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Verschwindungssatz von Kodaira Der ist ein Satz aus der komplexen Geometrie und algebraischen Geometrie Er beschäftigt s

Verschwindungssatz von Kodaira

Der Verschwindungssatz von Kodaira ist ein Satz aus der komplexen Geometrie und algebraischen Geometrie. Er beschäftigt sich mit den Fragen:

  1. wie einige der höheren Kohomologiegruppen einer glatten projektiven Mannigfaltigkeiten aussehen und
  2. unter welchen Umständen sich eine Kählermannigfaltigkeit in den komplexen projektiven Raum einbetten lässt (nach dem Einbettungssatz von Kodaira).

Der Verschwindungssatz von Kodaira ist eher ein überraschendes Resultat, denn es ist allgemein schon schwierig, die Kohomologie eines geometrischen Objekts herauszufinden. In dem Fall wird aber eine relativ große Klasse von Kohomologien bestimmt, die sogar verschwinden, so dass man mit dem Verschwinden einige Eigenschaften in einer langen exakten Sequenz ablesen kann.

Der komplexe analytische Fall Bearbeiten

Ursprünglich wurde der Satz durch Anwendung der Hodge-Theorie auf einer kompakten Kählermannigfaltigkeit M von komplexer Dimension n in folgender Form von Kunihiko Kodaira bewiesen:

wobei das kanonische Geradenbündel von M ist und ein positives holomorphes Geradenbündel über M. (auch als geschrieben) soll als Tensorprodukt zweier Geradenbündel verstanden werden. Mit Hilfe der Serre-Dualität kann leicht auf das Verschwinden anderer Garbenkohomologiegruppen geschlossen werden. Die Garbe ist isomorph zu , wobei die Garbe der holomophen (p,0)-formen auf M mit Werten in L ist.

Diese Formulierung wurde später von Akizuki und Nakano verallgemeinert als

so dass die Garbe durch ersetzt worden ist.

Der algebraische Fall Bearbeiten

Im Rahmen der algebraischen Geometrie, wobei man immer analytische Bedingungen in reine algebraische Bedingungen in komplexer Geometrie übersetzen möchte, wurde die Voraussetzung des „positiven Geradenbündels“ des Verschwindungssatzes durch „ample invertierbare Garbe“ (d. h. mit Hilfe der Garbe ist eine projektive Einbettung möglich) ersetzt. Also hat man diese Aussage:

Seien k ein Körper der Charakteristik 0, X ein nicht-singuläres projektives k-Schema von Dimension n und L eine ample invertierbare Garbe auf X, dann gilt

Hier ist die Garbe der relativen Differentialformen. Ein Gegenbeispiel für Körper von Charakteristik wurde 1978 von Michel Raynaud gegeben.

Bis 1987 konnte man die obigen Aussagen in Charakteristik 0 nur durch den ursprünglichen funktionentheoretischen Beweis zusammen mit der Anwendung des GAGA-Prinzips von Serre beweisen. 1987 erschien aber ein rein algebraischer Beweis von Pierre Deligne und Luc Illusie, bei dem sie die Hodge-de-Rham-Spektralsequenzen der algebraischen De-Rham-Kohomologie betrachteten und zeigten, dass diese in Grad 1 ausarten.

Folgerung und Anwendung Bearbeiten

Mittels des Verschwindungssatzes bewies Kodaira den sogenannten Einbettungssatz von Kodaira, der besagt, dass eine Kählermannigfaltigkeit in einen projektiven Raum eingebettet werden kann und dann nach dem Satz von Chow eine algebraische Varietät ist, falls darauf ein positives Geradenbündels existiert. Außerdem wird der Verschwindungssatz häufig bei der Klassifikation kompakter komplexer Mannigfaltigkeiten gebraucht, zum Beispiel um den Hodge-Diamanten zu bestimmen.

Anwendung in Beispiel Bearbeiten

Sei S eine Del-Pezzo-Fläche (also von komplexer Dimension 2), für die das anti-kanonische Geradenbündel nach Definition positiv ist. Mit der kurzen exakten Sequenz hat man

Nach dem Kodaira-Verschwindungssatz sind

Deshalb folgt , was eine Korrespondenz zwischen Divisoren und Chernklassen auf S beschreibt; bezeichnet hier die Picardgruppe von X. Zusätzlich kann man mit dem Verschwindungssatz und mit Hilfe von Poincaré-Dualität und Hodge-Zerlegung, den Hodge-Diamanten von S bestimmen und erhält dabei

1
0 0
0 h1,1 0
0 0
1

wobei hier die h1,1 von S abhängig sind.

Verallgemeinerung Bearbeiten

  • Verschwindungssatz von Kawamata-Viehweg
  • Verschwindungssatz von Nadel

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Verschwindungssatz von Kodaira ist ein Satz aus der komplexen Geometrie und algebraischen Geometrie Er beschaftigt sich mit den Fragen wie einige der hoheren Kohomologiegruppen einer glatten projektiven Mannigfaltigkeiten aussehen und unter welchen Umstanden sich eine Kahlermannigfaltigkeit in den komplexen projektiven Raum einbetten lasst nach dem Einbettungssatz von Kodaira Der Verschwindungssatz von Kodaira ist eher ein uberraschendes Resultat denn es ist allgemein schon schwierig die Kohomologie eines geometrischen Objekts herauszufinden In dem Fall wird aber eine relativ grosse Klasse von Kohomologien bestimmt die sogar verschwinden so dass man mit dem Verschwinden einige Eigenschaften in einer langen exakten Sequenz ablesen kann Inhaltsverzeichnis 1 Der komplexe analytische Fall 2 Der algebraische Fall 3 Folgerung und Anwendung 4 Anwendung in Beispiel 5 Verallgemeinerung 6 LiteraturDer komplexe analytische Fall BearbeitenUrsprunglich wurde der Satz durch Anwendung der Hodge Theorie auf einer kompakten Kahlermannigfaltigkeit M von komplexer Dimension n in folgender Form von Kunihiko Kodaira bewiesen H q M K M L 0 displaystyle H q M K M otimes L 0 nbsp fur q gt 0 displaystyle q gt 0 nbsp wobei K M displaystyle K M nbsp das kanonische Geradenbundel von M ist und L M displaystyle L rightarrow M nbsp ein positives holomorphes Geradenbundel uber M K M L displaystyle K M otimes L nbsp auch als K M L displaystyle K M L nbsp geschrieben soll als Tensorprodukt zweier Geradenbundel verstanden werden Mit Hilfe der Serre Dualitat kann leicht auf das Verschwinden anderer Garbenkohomologiegruppen geschlossen werden Die Garbe K M L displaystyle K M otimes L nbsp ist isomorph zu W n L displaystyle Omega n L nbsp wobei W p L displaystyle Omega p L nbsp die Garbe der holomophen p 0 formen auf M mit Werten in L ist Diese Formulierung wurde spater von Akizuki und Nakano verallgemeinert als H q M W p L 0 displaystyle H q M Omega p L 0 nbsp fur p q gt n displaystyle p q gt n nbsp so dass die Garbe W n L displaystyle Omega n L nbsp durch W p L displaystyle Omega p L nbsp ersetzt worden ist Der algebraische Fall BearbeitenIm Rahmen der algebraischen Geometrie wobei man immer analytische Bedingungen in reine algebraische Bedingungen in komplexer Geometrie ubersetzen mochte wurde die Voraussetzung des positiven Geradenbundels des Verschwindungssatzes durch ample invertierbare Garbe d h mit Hilfe der Garbe ist eine projektive Einbettung moglich ersetzt Also hat man diese Aussage Seien k ein Korper der Charakteristik 0 X ein nicht singulares projektives k Schema von Dimension n und L eine ample invertierbare Garbe auf X dann gilt H q X L W X k p 0 displaystyle H q X L otimes Omega X k p 0 nbsp fur p q gt n displaystyle p q gt n nbsp und H q X L 1 W X k p 0 displaystyle H q X L otimes 1 otimes Omega X k p 0 nbsp fur p q lt n displaystyle p q lt n nbsp Hier ist W p displaystyle Omega p nbsp die Garbe der relativen Differentialformen Ein Gegenbeispiel fur Korper von Charakteristik p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp wurde 1978 von Michel Raynaud gegeben Bis 1987 konnte man die obigen Aussagen in Charakteristik 0 nur durch den ursprunglichen funktionentheoretischen Beweis zusammen mit der Anwendung des GAGA Prinzips von Serre beweisen 1987 erschien aber ein rein algebraischer Beweis von Pierre Deligne und Luc Illusie bei dem sie die Hodge de Rham Spektralsequenzen der algebraischen De Rham Kohomologie betrachteten und zeigten dass diese in Grad 1 ausarten Folgerung und Anwendung BearbeitenMittels des Verschwindungssatzes bewies Kodaira den sogenannten Einbettungssatz von Kodaira der besagt dass eine Kahlermannigfaltigkeit in einen projektiven Raum eingebettet werden kann und dann nach dem Satz von Chow eine algebraische Varietat ist falls darauf ein positives Geradenbundels existiert Ausserdem wird der Verschwindungssatz haufig bei der Klassifikation kompakter komplexer Mannigfaltigkeiten gebraucht zum Beispiel um den Hodge Diamanten zu bestimmen Anwendung in Beispiel BearbeitenSei S eine Del Pezzo Flache also von komplexer Dimension 2 fur die das anti kanonische Geradenbundel K S displaystyle K S ast nbsp nach Definition positiv ist Mit der kurzen exakten Sequenz Z O O displaystyle mathbb Z rightarrow mathcal O rightarrow mathcal O ast nbsp hat man H 1 S O H 1 S O H 2 S Z H 2 S O displaystyle cdots rightarrow H 1 S mathcal O rightarrow H 1 S mathcal O ast rightarrow H 2 S mathbb Z rightarrow H 2 S mathcal O rightarrow dots nbsp dd Nach dem Kodaira Verschwindungssatz sind H 1 S O H 1 S K S K S 0 displaystyle H 1 S mathcal O cong H 1 S K S otimes K S ast 0 nbsp und dd H 2 S O H 2 S K S K S 0 displaystyle H 2 S mathcal O cong H 2 S K S otimes K S ast 0 nbsp dd Deshalb folgt Pic X H 1 S O H 2 S Z displaystyle operatorname Pic X H 1 S mathcal O ast cong H 2 S mathbb Z nbsp was eine Korrespondenz zwischen Divisoren und Chernklassen auf S beschreibt Pic X displaystyle operatorname Pic X nbsp bezeichnet hier die Picardgruppe von X Zusatzlich kann man mit dem Verschwindungssatz und mit Hilfe von Poincare Dualitat und Hodge Zerlegung den Hodge Diamanten von S bestimmen und erhalt dabei 10 00 h1 1 00 01wobei hier die h1 1 von S abhangig sind Verallgemeinerung BearbeitenVerschwindungssatz von Kawamata Viehweg Verschwindungssatz von NadelLiteratur BearbeitenPierre Deligne Duc Illusie Relevements modulo p2 et decomposition du complexe de de Rham In Inventiones Mathematicae Nr 89 1987 S 247 270 Helene Esnault Eckart Viehweg Lectures on vanishing theorems Birkhauser Verlag Basel 1992 Friedrich Hirzebruch Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie 2 Auflage Springer Verlag Berlin 1962 Phillip Griffiths Joe Harris Principles of Algebraic Geometry 1 Auflage als Wiley Classics Library Edition Wiley Interscience 1994 ISBN 0 471 05059 8 Michel Raynaud Contre exemple au vanishing theorem en caracteristique p gt 0 In C P Ramanujam a tribute Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics Nr 8 Springer Verlag Berlin 1978 S 273 278 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verschwindungssatz von Kodaira amp oldid 204880417