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Fano Varietät In der algebraischen Geometrie einem Teilgebiet der Mathematik ist eine eine vollständige Varietät über ei

Fano-Varietät

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine Fano-Varietät eine vollständige Varietät über einem Körper , deren antikanonisches Bündel ampel ist. Eine Fano-Mannigfaltigkeit ist eine singularitäten-freie komplexe Fano-Varietät.

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • Für die Kohomologie der Garbe der regulären Funktionen gilt für (Verschwindungssatz von Kodaira).
  • Der Kegel effektiver Zykel ist ein Polyeder.
  • Für den Index und den Pseudoindex gilt mit .
  • Für komplex -dimensionale Fano-Mannigfaltigkeiten gilt mit Gleichheit nur für .
  • Fano-Varietäten über sind rational zusammenhängend und insbesondere von rationalen Kurven überdeckt, d. h. es gibt einen Morphismus von mit dichtem Bild.

Bedeutung im Minimale Modelle-Programm Bearbeiten

Ziel der klassischen algebraischen Geometrie ist die birationale Klassifikation projektiver Varietäten mittels minimaler Modelle. Es gibt zwei Typen minimaler Modelle, entweder ist ihr kanonisches Linienbündel nef oder sie lassen sich fasern, so dass die antikanonischen Bündel aller allgemeinen Fasern Ampel sind. Das minimale Modelle-Programm führt also zum Studium von Fano-Varietäten, denn diese sind die allgemeinen Fasern für den zweiten Typ minimaler Modelle.

Bedeutung in der Differentialgeometrie Bearbeiten

Yaus Lösung der Calabi-Vermutung impliziert, dass eine glatte komplexe Varietät genau dann eine Kähler-Metrik positiver Ricci-Krümmung trägt, wenn sie eine Fano-Varietät ist. Die Fano-Bedingung ist dann also äquivalent zu Positivität der ersten Chern-Klasse .

Durch Arbeiten von Chen-Donaldson-Sun wird auch die Frage nach der Existenz von Kähler-Einstein-Metriken auf Fano-Mannigfaltigkeiten beantwortet. Diese existieren genau dann, wenn die Fano-Mannigfaltigkeit K-stabil ist mit einer auf Gang Tian zurückgehenden Definition von K-Stabilität.

Bedeutung in der Arithmetik Bearbeiten

Fano-Varietäten können auch über endlichen Körpern definiert werden, wo sie ein wichtiges Thema der Zahlentheorie sind. Eine Vermutung von Serge Lang besagte, dass es auf ihnen immer rationale Punkte gibt. Diese Vermutung wurde 2004 von Hélène Esnault bewiesen. Durch eine Anwendung der Spurformel für den Frobenius-Automorphismus zeigte sie, dass die Anzahl der rationalen Punkte kongruent zu 1 modulo p ist. Eine allgemeinere Vermutung Manins gibt eine genaue Asymptotic für die rationalen Punkte beschränkter Höhe auf einer Fano-Varietät.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. J. Huizenga: Rationally connected varieties
  2. X. Chen, S. Donaldson, S. Sun: Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. J. Am. Math. Soc. 28, No. 1, 183–278 (2015)
  3. H. Esnault: Deligne’s integrality theorem in unequal characteristic and rational points over finite fields. Ann. Math. (2) 164, No. 2, 815-730 (2006)
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Veröffentlichungsdatum:
In der algebraischen Geometrie einem Teilgebiet der Mathematik ist eine Fano Varietat eine vollstandige Varietat uber einem Korper k displaystyle k deren antikanonisches Bundel K X d e t T X displaystyle K X det TX ampel ist Eine Fano Mannigfaltigkeit ist eine singularitaten freie komplexe Fano Varietat Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Bedeutung im Minimale Modelle Programm 4 Bedeutung in der Differentialgeometrie 5 Bedeutung in der Arithmetik 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseBeispiele Bearbeitender projektive Raum k P n displaystyle kP n nbsp Grassmann Varietaten n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionale Untervarietaten X k P n displaystyle X subset kP n nbsp mit d e g X lt n 1 displaystyle deg X lt n 1 nbsp vollstandige Durchschnitte in k P n displaystyle kP n nbsp fur die die Summe der Grade kleiner als n 1 displaystyle n 1 nbsp ist projektive Varietaten die homogen fur eine lineare algebraische Gruppe sind 2 displaystyle 2 nbsp dimensionale Fano Varietaten sind del Pezzo FlachenEigenschaften BearbeitenFur die Kohomologie der Garbe der regularen Funktionen gilt H i X O X 0 displaystyle H i X mathcal O X 0 nbsp fur i gt 0 displaystyle i gt 0 nbsp Verschwindungssatz von Kodaira Der Kegel effektiver Zykel ist ein Polyeder Fur den Index r X max m N K X m L fur einen Divisor L displaystyle r X max left m in mathbb N colon K X mL mbox fur einen Divisor L right nbsp und den Pseudoindex i X max m N K X C m fur eine rationale Kurve C X displaystyle i X max left m in mathbb N colon K X cdot C m mbox fur eine rationale Kurve C subset X right nbsp gilt i X a r X displaystyle i X ar X nbsp mit a N displaystyle a in mathbb N nbsp Fur komplex n displaystyle n nbsp dimensionale Fano Mannigfaltigkeiten gilt i X n 1 displaystyle i X leq n 1 nbsp mit Gleichheit nur fur X C P n displaystyle X mathbb C P n nbsp Fano Varietaten uber C displaystyle mathbb C nbsp sind rational zusammenhangend und insbesondere von rationalen Kurven uberdeckt d h es gibt einen Morphismus von X P 1 k displaystyle X times P 1 k nbsp mit dichtem Bild 1 Bedeutung im Minimale Modelle Programm BearbeitenZiel der klassischen algebraischen Geometrie ist die birationale Klassifikation projektiver Varietaten mittels minimaler Modelle Es gibt zwei Typen minimaler Modelle entweder ist ihr kanonisches Linienbundel nef oder sie lassen sich fasern so dass die antikanonischen Bundel aller allgemeinen Fasern Ampel sind Das minimale Modelle Programm fuhrt also zum Studium von Fano Varietaten denn diese sind die allgemeinen Fasern fur den zweiten Typ minimaler Modelle Bedeutung in der Differentialgeometrie BearbeitenYaus Losung der Calabi Vermutung impliziert dass eine glatte komplexe Varietat genau dann eine Kahler Metrik positiver Ricci Krummung tragt wenn sie eine Fano Varietat ist Die Fano Bedingung ist dann also aquivalent zu Positivitat der ersten Chern Klasse c 1 gt 0 displaystyle c 1 gt 0 nbsp Durch Arbeiten von Chen Donaldson Sun wird auch die Frage nach der Existenz von Kahler Einstein Metriken auf Fano Mannigfaltigkeiten beantwortet 2 Diese existieren genau dann wenn die Fano Mannigfaltigkeit K stabil ist mit einer auf Gang Tian zuruckgehenden Definition von K Stabilitat Bedeutung in der Arithmetik BearbeitenFano Varietaten konnen auch uber endlichen Korpern F p displaystyle F p nbsp definiert werden wo sie ein wichtiges Thema der Zahlentheorie sind Eine Vermutung von Serge Lang besagte dass es auf ihnen immer rationale Punkte gibt Diese Vermutung wurde 2004 von Helene Esnault bewiesen 3 Durch eine Anwendung der Spurformel fur den Frobenius Automorphismus zeigte sie dass die Anzahl der rationalen Punkte kongruent zu 1 modulo p ist Eine allgemeinere Vermutung Manins gibt eine genaue Asymptotic fur die rationalen Punkte beschrankter Hohe auf einer Fano Varietat Weblinks BearbeitenFano variety Encyclopedia of Mathematics Einzelnachweise Bearbeiten J Huizenga Rationally connected varieties X Chen S Donaldson S Sun Kahler Einstein metrics on Fano manifolds J Am Math Soc 28 No 1 183 278 2015 H Esnault Deligne s integrality theorem in unequal characteristic and rational points over finite fields Ann Math 2 164 No 2 815 730 2006 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fano Varietat amp oldid 237390350