Strecktensoren oder Deformationstensoren sind einheitenfreie Tensoren bestimmte mathematische Objekte der linearen Algebra zweiter Stufe die lokale Distanzanderungen von Materieelementen bei einer Deformation eines Korpers bemessen Distanzanderungen von Materieelementen entsprechen der Streckung bzw Stauchung der materiellen Linien die die betrachteten Materieelemente verbinden Diese Anderungen der inneren Anordnung korrespondieren mit einer Anderung der ausseren Gestalt des Festkorpers und werden beispielsweise als Dehnung oder Stauchung sichtbar Die Strecktensoren sind eine wesentliche Grosse in der Beschreibung der Kinematik der Deformation und in der Kontinuumsmechanik werden eine Reihe von verschiedenen Strecktensoren definiert die ihrerseits der Definition von Verzerrungstensoren dienen In einigen Materialmodellen der Hyperelastizitat werden Strecktensoren direkt eingesetzt Inhaltsverzeichnis 1 Streckung von Linienelementen 2 Streckung von Normalvektoren 3 Hauptinvarianten des rechten Cauchy Green Tensors 4 Physikalische Interpretation 4 1 Langen von Linien 4 2 Flacheninhalte 4 3 Volumina 5 Linker und rechter Strecktensor und Drehungen 6 Hauptachsentransformationen 7 Ableitung der Streckungen 8 Beispiel 9 Siehe auch 10 Einzelnachweise 11 LiteraturStreckung von Linienelementen Bearbeiten nbsp Streckung und Scherung der Tangenten rot und blau an materielle Linien schwarz im Zuge einer DeformationBei der quantitativen Beurteilung einer Deformation eines Korpers werden materielle Linien des Korpers vor und nach Deformation miteinander verglichen In der Praxis konnen dazu Dehnungsmessstreifen DMS auf dem Korper aufgeklebt werden Die Richtung des DMS wird mathematisch mit einem materiellen Linienelement d X displaystyle mathrm d vec X nbsp in der undeformierten Ausgangskonfiguration und d x displaystyle mathrm d vec x nbsp in der deformierten Momentankonfiguration beschrieben siehe Abbildung rechts Diese Linienelemente stehen in linearer Naherung uber den Deformationsgradient F displaystyle mathbf F nbsp in Beziehung d x F d X displaystyle mathrm d vec x mathbf F cdot mathrm d vec X nbsp Die Streckung l displaystyle lambda nbsp eines Linienelementes in der Richtung e d X d X displaystyle vec e frac mathrm d vec X mathrm d vec X nbsp ist das Verhaltnis l d x d X d x d x d X d X F d X F d X d X d X e C e displaystyle lambda frac mathrm d vec x mathrm d vec X sqrt frac mathrm d vec x cdot mathrm d vec x mathrm d vec X cdot mathrm d vec X sqrt frac mathbf F cdot mathrm d vec X cdot mathbf F cdot mathrm d vec X mathrm d vec X cdot mathrm d vec X sqrt vec e cdot mathbf C cdot vec e nbsp Der Strecktensor C F F displaystyle mathbf C mathbf F top cdot mathbf F nbsp heisst rechter Cauchy Green Tensor und ist demnach ein Mass fur die Streckung von Linienelementen Das Superskript displaystyle top nbsp steht fur die Transposition In Richtung der Eigenvektoren von C displaystyle mathbf C nbsp sind die Streckungen extremal In der deformierten Lage berechnet sich die Streckung aus l d x d x F 1 d x F 1 d x d x d x c d x d x 1 2 displaystyle lambda sqrt frac mathrm d vec x cdot mathrm d vec x mathbf F 1 cdot mathrm d vec x cdot mathbf F 1 cdot mathrm d vec x left frac mathrm d vec x mathrm d vec x cdot mathbf c cdot frac mathrm d vec x mathrm d vec x right frac 1 2 nbsp Der Cauchysche Strecktensor c F 1 F 1 displaystyle mathbf c mathbf F top 1 cdot mathbf F 1 nbsp ist also ein raumliches Mass fur die Streckung von Linienelementen Streckung von Normalvektoren Bearbeiten nbsp Streckung und Scherung der Normalen rot und blau an materielle Flachen grau im Zuge einer DeformationMit Strecktensoren kann auch die Streckung von Normalvektoren ermittelt werden Eine Familie von Flachen kann durch eine skalare Funktion F x t C displaystyle Phi vec x t C nbsp und einen Flachenparameter C displaystyle C nbsp definiert werden Die Normalenvektoren an diese Flachen sind die Gradienten n grad F i 1 3 d F d x i e i displaystyle vec n operatorname grad Phi sum i 1 3 frac mathrm d Phi mathrm d x i vec e i nbsp Diese hangen mit der Normale in der Referenzkonfiguration wie folgt zusammen N GRAD F i 1 3 d F d X i e i j k 1 3 d F d x k d x k d X j e j i j k 1 3 d F d x k e k d x i d X j e i e j n F F n n F 1 N displaystyle begin aligned vec N amp operatorname GRAD Phi sum i 1 3 frac mathrm d Phi mathrm d X i vec e i sum j k 1 3 frac mathrm d Phi mathrm d x k frac mathrm d x k mathrm d X j vec e j amp sum i j k 1 3 frac mathrm d Phi mathrm d x k vec e k cdot frac mathrm d x i mathrm d X j vec e i otimes vec e j vec n cdot mathbf F mathbf F top cdot vec n rightarrow vec n amp mathbf F top 1 cdot vec N end aligned nbsp Das Rechenzeichen displaystyle otimes nbsp bezeichnet das dyadische Produkt Die Streckung der Normalvektoren in der deformierten und undeformierten Lage in einem materiellen Punkt X displaystyle vec X nbsp fuhrt auf den Finger Tensor l n N n n N N F 1 N F 1 N N N N N f N N f F 1 F 1 C 1 displaystyle begin array rcl lambda amp amp displaystyle frac vec n vec N sqrt frac vec n cdot vec n vec N cdot vec N sqrt frac mathbf F top 1 cdot vec N cdot mathbf F top 1 cdot vec N vec N cdot vec N sqrt frac vec N vec N cdot mathbf f cdot frac vec N vec N rightarrow mathbf f amp amp mathbf F 1 cdot mathbf F top 1 mathbf C 1 end array nbsp der also ein Mass fur die Streckung der materiellen Flachennormalen ist Der Finger Tensor operiert in der Ausgangskonfiguration Sein Gegenstuck in der Momentankonfiguration ist der linke Cauchy Green Tensor b F F c 1 displaystyle mathbf b mathbf F cdot mathbf F top mathbf c 1 nbsp fur den l n n F n F n n n b n n 1 2 displaystyle lambda sqrt frac vec n cdot vec n mathbf F top cdot vec n cdot mathbf F top cdot vec n left frac vec n vec n cdot mathbf b cdot frac vec n vec n right frac 1 2 nbsp abgeleitet werden kann Hauptinvarianten des rechten Cauchy Green Tensors BearbeitenBei einer Deformation werden die materiellen Linien Flachen und Volumenelemente mit dem Deformationsgradient von der Ausgangskonfiguration in die Momentankonfiguration transformiert d x F d X n d a cof F N d A d v det F d V displaystyle begin array rccl mathrm d vec x amp amp mathbf F amp cdot mathrm d vec X vec n mathrm d a amp amp operatorname cof mathbf F amp cdot vec N mathrm d A mathrm d v amp amp operatorname det mathbf F amp mathrm d V end array nbsp Der Kofaktor des Deformationsgradienten ist seine transponierte Adjunkte cof F det F F 1 displaystyle operatorname cof mathbf F operatorname det mathbf F mathbf F top 1 nbsp Es zeigt sich dass die Hauptinvarianten des rechten Cauchy Green Tensors Masse fur die Anderung der Linien Flachen und Volumenelemente sind I 1 C Sp C Sp F F F F F 2 I 2 C S p c o f C S p c o f F cof F cof F 2 I 3 C det C det F F det F 2 displaystyle begin array rclclcc operatorname I 1 mathbf C amp amp operatorname Sp mathbf C amp amp operatorname Sp mathbf F top cdot F mathbf F mathbf F amp amp mathbf F 2 operatorname I 2 mathbf C amp amp operatorname Sp cof mathbf C amp amp operatorname Sp cof mathbf F top cdot operatorname cof mathbf F amp amp operatorname cof mathbf F 2 operatorname I 3 mathbf C amp amp operatorname det mathbf C amp amp operatorname det mathbf F top cdot F amp amp operatorname det mathbf F 2 end array nbsp Die Frobeniusnorm displaystyle cdot nbsp wird mit dem Frobenius Skalarprodukt von Tensoren definiert A B Sp A B und A A A displaystyle mathbf A mathbf B operatorname Sp mathbf A top cdot B quad text und quad mathbf A sqrt mathbf A mathbf A nbsp Physikalische Interpretation BearbeitenDer Zusammenhang zwischen dem rechten Cauchy Green Tensor und der Anderung der Linien Flachen und Volumenelemente macht sich makroskopisch bemerkbar Sei x x X t displaystyle vec x vec chi vec X t nbsp die Bewegungsfunktion der Partikel eines materiellen Korpers Die materiellen Koordinaten X displaystyle vec X nbsp nehmen die Partikel zu einer bestimmten Zeit t 0 displaystyle t 0 nbsp ein zu der der Korper in seiner undeformierten Ausgangslage vorliegt Der zeitabhangige Vektor x displaystyle vec x nbsp bezeichnet die raumlichen Koordinaten die die Partikel bei ihrer Bewegung inklusive Deformation zur Zeit t einnehmen Langen von Linien Bearbeiten Wenn im undeformierten Ausgangszustand eine materielle Linie X s displaystyle vec X s nbsp mit dem Kurvenparameter s 0 1 displaystyle s in 0 1 nbsp markiert wird ergibt sich die Lange der Linie zu L 0 1 d X d s d s 0 1 d X d s d X d s d s 0 1 d X d s I d X d s d s displaystyle L int 0 1 left frac mathrm d vec X mathrm d s right mathrm d s int 0 1 sqrt frac mathrm d vec X mathrm d s cdot frac mathrm d vec X mathrm d s mathrm d s int 0 1 sqrt frac mathrm d vec X mathrm d s cdot mathbf I cdot frac mathrm d vec X mathrm d s mathrm d s nbsp Darin ist I displaystyle mathbf I nbsp der Einheitstensor In der deformierten Lage verandert sich diese Lange zu l 0 1 d x X s t d s d s 0 1 d x d s d x d s d s 0 1 F d X d s F d X d s d s 0 1 d X d s C d X d s d s displaystyle l int 0 1 left frac mathrm d vec chi vec X s t mathrm d s right mathrm d s int 0 1 sqrt frac mathrm d vec x mathrm d s cdot frac mathrm d vec x mathrm d s mathrm d s int 0 1 sqrt left mathbf F cdot frac mathrm d vec X mathrm d s right cdot left mathbf F cdot frac mathrm d vec X mathrm d s right mathrm d s int 0 1 sqrt frac mathrm d vec X mathrm d s cdot mathbf C cdot frac mathrm d vec X mathrm d s mathrm d s nbsp Die Anderung der Lange der markierten Linie wird also vom Strecktensor C displaystyle mathbf C nbsp bestimmt Flacheninhalte Bearbeiten Wenn in gleicher Weise im undeformierten Ausgangszustand eine materielle Flache X u v displaystyle vec X u v nbsp mit den Flachenparametern u v 0 1 2 displaystyle u v in 0 1 2 nbsp bezeichnet wird ergibt sich der Inhalt der Flache zu F 0 1 0 1 d X d u d X d v A N d u d v 0 1 0 1 N A d u d v d A 0 1 0 1 N I N d A displaystyle F int 0 1 int 0 1 biggl overbrace frac mathrm d vec X mathrm d u times frac mathrm d vec X mathrm d v A vec N biggr mathrm d u mathrm d v int 0 1 int 0 1 vec N overbrace A mathrm d u mathrm d v mathrm d A int 0 1 int 0 1 sqrt vec N cdot mathbf I cdot vec N mathrm d A nbsp In der deformierten Lage verandert sich diese Flache zu f 0 1 0 1 d x d u d x d v a n d u d v 0 1 0 1 n a d u d v d a 0 1 0 1 cof F N d A 0 1 0 1 N cof F cof F N d A 0 1 0 1 N cof C N d A displaystyle begin array rcl f amp amp displaystyle int 0 1 int 0 1 biggl overbrace frac mathrm d vec x mathrm d u times frac mathrm d vec x mathrm d v a vec n biggr mathrm d u mathrm d v int 0 1 int 0 1 vec n overbrace a mathrm d u mathrm d v mathrm d a int 0 1 int 0 1 operatorname cof mathbf F cdot vec N mathrm d A amp amp displaystyle int 0 1 int 0 1 sqrt vec N cdot operatorname cof mathbf F top cdot operatorname cof mathbf F cdot vec N mathrm d A int 0 1 int 0 1 sqrt vec N cdot operatorname cof mathbf C cdot vec N mathrm d A end array nbsp Die Inhaltsanderung der markierten Flache wird also vom Kofaktor des Strecktensors C displaystyle mathbf C nbsp bestimmt Volumina Bearbeiten Im undeformierten Ausgangszustand wird ein materielles Volumen X 3 h z displaystyle vec X xi eta zeta nbsp mit den Ortsparametern 3 h z 0 1 3 displaystyle xi eta zeta in 0 1 3 nbsp markiert Das Volumen berechnet sich dann zu V 0 1 0 1 0 1 det d X d 3 d X d h d X d z d 3 d h d z d V 0 1 0 1 0 1 det I d V displaystyle V int 0 1 int 0 1 int 0 1 overbrace operatorname det begin pmatrix frac mathrm d vec X mathrm d xi amp frac mathrm d vec X mathrm d eta amp frac mathrm d vec X mathrm d zeta end pmatrix mathrm d xi mathrm d eta mathrm d zeta mathrm d V int 0 1 int 0 1 int 0 1 sqrt operatorname det mathbf I mathrm d V nbsp In der deformierten Lage verandert sich dieses Volumen zu v 0 1 0 1 0 1 det d x d 3 d x d h d x d z d 3 d h d z 0 1 0 1 0 1 det F d X d 3 F d X d h F d X d z d 3 d h d z 0 1 0 1 0 1 det F d X d 3 d X d h d X d z d 3 d h d z 0 1 0 1 0 1 det F d V 0 1 0 1 0 1 det C d V displaystyle begin array rcl v amp amp displaystyle int 0 1 int 0 1 int 0 1 operatorname det begin pmatrix frac mathrm d vec x mathrm d xi amp frac mathrm d vec x mathrm d eta amp frac mathrm d vec x mathrm d zeta end pmatrix mathrm d xi mathrm d eta mathrm d zeta int 0 1 int 0 1 int 0 1 operatorname det begin pmatrix mathbf F cdot frac mathrm d vec X mathrm d xi amp mathbf F cdot frac mathrm d vec X mathrm d eta amp mathbf F cdot frac mathrm d vec X mathrm d zeta end pmatrix mathrm d xi mathrm d eta mathrm d zeta amp amp displaystyle int 0 1 int 0 1 int 0 1 operatorname det left mathbf F cdot begin pmatrix frac mathrm d vec X mathrm d xi amp frac mathrm d vec X mathrm d eta amp frac mathrm d vec X mathrm d zeta end pmatrix right mathrm d xi mathrm d eta mathrm d zeta int 0 1 int 0 1 int 0 1 operatorname det mathbf F mathrm d V int 0 1 int 0 1 int 0 1 sqrt operatorname det mathbf C mathrm d V end array nbsp worin der Determinantenproduktsatz ausgenutzt wurde Die Volumenanderung kann also wie bei den materiellen Linien und Flachen mit dem Strecktensor ausgedruckt werden Linker und rechter Strecktensor und Drehungen BearbeitenBei Nicht Deformation sind die Strecktensoren gleich dem Einheitstensor und das unabhangig von eventuell auftretenden Drehungen des Korpers Der Grund hierfur liegt in der Polarzerlegung des Deformationsgradienten F R U v R displaystyle mathbf F mathbf R cdot U mathbf v cdot R nbsp die die Deformation lokal in eine Drehung vermittelt durch den orthogonalen Rotationstensor R displaystyle mathbf R nbsp mit R R 1 displaystyle mathbf R top mathbf R 1 nbsp und der Determinante det R 1 displaystyle operatorname det mathbf R 1 nbsp und eine reine Streckung vermittelt durch die symmetrischen positiv definiten rechten bzw linken Strecktensoren U displaystyle mathbf U nbsp bzw v displaystyle mathbf v nbsp aufspaltet Durch die Multiplikation des Deformationsgradienten mit seiner transponierten heben sich die Drehungen R displaystyle mathbf R nbsp und Ruckdrehungen R R 1 displaystyle mathbf R top mathbf R 1 nbsp gegenseitig auf F F U R R U U U C F F v R R v v v b displaystyle begin array ccccccc mathbf F top cdot mathbf F amp amp mathbf U cdot R top cdot mathbf R cdot U amp amp mathbf U cdot U amp amp mathbf C mathbf F cdot F top amp amp mathbf v cdot R cdot R top cdot mathbf v amp amp mathbf v cdot v amp amp mathbf b end array nbsp was naturlich auch fur die Inversen des rechten und linken Cauchy Green Tensors zutrifft Der rechte und linke Cauchy Green Tensor und ihre Inversen sind daher von Drehungen des Korpers unbeeinflusst Hauptachsentransformationen BearbeitenDer rechte und linke Strecktensor ebenso wie der rechte und linke Cauchy Green Tensor sind also ahnlich weswegen sie dieselben Eigenwerte und daher auch dieselben Hauptinvarianten besitzen Die Eigenwerte der Strecktensoren werden Hauptstreckungen genannt Samtliche Strecktensoren sind symmetrisch positiv definit und daher sind alle drei Eigenwerte positiv und die drei Eigenvektoren sind paarweise zueinander senkrecht oder orthogonalisierbar so dass sie eine Orthonormalbasis bilden Seien N 1 2 3 displaystyle vec N 1 2 3 nbsp die Eigenvektoren von U displaystyle mathbf U nbsp n 1 2 3 displaystyle vec n 1 2 3 nbsp die Eigenvektoren von v displaystyle mathbf v nbsp und l 1 2 3 displaystyle lambda 1 2 3 nbsp dessen Eigenwerte Dann lauten die Hauptachsentransformationen U i 1 3 l i N i N i und v i 1 3 l i n i n i displaystyle mathbf U sum i 1 3 lambda i vec N i otimes vec N i qquad textsf und qquad mathbf v sum i 1 3 lambda i vec n i otimes vec n i nbsp Aus v R U R displaystyle mathbf v mathbf R cdot mathbf U cdot mathbf R top nbsp folgt R N i n i also R i 1 3 n i N i displaystyle mathbf R cdot vec N i vec n i qquad text also qquad mathbf R sum i 1 3 vec n i otimes vec N i nbsp und weiter F R U R i 1 3 l i N i N i i 1 3 l i n i N i displaystyle mathbf F mathbf R cdot U mathbf R cdot sum i 1 3 lambda i vec N i otimes vec N i sum i 1 3 lambda i vec n i otimes vec N i nbsp C U U i 1 3 l i 2 N i N i displaystyle mathbf C mathbf U cdot U sum i 1 3 lambda i 2 vec N i otimes vec N i nbsp f C 1 i 1 3 l i 2 N i N i displaystyle mathbf f mathbf C 1 sum i 1 3 lambda i 2 vec N i otimes vec N i nbsp b v v i 1 3 l i 2 n i n i displaystyle mathbf b mathbf v cdot v sum i 1 3 lambda i 2 vec n i otimes vec n i nbsp c b 1 i 1 3 l i 2 n i n i displaystyle mathbf c mathbf b 1 sum i 1 3 lambda i 2 vec n i otimes vec n i nbsp Ableitung der Streckungen BearbeitenManche Materialmodelle der Hyperelastizitat beinhalten Funktionen der Eigenwerte l i displaystyle lambda i nbsp des linken Strecktensors v displaystyle mathbf v nbsp und die Spannungen ergeben sich aus der Ableitung dieser Funktionen nach dem linken Cauchy Green Tensor b displaystyle mathbf b nbsp Deshalb lohnt es sich die Ableitung der Eigenwerte l i displaystyle lambda i nbsp nach dem Strecktensor b displaystyle mathbf b nbsp bereitzustellen 1 Es ergibt sich d l i d b 1 2 l i n i n i displaystyle frac mathrm d lambda i mathrm d mathbf b frac 1 2 lambda i hat n i otimes hat n i nbsp Entsprechend berechnet sich d l i d C 1 2 l i N i N i displaystyle frac mathrm d lambda i mathrm d mathbf C frac 1 2 lambda i hat N i otimes hat N i nbsp BeweisBetrachtet werden zunachst die Eigenwerte h i l i 2 displaystyle eta i lambda i 2 nbsp des linken Cauchy Green Tensors Die Eigenwerte h i displaystyle eta i nbsp losen das charakteristische Polynom des linken Cauchy Green Tensors det b h i I h i 3 I 1 h i 2 I 2 h i I 3 0 displaystyle operatorname det mathbf b eta i operatorname I eta i 3 operatorname I 1 eta i 2 operatorname I 2 eta i operatorname I 3 0 nbsp Die Koeffizienten dieses Polynoms sind die drei Hauptinvarianten des linken Cauchy Green Tensors Implizite Differentiation des charakteristischen Polynoms unter Benutzung der Kettenregel und der Ableitungen der Hauptinvarianten bei symmetrischen Tensoren d I 1 b d b I d I 2 b d b I 1 I b und d I 3 b d b I 3 b 1 b b I 1 b I 2 I displaystyle frac mathrm d operatorname I 1 mathbf b mathrm d mathbf b mathbf I quad frac mathrm d operatorname I 2 mathbf b mathrm d mathbf b operatorname I 1 mathbf I mathbf b quad text und quad frac mathrm d operatorname I 3 mathbf b mathrm d mathbf b operatorname I 3 mathbf b 1 mathbf b cdot b operatorname I 1 mathbf b operatorname I 2 mathbf I nbsp liefert 0 3 h i 2 d h i d b h i 2 I 2 I 1 h i d h i d b I 1 I b h i I 2 d h i d b b b I 1 b I 2 I 3 h i 2 2 I 1 h i I 2 d h i d b h i 2 h i I 1 I 2 I h i I 1 b b b d h i d b h i 2 h i I 1 I 2 I h i I 1 b b b 3 h i 2 2 I 1 h i I 2 displaystyle begin aligned 0 amp 3 eta i 2 frac mathrm d eta i mathrm d mathbf b eta i 2 mathbf I 2 operatorname I 1 eta i frac mathrm d eta i mathrm d mathbf b operatorname I 1 mathbf I mathbf b eta i operatorname I 2 frac mathrm d eta i mathrm d mathbf b mathbf b cdot b operatorname I 1 mathbf b operatorname I 2 mathbf I amp 3 eta i 2 2 operatorname I 1 eta i operatorname I 2 frac mathrm d eta i mathrm d mathbf b eta i 2 eta i operatorname I 1 operatorname I 2 mathbf I eta i operatorname I 1 mathbf b mathbf b cdot b rightarrow frac mathrm d eta i mathrm d mathbf b amp frac eta i 2 eta i operatorname I 1 operatorname I 2 mathbf I eta i operatorname I 1 mathbf b mathbf b cdot b 3 eta i 2 2 operatorname I 1 eta i operatorname I 2 end aligned nbsp Einsetzen der Formeln von Vieta I 1 h 1 h 2 h 3 und I 2 h 1 h 2 h 2 h 3 h 3 h 1 displaystyle operatorname I 1 eta 1 eta 2 eta 3 quad text und quad operatorname I 2 eta 1 eta 2 eta 2 eta 3 eta 3 eta 1 nbsp der Hauptachsentransformation des linken Cauchy Green Tensors b h 1 n 1 n 1 h 2 n 2 n 2 h 3 n 3 n 3 displaystyle mathbf b eta 1 hat n 1 otimes hat n 1 eta 2 hat n 2 otimes hat n 2 eta 3 hat n 3 otimes hat n 3 nbsp mit seinen auf Betrag eins normierten paarweise orthogonalen Eigenvektoren n 1 2 3 displaystyle hat n 1 2 3 nbsp die mit den Eigenvektoren des linken Strecktensors ubereinstimmen und der Form I n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 n 3 displaystyle mathbf I hat n 1 otimes hat n 1 hat n 2 otimes hat n 2 hat n 3 otimes hat n 3 nbsp des Einheitstensors ergibt beispielsweise fur i 1 d h 1 d b h 1 2 h 1 h 1 h 2 h 3 h 1 h 2 h 2 h 3 h 3 h 1 3 h 1 2 2 h 1 h 2 h 3 h 1 h 1 h 2 h 2 h 3 h 3 h 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 n 3 h 1 h 1 h 2 h 3 h 1 n 1 n 1 h 2 n 2 n 2 h 3 n 3 n 3 3 h 1 2 2 h 1 h 2 h 3 h 1 h 1 h 2 h 2 h 3 h 3 h 1 h 1 2 n 1 n 1 h 2 2 n 2 n 2 h 3 2 n 3 n 3 3 h 1 2 2 h 1 h 2 h 3 h 1 h 1 h 2 h 2 h 3 h 3 h 1 n 1 n 1 displaystyle begin aligned frac mathrm d eta 1 mathrm d mathbf b amp frac eta 1 2 eta 1 eta 1 eta 2 eta 3 eta 1 eta 2 eta 2 eta 3 eta 3 eta 1 3 eta 1 2 2 eta 1 eta 2 eta 3 eta 1 eta 1 eta 2 eta 2 eta 3 eta 3 eta 1 hat n 1 otimes hat n 1 hat n 2 otimes hat n 2 hat n 3 otimes hat n 3 amp frac eta 1 eta 1 eta 2 eta 3 eta 1 hat n 1 otimes hat n 1 eta 2 hat n 2 otimes hat n 2 eta 3 hat n 3 otimes hat n 3 3 eta 1 2 2 eta 1 eta 2 eta 3 eta 1 eta 1 eta 2 eta 2 eta 3 eta 3 eta 1 amp frac eta 1 2 hat n 1 otimes hat n 1 eta 2 2 hat n 2 otimes hat n 2 eta 3 2 hat n 3 otimes hat n 3 3 eta 1 2 2 eta 1 eta 2 eta 3 eta 1 eta 1 eta 2 eta 2 eta 3 eta 3 eta 1 amp hat n 1 otimes hat n 1 end aligned nbsp Fur i 2 und i 3 berechnet sich entsprechendes womit d h i d b n i n i displaystyle frac mathrm d eta i mathrm d mathbf b hat n i otimes hat n i nbsp feststeht Die gesuchte Ableitung der Eigenwerte des linken Strecktensors nach dem linken Cauchy Green Tensor ermittelt sich schliesslich aus d h i d b d l i 2 d b 2 l i d l i d b n i n i d l i d b 1 2 l i n i n i displaystyle frac mathrm d eta i mathrm d mathbf b frac mathrm d lambda i 2 mathrm d mathbf b 2 lambda i frac mathrm d lambda i mathrm d mathbf b hat n i otimes hat n i quad rightarrow quad frac mathrm d lambda i mathrm d mathbf b frac 1 2 lambda i hat n i otimes hat n i nbsp Beispiel Bearbeiten nbsp Ein Quadrat schwarz mit eingeschriebenem Kreis rot wird zu einem Rechteck blau mit eingeschriebener Ellipse lila verformtEin Quadrat der Seitenlange eins wird zu einem Rechteck mit Breite b displaystyle b nbsp und Hohe h displaystyle h nbsp gestreckt und um einen Winkel a displaystyle alpha nbsp verdreht siehe die Abbildung rechts Das Quadrat sei im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems positioniert so dass fur die Punkte des Quadrates X X Y 0 1 2 displaystyle vec X left begin array c X Y end array right in 0 1 2 nbsp gilt Im deformierten Zustand ist dann x x y cos a sin a sin a cos a b X h Y b X cos a h Y sin a b X sin a h Y cos a displaystyle begin array rcl vec x amp amp left begin array c x y end array right left begin array cc cos alpha amp sin alpha sin alpha amp cos alpha end array right left begin array c bX hY end array right amp amp left begin array c bX cos alpha hY sin alpha bX sin alpha hY cos alpha end array right end array nbsp Damit berechnen sich der Deformationsgradient und die Strecktensoren zu F b cos a h sin a b sin a h cos a cos a sin a sin a cos a b 0 0 h R cos a sin a sin a cos a U b 0 0 h l 1 b N 1 1 0 l 2 h N 2 0 1 C U U b 0 0 h b 0 0 h b 2 0 0 h 2 F F v b R N 1 R N 1 h R N 2 R N 2 b cos a sin a cos a sin a h sin a cos a sin a cos a b cos 2 a h sin 2 a b h cos a sin a b h sin a cos a b sin 2 a h cos 2 a l 1 b n 1 cos a sin a l 2 h n 2 sin a cos a b v v b 2 cos 2 a h 2 sin 2 a b 2 h 2 sin a cos a b 2 h 2 sin a cos a b 2 sin 2 a h 2 cos 2 a F F displaystyle begin array rcl mathbf F amp amp left begin array cc b cos alpha amp h sin alpha b sin alpha amp h cos alpha end array right left begin array cc cos alpha amp sin alpha sin alpha amp cos alpha end array right left begin array cc b amp 0 0 amp h end array right rightarrow mathbf R amp amp left begin array cc cos alpha amp sin alpha sin alpha amp cos alpha end array right rightarrow mathbf U amp amp left begin array cc b amp 0 0 amp h end array right lambda 1 b vec N 1 left begin array c 1 0 end array right lambda 2 h vec N 2 left begin array c 0 1 end array right rightarrow mathbf C amp amp mathbf U cdot U left begin array cc b amp 0 0 amp h end array right left begin array cc b amp 0 0 amp h end array right left begin array cc b 2 amp 0 0 amp h 2 end array right mathbf F top cdot mathbf F rightarrow mathbf v amp amp b mathbf R cdot vec N 1 otimes mathbf R cdot vec N 1 h mathbf R cdot vec N 2 otimes mathbf R cdot vec N 2 amp amp b left begin array c cos alpha sin alpha end array right otimes left begin array c cos alpha sin alpha end array right h left begin array c sin alpha cos alpha end array right otimes left begin array c sin alpha cos alpha end array right amp amp left begin array cc b cos 2 alpha h sin 2 alpha amp left b h right cos alpha sin alpha left b h right sin alpha cos alpha amp b sin 2 alpha h cos 2 alpha end array right amp amp rightarrow lambda 1 b vec n 1 left begin array c cos alpha sin alpha end array right lambda 2 h vec n 2 left begin array c sin alpha cos alpha end array right rightarrow mathbf b amp amp mathbf v cdot v left begin array cc b 2 cos 2 alpha h 2 sin 2 alpha amp left b 2 h 2 right sin alpha cos alpha left b 2 h 2 right sin alpha cos alpha amp b 2 sin 2 alpha h 2 cos 2 alpha end array right mathbf F cdot F top end array nbsp In der Mitte des Quadrates wird eine gerade Linie der Lange in einem Winkel b displaystyle beta nbsp zur x Achse markiert siehe Abbildung Die Punkte auf der Linie haben in der Ausgangslage dann fur s 0 1 displaystyle s in 0 1 nbsp die Koordinaten X s 1 2 1 s cos b 1 s sin b d X s d s 1 2 cos b sin b d X s d s 1 2 displaystyle begin array rcl vec X left s right amp amp dfrac 1 2 left begin array c 1 s cos beta 1 s sin beta end array right rightarrow dfrac mathrm d vec X s mathrm d s amp amp dfrac 1 2 left begin array c cos beta sin beta end array right rightarrow left dfrac mathrm d vec X left s right mathrm d s right dfrac 1 2 end array nbsp Die Lange der Linie ist definitionsgemass unabhangig von deren Richtung L b 0 1 d X d s d s 0 1 1 2 d s 1 2 displaystyle L beta int 0 1 left dfrac mathrm d vec X mathrm d s right mathrm d s int 0 1 dfrac 1 2 mathrm d s dfrac 1 2 nbsp In der deformierten Lage haben die Punkte die Koordinaten x s x y 1 2 b 1 s cos b cos a h 1 s sin b sin a b 1 s cos b sin a h 1 s sin b cos a d x d s 1 2 b cos a cos b h sin a sin b b sin a cos b h cos a sin b b cos a h sin a b sin a h cos a 1 2 cos b sin b F d X d s d x d s 1 2 b 2 cos 2 b h 2 sin 2 b 1 2 cos b sin b b 2 0 0 h 2 1 2 cos b sin b d X d s C d X d s displaystyle begin array rcl vec x s amp amp left begin array c x y end array right dfrac 1 2 left begin array c b 1 s cos beta cos alpha h 1 s sin beta sin alpha b 1 s cos beta sin alpha h 1 s sin beta cos alpha end array right rightarrow dfrac mathrm d vec x mathrm d s amp amp dfrac 1 2 left begin array c b cos alpha cos beta h sin alpha sin beta b sin alpha cos beta h cos alpha sin beta end array right left begin array cc b cos alpha amp h sin alpha b sin alpha amp h cos alpha end array right dfrac 1 2 left begin array c cos beta sin beta end array right mathbf F cdot dfrac mathrm d vec X mathrm d s rightarrow left dfrac mathrm d vec x mathrm d s right amp amp dfrac 1 2 sqrt b 2 cos 2 beta h 2 sin 2 beta amp amp sqrt dfrac 1 2 left begin array c cos beta sin beta end array right cdot left begin array cc b 2 amp 0 0 amp h 2 end array right dfrac 1 2 left begin array c cos beta sin beta end array right sqrt dfrac mathrm d vec X mathrm d s cdot mathbf C cdot dfrac mathrm d vec X mathrm d s end array nbsp nbsp Lange l b displaystyle l beta nbsp der Linien im deformierten Quadrat in Abhangigkeit vom Winkel b displaystyle beta nbsp weswegen sich die Lange der Linie zu l b 0 1 d x d s d s 0 1 1 2 b 2 cos 2 b h 2 sin 2 b d s 1 2 b 2 cos 2 b h 2 sin 2 b displaystyle begin array rcl l beta amp amp displaystyle int 0 1 left dfrac mathrm d vec x mathrm d s right mathrm d s int 0 1 dfrac 1 2 sqrt b 2 cos 2 beta h 2 sin 2 beta mathrm d s amp amp dfrac 1 2 sqrt b 2 cos 2 beta h 2 sin 2 beta end array nbsp verandert Das Ergebnis ist wiederum unabhangig vom Drehwinkel a displaystyle alpha nbsp Bei Flachengleichheit des Quadrates und des Rechtecks ist b h 1 h 1 b displaystyle b cdot h 1 rightarrow h dfrac 1 b nbsp und die Langen der deformierten Linie bilden in einem Polardiagramm eine Kurve wie in der Abbildung rechts Dort ist b 1 5 displaystyle b 1 5 nbsp Siehe auch BearbeitenMechanik Konvektive Koordinaten Konfiguration Mechanik Mathematik Formelsammlung Tensoralgebra Formelsammlung TensoranalysisEinzelnachweise Bearbeiten Die Frechet Ableitung einer skalaren Funktion f T displaystyle f mathbf T nbsp nach einem Tensor T displaystyle mathbf T nbsp ist der Tensor A displaystyle mathbf A nbsp fur den sofern er existiert gilt A H d d s f T s H s 0 lim s 0 f T s H f T s H displaystyle mathbf A mathbf H left frac mathrm d mathrm d s f mathbf T s mathbf H right s 0 lim s rightarrow 0 frac f mathbf T s mathbf H f mathbf T s quad forall mathbf H nbsp Darin ist s R displaystyle s in mathbb R nbsp und das Frobenius Skalarprodukt Dann wird auch f T A displaystyle frac partial f partial mathbf T mathbf A nbsp geschrieben Literatur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 P Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials Springer 2010 ISBN 978 3 642 07718 0 A Bertram Elasticity and Plasticity of Large Deformations An Introduction Springer 2012 ISBN 978 3 642 24614 2 Richard P Feynman Robert B Leigthon Matthew Sands The Feynman Lectures on Physics Band 2 Addison Wesley Reading Massachusetts 1964 39 1 The tensor of strain englisch caltech edu anschauliche Beschreibung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Strecktensor amp oldid 224377891
