsp zwischen zwei topologischen Vektorraumen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp gleichmassig gleichgradig stetig genau dann wenn folgendes gilt 7 Zu jeder 0 displaystyle 0 nbsp Umgebung U Y 0 Y displaystyle U Y 0 subseteq Y nbsp gibt es eine 0 displaystyle 0 nbsp Umgebung U X 0 X displaystyle U X 0 subseteq X nbsp welche der Bedingung i I f i U X 0 U Y 0 displaystyle bigcup i in I f i left U X 0 right subseteq U Y 0 nbsp genugt Eine Abbildung f C C displaystyle f colon C to C nbsp der konvexen Menge C X displaystyle C subseteq X nbsp heisst affin wenn fur je zwei Punkte x y C displaystyle x y in C nbsp und jede reelle Zahl l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp stets die Gleichung f l x 1 l y l f x 1 l f y displaystyle f left lambda x 1 lambda y right lambda f x 1 lambda f y nbsp erfullt ist 8 Quellen und Hintergrundliteratur BearbeitenShizuo Kakutani On the uniqueness of Haar s measure In Proceedings of the Imperial Academy Band 14 1938 S 27 31 MR1568492 Shizuo Kakutani Two fixed point theorems concerning bicompact convex sets In Proceedings of the Imperial Academy Band 14 1938 S 242 245 MR1568507 Vasile I Istrățescu 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Hinweise Bearbeiten Walter Rudin Functional Analysis 1991 S 120 ff 377 393 Vasile I Istrățescu Fixed Point Theory 1987 S 276 ff Robert J Zimmer Essential Results of Functional Analysis 1990 S 38 ff Rudin op cit S 120 Istrățescu op cit S 277 Zimmer op cit S 39 Rudin op cit S 43 Istrățescu op cit S 276 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fixpunktsatz von Kakutani amp oldid 231687751