Der Debye Waller Faktor DWF nach Peter Debye und Ivar Waller beschreibt wie die Intensitat der an einem Kristallgitter koharent elastisch gestreuten Strahlung von der Temperatur abhangt 1 2 Nur diese elastische Streuung unterliegt den Laue Bedingungen die komplementare inelastische Streuung wird als thermisch diffus bezeichnet Durch thermische Bewegung der Atome werden die Reflexe der elastischen Streuung nicht verbreitert sondern ihre Intensitat herabgesetzt Es erscheint allerdings ein diffuser Untergrund zwischen den Reflexen als Folge der Energieerhaltung In der Neutronenstreuung wird der Begriff Debye Waller Faktor teilweise unterschiedslos auf koharente und inkoharente Streuung angewandt teilweise wird fur letztere aber auch der genauere Begriff Lamb Mossbauer Faktor benutzt Definition BearbeitenDie Intensitat I 0 displaystyle I 0 nbsp der einfallenden Welle wird durch Multiplikation mit dem Debye Waller Faktor auf die Intensitat I displaystyle I nbsp der gestreuten Welle reduziert und zwar um den Faktor 1 D W F displaystyle 1 mathit DWF nbsp I I 0 exp 1 3 G 2 u 2 D W F lt 1 displaystyle I I 0 cdot underbrace exp left frac 1 3 left vec G right 2 overline u 2 right mathit DWF lt 1 nbsp mit der naturlichen Exponentialfunktion exp displaystyle exp nbsp einem Gittervektor G displaystyle G nbsp des reziproken Gitters der temperaturabhangigen Oszillations amplitude u u T displaystyle u u T nbsp der Atome Die Bragg Beugungsreflexe werden also aufgrund der Gitterschwingungen umso mehr gedampft je hoher die Temperatur und je hoher ihre Ordnung ist Der DWF ist maximal wenn die Atome in der Nahe des absoluten Nullpunkts nicht schwingen entspricht dem statischen Fall T 0 K u 0 D W F 1 displaystyle T approx 0 text K quad Rightarrow quad u approx 0 quad Rightarrow quad mathit DWF approx 1 nbsp dd Bei grosserer Temperatur wird u 2 displaystyle overline vec u 2 nbsp grosser und somit der Exponentialfaktor kleiner Der DWF und somit die Reflex Intensitat ist ausserdem umso kleiner je grosser G 2 displaystyle vec G 2 nbsp ist also je hoher die Millerschen Indizes der Netzebenenschar sind an der die Bragg Reflexion stattfindet Bei Betrachtung eines harmonischen Oszillators mit der Energie 3 E 1 2 M w 2 u 2 3 2 k B T u 2 3 k B T M w 2 displaystyle begin alignedat 2 overline E amp frac 1 2 M omega 2 amp amp overline u 2 frac 3 2 k text B T amp Leftrightarrow amp amp overline u 2 frac 3k text B T M omega 2 end alignedat nbsp mit der Boltzmann Konstante k B displaystyle k text B nbsp lasst sich der temperaturabhangige Debye Waller Faktor auch schreiben als D W F exp k B T G 2 M w 2 displaystyle mathit DWF exp left frac k text B T left vec G right 2 M omega 2 right nbsp Herleitung BearbeitenDer Strukturfaktor F h k l displaystyle F hkl nbsp ist ein Mass fur die relative Intensitat eines durch die Millerschen Indizes h displaystyle h nbsp k displaystyle k nbsp l displaystyle l nbsp bestimmten Beugungsreflexes F h k l i f i exp i G r i displaystyle F hkl sum i f i exp left i vec G cdot vec r i right nbsp Die Summe lauft uber alle Atome der Basis Dabei ist i displaystyle i nbsp die imaginare Einheit G h b 1 k b 2 l b 3 displaystyle vec G h vec b 1 k vec b 2 l vec b 3 nbsp ein reziproker Gittervektor r i displaystyle vec r i nbsp ein Ortsvektor der von einem festen Bezugspunkt innerhalb der Elementarzelle zum Kern des i displaystyle i nbsp ten Atom zeigt f i displaystyle f i nbsp der atomare Streufaktor des i displaystyle i nbsp ten Atoms f i V A i n i r exp i G r d 3 r displaystyle f i int V A i n i vec tilde r exp left i vec G cdot vec tilde r right mathrm d 3 tilde r nbsp V A i displaystyle V A i nbsp das Volumen n i r displaystyle n i vec tilde r nbsp das Streuvermogen z B Elektronendichte bei Rontgenbeugung Ladungsdichte bei Elektronenbeugung des i displaystyle i nbsp ten Atoms dd Betrachtet man die thermische Bewegung der Atome so ist r i displaystyle vec r i nbsp zeitabhangig Nun zerlegt man r i displaystyle vec r i nbsp in einen mittleren Aufenthaltsort r i 0 displaystyle vec r i 0 nbsp Gleichgewichtslage ruhend und die Auslenkung u i t displaystyle vec u i t nbsp zeitabhangig r i t r i 0 u i t displaystyle vec r i t vec r i 0 vec u i t nbsp dd Die Schwingungsperioden sind sehr kurz lt 10 10 s displaystyle lt 10 10 mathrm s nbsp gegenuber der Beobachtungsdauer sodass immer ein zeitlicher Mittelwert gemessen wird F h k l i f i exp i G r i 0 u i t i f i exp i G r i 0 exp i G u i t displaystyle begin aligned overline F hkl amp sum i f i overline exp left i vec G cdot left vec r i 0 vec u i t right right amp sum i f i exp left i vec G cdot vec r i 0 right overline exp left i vec G cdot vec u i t right end aligned nbsp Fur kleine Auslenkungen entwickelt man die Exponentialfunktion bis zur zweiten Ordnung exp i G u i t 1 i G u i t 1 2 G u i t 2 displaystyle overline exp left i vec G cdot vec u i t right approx 1 i overline vec G cdot vec u i t frac 1 2 overline left vec G cdot vec u i t right 2 nbsp dd Die erste Ordnung verschwindet G u i t 0 displaystyle left overline vec G cdot vec u i t 0 right nbsp da die Auslenkungen u i t displaystyle vec u i t nbsp statistisch in alle Raumrichtungen erfolgen u i t 0 displaystyle left overline vec u i t 0 right nbsp und nicht mit der Richtung von G displaystyle vec G nbsp korreliert sind Die zweite Ordnung ist G u i t 2 G 2 u i t 2 cos 2 8 displaystyle overline left vec G cdot vec u i t right 2 vec G 2 overline vec u i t 2 overline cos 2 theta nbsp dd dd Dabei ist 8 displaystyle theta nbsp der Winkel zwischen G displaystyle vec G nbsp und u i t displaystyle vec u i t nbsp Man mittelt cos 2 8 displaystyle cos 2 theta nbsp uber alle Richtungen im dreidimensionalen Raum also Integration uber die Einheitskugel cos 2 8 0 2 p d ϕ 0 p d 8 sin 8 cos 2 8 0 2 p d ϕ 0 p d 8 sin 8 1 3 displaystyle overline cos 2 theta frac int 0 2 pi mathrm d phi int 0 pi mathrm d theta sin theta cos 2 theta int 0 2 pi mathrm d phi int 0 pi mathrm d theta sin theta frac 1 3 nbsp dd dd dd In die Exponentialfunktion eingesetzt ergibt dies exp i G u i t 1 1 6 G 2 u i t 2 exp 1 6 G 2 u i t 2 displaystyle begin aligned overline exp left i vec G cdot vec u i t right amp approx 1 frac 1 6 vec G 2 overline vec u i t 2 amp approx exp left frac 1 6 vec G 2 overline vec u i t 2 right end aligned nbsp dd Der Strukturfaktor schreibt sich nun F h k l i f i exp i G r i 0 exp 1 6 G 2 u i t 2 displaystyle overline F hkl sum i f i exp left i vec G cdot vec r i 0 right exp left frac 1 6 vec G 2 overline vec u i t 2 right nbsp Fur gleichartige Atome ist u i t 2 displaystyle overline vec u i t 2 nbsp fur alle i displaystyle i nbsp annahernd gleich u 2 displaystyle overline vec u 2 nbsp Somit kann man den zweiten Exponentialfaktor vor die Summe ziehen F h k l exp 1 6 G 2 u t 2 i f i exp i G r i 0 exp 1 6 G 2 u t 2 F h k l 0 displaystyle begin aligned overline F hkl amp exp left frac 1 6 vec G 2 overline vec u t 2 right sum i f i exp left i vec G cdot vec r i 0 right amp exp left frac 1 6 vec G 2 overline vec u t 2 right F hkl 0 end aligned nbsp Darin ist F h k l 0 displaystyle F hkl 0 nbsp der Strukturfaktor des statischen Falls starres Gitter keine Bewegung der Atome Die Intensitat ist proportional zum Betragsquadrat des Strukturfaktors I c F h k l 2 displaystyle I c F hkl 2 nbsp Die zeitlich gemittelte Intensitat ist somit I c F h k l 2 c F h k l 0 2 exp 1 3 G 2 u 2 I 0 exp 1 3 G 2 u 2 displaystyle begin aligned overline I amp c overline F hkl 2 amp c F hkl 0 2 exp left frac 1 3 vec G 2 overline vec u 2 right amp I 0 exp left frac 1 3 vec G 2 overline vec u 2 right end aligned nbsp Die gemittelte Intensitat ist also gegenuber dem statischen Fall I 0 c F h k l 0 2 displaystyle I 0 c F hkl 0 2 nbsp um den Debye Waller Faktor exp 1 3 G 2 u 2 displaystyle exp left frac 1 3 vec G 2 overline vec u 2 right nbsp erniedrigt Einzelnachweise Bearbeiten Peter Debye Interferenz von Rontgenstrahlen und Warmebewegung In Ann d Phys 348 Jahrgang Nr 1 1913 S 49 92 doi 10 1002 andp 19133480105 bibcode 1913AnP 348 49D Ivar Waller Zur Frage der Einwirkung der Warmebewegung auf die Interferenz von Rontgenstrahlen In Zeitschrift fur Physik A 17 Jahrgang Springer Berlin Heidelberg 1923 S 398 408 doi 10 1007 BF01328696 bibcode 1923ZPhy 17 398W C Kittel Einfuhrung in die Festkorperphysik 7 Auflage Oldenbourg 1986 ISBN 3 486 20240 5 Anhang A S 680ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Debye Waller Faktor amp oldid 225811988
