Der Darstellungsring einer Gruppe ist in der Mathematik vor allem in der Darstellungstheorie aber auch in Algebra Topologie und K Theorie von Bedeutung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Operationen 2 1 Direkte Summe 2 2 Tensorprodukt 2 3 Ausseres Produkt 2 4 Adams Operationen 3 Beispiele 4 Darstellungsringe kompakter Gruppen 4 1 Charaktere und Darstellungsringe 4 2 Einschrankung und Induktion 4 3 Maximale Tori 4 4 Darstellungsring des Produkts kompakter Gruppen 4 5 Satz von Artin 5 Beziehung zur K Theorie 6 Literatur 7 WeblinksDefinition BearbeitenDer Darstellungsring einer Gruppe G displaystyle G nbsp wird definiert als die abelsche Gruppe der formalen Differenzen von Darstellungen mit direkter Summe und Tensorprodukt als Addition und Multiplikation Fur endliche oder kompakte Gruppen kann man den Darstellungsring aquivalent definieren als die abelsche Gruppe R G j 1 m a j t j a j Z t j j 1 m alle irreduziblen Darstellungen von G uber C bis auf Isomorphie displaystyle R G sum j 1 m a j tau j a j in mathbb Z tau j j 1 dotsc m text alle text irreduziblen text Darstellungen text von G text uber mathbb C text bis text auf text Isomorphie nbsp die mit komponentenweiser Addition sowie der durch die Zerlegung des Tensorprodukts als direkte Summe irreduzibler Darstellungen als Multiplikation zum Ring wird Die Elemente von R G displaystyle R G nbsp heissen virtuelle Darstellungen Operationen BearbeitenDirekte Summe Bearbeiten Seien r 1 V r 1 displaystyle rho 1 V rho 1 nbsp und r 2 V r 2 displaystyle rho 2 V rho 2 nbsp zwei Darstellungen einer Gruppe G displaystyle G nbsp Die direkte Summe von Darstellungen definiert eine Addition r 1 r 2 r 1 r 2 displaystyle left rho 1 right left rho 2 right left rho 1 oplus rho 2 right nbsp auf R G displaystyle R G nbsp Tensorprodukt Bearbeiten Seien G 1 displaystyle G 1 nbsp und G 2 displaystyle G 2 nbsp zwei Gruppen mit jeweiligen Darstellungen r 1 V r 1 displaystyle rho 1 V rho 1 nbsp und r 2 V r 2 displaystyle rho 2 V rho 2 nbsp dann ist r 1 r 2 displaystyle rho 1 otimes rho 2 nbsp eine Darstellung des direkten Produkts G 1 G 2 displaystyle G 1 times G 2 nbsp das Tensorprodukt der beiden Darstellungen Das definiert einen Homomorphismus R G 1 Z R G 2 R G 1 G 2 displaystyle R G 1 otimes mathbb Z R G 2 to R G 1 times G 2 nbsp wobei R G 1 Z R G 2 displaystyle R G 1 otimes mathbb Z R G 2 nbsp das Tensorprodukt der Darstellungsringe als Z displaystyle mathbb Z nbsp Moduln ist Fur G 1 G 2 displaystyle G 1 G 2 nbsp erhalt man durch Verknupfung mit dem durch die Diagonaleinbettung G G G displaystyle G to G times G nbsp definierten Homomorphismus R G G R G displaystyle R G times G to R G nbsp insbesondere eine Multiplikation R G Z R G R G displaystyle R G otimes mathbb Z R G to R G nbsp Ausseres Produkt Bearbeiten Fur jede Darstellung einer Gruppe G displaystyle G nbsp und jede naturliche Zahl n displaystyle n nbsp kann man das n displaystyle n nbsp te aussere Produkt definieren welches wiederum eine Darstellung von G displaystyle G nbsp ist Dies definiert eine Folge von Operationen l n R G R G displaystyle lambda n colon R G to R G nbsp die R G displaystyle R G nbsp zu einem l Ring machen Adams Operationen Bearbeiten Die Adams Operationen PS k R G R G displaystyle Psi k colon R G to R G nbsp auf dem Darstellungsring einer kompakten Gruppe werden durch ihre Wirkung auf Charakteren definiert PS k x g x g k displaystyle Psi k chi g chi g k nbsp Sie definieren Ringhomomorphismen und ihre Wirkung auf d displaystyle d nbsp dimensionalen Darstellungen lasst sich beschreiben durch PS k r N k L 1 r L 2 r L d r displaystyle Psi k rho N k Lambda 1 rho Lambda 2 rho ldots Lambda d rho nbsp wobei L i r displaystyle Lambda i rho nbsp die ausseren Potenzen von r displaystyle rho nbsp sind und N k displaystyle N k nbsp die k displaystyle k nbsp te Potenzsumme als Summe der elementarsymmetrischen Funktionen in d displaystyle d nbsp Variablen ausdruckt Beispiele BearbeitenFur die zyklische Gruppe Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp istR Z n Z Z X X n 1 displaystyle R mathbb Z n mathbb Z mathbb Z left X right X n 1 nbsp dd wobei X displaystyle X nbsp einer 1 dimensionalen Darstellung entspricht die den Erzeuger von Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp auf eine n displaystyle n nbsp te primitive Einheitswurzel abbildet Fur die symmetrische Gruppe S 3 displaystyle S 3 nbsp istR S 3 Z X Y X Y Y X 2 1 Y 2 X Y 1 displaystyle R S 3 mathbb Z left X Y right XY Y X 2 1 Y 2 X Y 1 nbsp dd wobei X displaystyle X nbsp der 1 dimensionalen alternierenden Darstellung und Y displaystyle Y nbsp der 2 dimensionalen irreduziblen Darstellung von S 3 displaystyle S 3 nbsp entspricht Fur die Kreisgruppe S 1 R Z displaystyle S 1 mathbb R mathbb Z nbsp istR S 1 Z X X 1 displaystyle R S 1 mathbb Z left X X 1 right nbsp dd Fur die spezielle unitare Gruppe S U n displaystyle SU n nbsp istR S U n Z X 1 X n X 1 X n 1 displaystyle R SU n mathbb Z left X 1 ldots X n right X 1 ldots X n 1 nbsp dd wobei X i displaystyle X i nbsp der Darstellung entspricht die eine Diagonalmatrix auf ihren i displaystyle i nbsp ten Diagonaleintrag abbildet Darstellungsringe kompakter Gruppen BearbeitenIm Folgenden sei G displaystyle G nbsp eine kompakte z B endliche Gruppe Charaktere und Darstellungsringe Bearbeiten Der Charakter definiert einen Ringhomomorphismus in die Menge aller Klassenfunktionen auf G displaystyle G nbsp mit komplexen Werten x R G C class G a j t j a j x j displaystyle begin aligned chi R G amp to mathbb C text class G sum a j tau j amp mapsto sum a j chi j end aligned nbsp wobei x j displaystyle chi j nbsp die zu t j displaystyle tau j nbsp gehorigen irreduziblen Charaktere sind Fur kompakte Gruppen G displaystyle G nbsp wird eine Darstellung durch ihren Charakter festgelegt demzufolge ist x displaystyle chi nbsp injektiv Die Bilder von x displaystyle chi nbsp heissen virtuelle Charaktere Da die irreduziblen Charaktere eine Orthonormalbasis von C class displaystyle mathbb C text class nbsp bilden induziert x displaystyle chi nbsp einen Isomorphismus x C R G C C class G displaystyle chi mathbb C R G otimes mathbb C longrightarrow mathbb C text class G nbsp indem man die Abbildung auf einer Basis aus reinen Tensoren t j 1 j 1 m displaystyle tau j otimes 1 j 1 dotsc m nbsp definiert durch x C t j 1 x j displaystyle chi mathbb C tau j otimes 1 chi j nbsp bzw x C t j z z x j displaystyle chi mathbb C tau j otimes z z chi j nbsp und dann bilinear fortsetzt Wir schreiben R G displaystyle mathcal R G nbsp fur die Menge aller Charaktere auf G displaystyle G nbsp und R G displaystyle mathcal R G nbsp fur die von R G displaystyle mathcal R G nbsp erzeugte Gruppe d h fur die Menge aller Differenzen von zwei Charakteren Es gilt R G Z x 1 Z x m und R G Im x x R G displaystyle mathcal R G mathbb Z chi 1 oplus cdots oplus mathbb Z chi m text und mathcal R G text Im chi chi R G nbsp Damit gilt also R G R G displaystyle R G cong mathcal R G nbsp also entsprechen sich virtuelle Charaktere und virtuelle Darstellungen in optimaler Weise Da Im x R G displaystyle text Im chi mathcal R G nbsp ist R G displaystyle mathcal R G nbsp die Menge aller virtuellen Charaktere Da das Produkt zweier Charaktere einen Charakter liefert ist R G displaystyle mathcal R G nbsp ein Unterring des Rings C class G displaystyle mathbb C text class G nbsp aller Klassenfunktionen auf G displaystyle G nbsp Da die x i displaystyle chi i nbsp eine Basis von C class G displaystyle mathbb C text class G nbsp bilden erhalten wir wie schon fur R G displaystyle R G nbsp die Isomorphie C R G C class G displaystyle mathbb C otimes mathcal R G cong mathbb C text class G nbsp Einschrankung und Induktion Bearbeiten Sei H displaystyle H nbsp eine Untergruppe von G displaystyle G nbsp so definiert die Einschrankung einen Ringhomomorphismus R G R H ϕ ϕ H displaystyle begin aligned mathcal R G amp to mathcal R H phi amp mapsto phi H end aligned nbsp den wir mit Res H G displaystyle text Res H G nbsp oder Res displaystyle text Res nbsp bezeichnen Ebenso definiert die Induktion auf Klassenfunktionen einen Homomorphismus abelscher Gruppen R H R G displaystyle textstyle mathcal R H to mathcal R G nbsp der mit Ind H G displaystyle text Ind H G nbsp bzw Ind displaystyle text Ind nbsp bezeichnet wird Nach der Frobeniusreziprozitat sind die beiden Homomorphismen adjungiert zueinander bezuglich der bilinearen Formen H displaystyle langle cdot cdot rangle H nbsp und G displaystyle langle cdot cdot rangle G nbsp Weiterhin zeigt die Formel Ind f Res ps Ind f ps displaystyle text Ind varphi cdot text Res psi text Ind varphi cdot psi nbsp dass das Bild von Ind R H R G displaystyle text Ind mathcal R H to mathcal R G nbsp ein Ideal des Ringes R G displaystyle mathcal R G nbsp ist Analog kann man uber die Einschrankung von Darstellungen die Abbildung Res displaystyle text Res nbsp und uber die Induktion die Abbildung Ind displaystyle text Ind nbsp fur R G displaystyle R G nbsp definieren Mit der Frobeniusreziprozitat erhalt man dann dass die Abbildungen adjungiert zueinander sind und dass das Bild Im Ind Ind R H displaystyle text Im text Ind text Ind R H nbsp ein Ideal in R G displaystyle R G nbsp ist Falls A displaystyle A nbsp ein kommutativer Ring ist lassen sich die Homomorphismen Res displaystyle text Res nbsp und Ind displaystyle text Ind nbsp zu A displaystyle A nbsp linearen Abbildungen fortsetzen A Res A R G A R H a a i t i a a i Res t i displaystyle begin aligned A otimes text Res A otimes R G amp to A otimes R H a otimes sum a i tau i amp mapsto a otimes sum a i text Res tau i end aligned nbsp A Ind A R H A R G a a j h j a a j Ind h j displaystyle begin aligned A otimes text Ind A otimes R H amp to A otimes R G a otimes sum a j eta j amp mapsto a otimes sum a j text Ind eta j end aligned nbsp wobei h j displaystyle eta j nbsp die irreduziblen Darstellungen von H displaystyle H nbsp bis auf Isomorphie sind Mit A C displaystyle A mathbb C nbsp erhalten wir insbesondere dass Ind displaystyle text Ind nbsp und Res displaystyle text Res nbsp Homomorphismen zwischen C class G displaystyle mathbb C text class G nbsp und C class H displaystyle mathbb C text class H nbsp liefern Maximale Tori Bearbeiten Fur eine kompakte zusammenhangende Lie Gruppe G displaystyle G nbsp hat man einen durch Einschrankung definierten Isomorphismus R G R T W displaystyle R G simeq R T W nbsp wobei T G displaystyle T subset G nbsp ein maximaler Torus und W displaystyle W nbsp die auf T displaystyle T nbsp wirkende Weyl Gruppe ist Darstellungsring des Produkts kompakter Gruppen Bearbeiten Alle irreduziblen Darstellungen von G 1 G 2 displaystyle G 1 times G 2 nbsp sind genau die Darstellungen h 1 h 2 displaystyle eta 1 otimes eta 2 nbsp fur die h 1 h 2 displaystyle eta 1 eta 2 nbsp irreduzible Darstellungen von G 1 displaystyle G 1 nbsp bzw G 2 displaystyle G 2 nbsp sind Dies ubertragt sich auf den Darstellungsring als Identitat R G 1 G 2 R G 1 Z R G 2 displaystyle R G 1 times G 2 R G 1 otimes mathbb Z R G 2 nbsp Satz von Artin Bearbeiten Hauptartikel Satz von Artin im Artikel Induzierte Darstellung Sei X displaystyle X nbsp eine Familie von Untergruppen einer endlichen Gruppe G displaystyle G nbsp Sei Ind H X R H R G displaystyle text Ind colon bigoplus H in X R H to R G nbsp der Homomorphismus definiert durch die Familie der Ind H G H X displaystyle text Ind H G H in X nbsp Dann sind die folgenden Eigenschaften aquivalent Der Kokern von Ind H X R H R G displaystyle text Ind bigoplus H in X R H to R G nbsp ist endlich G displaystyle G nbsp ist die Vereinigung der Konjugate der zu X displaystyle X nbsp gehorenden Untergruppen also G H X s G s H s 1 displaystyle G bigcup H in X atop s in G sHs 1 nbsp Beziehung zur K Theorie BearbeitenDer Darstellungsring ist isomorph zur algebraischen K Theorie der Gruppenalgebra R G K 0 C G displaystyle R G simeq K 0 mathbb C G nbsp Der Darstellungsring einer kompakten Lie Gruppe ist isomorph zur aquivarianten K Theorie des Punktes R G K G displaystyle R G simeq K G nbsp Literatur BearbeitenJean Pierre Serre Linear Representations of Finite Groups Springer Verlag New York 1977 Graeme Segal The representation ring of a compact Lie group Publications Mathematiques de l Institut des Hautes Etudes Scientifiques January 1968 Volume 34 Issue 1 pp 113 128Weblinks BearbeitenRepresentation Ring nLab Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Darstellungsring amp oldid 231779237
