Implizite Differentiation Die implizite Differentiation auch implizite Ableitung ist eine Möglichkeit eine Funktion die

Implizite Differentiation

Die implizite Differentiation (auch implizite Ableitung) ist eine Möglichkeit, eine Funktion, die nicht explizit durch einen Term, sondern nur implizit durch eine Gleichung gegeben ist (auch implizite Kurve), mit Hilfe der mehrdimensionalen Differentialrechnung abzuleiten. Sie kann oft auch benutzt werden, um die Ableitung von Funktionen, die zwar explizit gegeben sind, in dieser Form aber schwierig abzuleiten sind, zu bestimmen.

Regel Bearbeiten

Erfüllt die differenzierbare Funktion die Gleichung

wobei auch , eine differenzierbare Funktion ist, so bedeutet das, dass die Funktion konstant (nämlich die Nullfunktion) ist. Ihre Ableitung ist dementsprechend auch konstant null. Mit Hilfe der mehrdimensionalen Kettenregel erhält man dann

Hierbei sind und die partiellen Ableitungen von . Zur Vereinfachung der Schreibweise wurden die Funktionsargumente weggelassen.

Gilt an einer Stelle , so gilt dies auch für alle in einer Umgebung von und man kann die Gleichung nach auflösen:

bzw. ausführlich

Höhere Ableitungen Bearbeiten

Durch Anwendung der Produkt- und Kettenregel können auch höhere Ableitungen impliziter Funktionen berechnet werden. So ergibt sich die zweite Ableitung zu:

mit , , .

Beispiele Bearbeiten

Beispiel 1 Bearbeiten

Gesucht ist die Ableitungsfunktion des natürlichen Logarithmus . Man kann diesen auch implizit darstellen

danach die Gleichung ableiten

wieder setzen

und umstellen

Beispiel 2 Bearbeiten

Die Funktion , , kann mit den herkömmlichen Ableitungsregeln nicht ohne Umformungen abgeleitet werden, da sowohl Exponent als auch Basis der Potenz variabel sind. Zunächst kann man durch Logarithmieren den Exponenten eliminieren:

Nun leitet man implizit ab, indem man beide Seiten herkömmlich nach ableitet:

Die linke Seite kann mit der Kettenregel, die rechte mit der Produktregel und der Regel für die Ableitung des Logarithmus berechnet werden:

Löst man nach auf und setzt ein, so erhält man als Lösung:

Beispiel 3 Bearbeiten

Der Kreis mit Mittelpunkt und Radius ist gegeben durch die Gleichung . Teile davon kann man als Graph einer Funktion schreiben. Deren Ableitung lässt sich mit Hilfe der impliziten Differentiation wie folgt berechnen:

In die definierende Gleichung setzt man ein:

Durch Ableiten dieser Gleichung erhält man

Für ergibt Auflösen nach

Daraus folgt, dass die Tangente an den Kreis im Punkt mit die Steigung hat.

Einzelnachweise Bearbeiten

Gerhard Marinell: Mathematik für Sozial- und Wirtschaftswissenschaftler. 7. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2001, ISBN 3-486-25567-3, S. 135–136 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
Jörg Feldvoss, Höhere Ableitungen impliziter Funktionen, 2000: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/feldvoss/impldiff.pdf

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 15:44 pm

Die implizite Differentiation auch implizite Ableitung ist eine Moglichkeit eine Funktion die nicht explizit durch einen Term sondern nur implizit durch eine Gleichung gegeben ist auch implizite Kurve mit Hilfe der mehrdimensionalen Differentialrechnung abzuleiten 1 Sie kann oft auch benutzt werden um die Ableitung von Funktionen die zwar explizit gegeben sind in dieser Form aber schwierig abzuleiten sind zu bestimmen Inhaltsverzeichnis 1 Regel 1 1 Hohere Ableitungen 2 Beispiele 2 1 Beispiel 1 2 2 Beispiel 2 2 3 Beispiel 3 3 EinzelnachweiseRegel BearbeitenErfullt die differenzierbare Funktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp die Gleichung F x f x 0 displaystyle F x f x 0 nbsp wobei auch F R 2 R F x y F x y displaystyle F colon mathbb R 2 to mathbb R F colon x y mapsto F x y nbsp eine differenzierbare Funktion ist so bedeutet das dass die Funktion x F x f x displaystyle x mapsto F x f x nbsp konstant namlich die Nullfunktion ist Ihre Ableitung ist dementsprechend auch konstant null Mit Hilfe der mehrdimensionalen Kettenregel erhalt man dann 0 d d x F x f x F x F y f F x F y f displaystyle 0 frac mathrm d mathrm d x F x f x frac partial F partial x frac partial F partial y f F x F y f nbsp Hierbei sind F x F x displaystyle F x tfrac partial F partial x nbsp und F y F y displaystyle F y tfrac partial F partial y nbsp die partiellen Ableitungen von F displaystyle F nbsp Zur Vereinfachung der Schreibweise wurden die Funktionsargumente x f x displaystyle x f x nbsp weggelassen Gilt F y x 0 f x 0 0 displaystyle F y x 0 f x 0 neq 0 nbsp an einer Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp so gilt dies auch fur alle x displaystyle x nbsp in einer Umgebung von x 0 displaystyle x 0 nbsp und man kann die Gleichung nach f displaystyle f nbsp auflosen f F x F y displaystyle f frac F x F y nbsp bzw ausfuhrlich f x F x x f x F y x f x displaystyle f x frac F x x f x F y x f x nbsp Hohere Ableitungen Bearbeiten Durch Anwendung der Produkt und Kettenregel konnen auch hohere Ableitungen impliziter Funktionen berechnet werden So ergibt sich die zweite Ableitung f displaystyle f nbsp zu f x F x x F y 2 F y y F x 2 2 F x y F x F y F y 3 displaystyle f x frac F xx F y 2 F yy F x 2 2F xy F x F y F y 3 nbsp mit F x x 2 F x 2 displaystyle F xx tfrac partial 2 F partial x 2 nbsp F y y 2 F y 2 displaystyle F yy tfrac partial 2 F partial y 2 nbsp F x y 2 F x y displaystyle F xy tfrac partial 2 F partial x partial y nbsp 2 Beispiele BearbeitenBeispiel 1 Bearbeiten Gesucht ist die Ableitungsfunktion f x displaystyle f x nbsp des naturlichen Logarithmus ln x displaystyle ln x nbsp Man kann diesen auch implizit darstellen f x ln x e f x x 0 displaystyle f x ln x Leftrightarrow e f x x 0 nbsp danach die Gleichung ableiten e f x f x 1 0 displaystyle e f x cdot f x 1 0 nbsp wieder f x ln x displaystyle f x ln x nbsp setzen x f x 1 0 displaystyle x cdot f x 1 0 nbsp und umstellen f x 1 x displaystyle f x frac 1 x nbsp Beispiel 2 Bearbeiten Die Funktion f x x x displaystyle f x x x nbsp x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp kann mit den herkommlichen Ableitungsregeln nicht ohne Umformungen abgeleitet werden da sowohl Exponent als auch Basis der Potenz variabel sind Zunachst kann man durch Logarithmieren den Exponenten eliminieren ln f x x ln x displaystyle ln f x x ln x nbsp Nun leitet man implizit ab indem man beide Seiten herkommlich nach x displaystyle x nbsp ableitet d d x ln f x d d x x ln x displaystyle frac mathrm d mathrm d x ln f x frac mathrm d mathrm d x x ln x nbsp Die linke Seite kann mit der Kettenregel die rechte mit der Produktregel und der Regel fur die Ableitung des Logarithmus berechnet werden 1 f x f x ln x x 1 x displaystyle frac 1 f x cdot f x ln x x frac 1 x nbsp Lost man nach f x displaystyle f x nbsp auf und setzt f x x x displaystyle f x x x nbsp ein so erhalt man als Losung f x f x ln x 1 x x ln x 1 displaystyle f x f x ln x 1 x x left ln x 1 right nbsp Beispiel 3 Bearbeiten Der Kreis mit Mittelpunkt 0 0 displaystyle 0 0 nbsp und Radius r displaystyle r nbsp ist gegeben durch die Gleichung x 2 y 2 r 2 displaystyle x 2 y 2 r 2 nbsp Teile davon kann man als Graph einer Funktion y f x displaystyle y f x nbsp schreiben Deren Ableitung lasst sich mit Hilfe der impliziten Differentiation wie folgt berechnen In die definierende Gleichung setzt man y f x displaystyle y f x nbsp ein x 2 f x 2 r 2 displaystyle x 2 f x 2 r 2 nbsp Durch Ableiten dieser Gleichung erhalt man 2 x 2 f x f x 0 displaystyle 2 x 2 f x f x 0 nbsp Fur f x 0 displaystyle f x neq 0 nbsp ergibt Auflosen nach f x displaystyle f x nbsp f x x f x x y displaystyle f x frac x f x frac x y nbsp Daraus folgt dass die Tangente an den Kreis im Punkt x y displaystyle x y nbsp mit y 0 displaystyle y neq 0 nbsp die Steigung x y displaystyle frac x y nbsp hat Einzelnachweise Bearbeiten Gerhard Marinell Mathematik fur Sozial und Wirtschaftswissenschaftler 7 Auflage Oldenbourg Wissenschaftsverlag Munchen 2001 ISBN 3 486 25567 3 S 135 136 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Jorg Feldvoss Hohere Ableitungen impliziter Funktionen 2000 https www southalabama edu mathstat personal pages feldvoss impldiff pdf Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Implizite Differentiation amp oldid 199988128