Frobenius Reziprozität ist ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie Er setzt induzierte Darstel

Frobenius-Reziprozität

Frobenius-Reziprozität ist ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie. Er setzt induzierte Darstellungen und die Einschränkung von Darstellungen miteinander in Beziehung.

Die Frobenius-Reziprozität sagt uns einerseits, dass die Abbildungen und adjungiert zueinander sind. Betrachten wir andererseits mit eine irreduzible Darstellung von und sei eine irreduzible Darstellung von dann erhalten wir mit der Frobenius-Reziprozität außerdem, dass so oft in enthalten ist wie in

Sie ist nach Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Notation Bearbeiten

Mit Hilfe der Einschränkung (engl.: restriction) kann man aus einer Darstellung einer Gruppe eine Darstellung einer Untergruppe erhalten. Umgekehrt kann man aus einer gegebenen Darstellung einer Untergruppe die sogenannte induzierte Darstellung der ganzen Gruppe erhalten.

Für Darstellungen und ihre Charaktere wie auch allgemeiner für Klassenfunktionen ist ein Skalarprodukt definiert. Die allgemeine Form der Frobeniusreziprozität verwendet das Skalarprodukt von Klassenfunktionen.

Frobenius-Reziprozität Bearbeiten

Sei eine endliche Gruppe und eine Untergruppe. Seien Klassenfunktionen, dann gilt

Die Aussage gilt insbesondere für das Skalarprodukt von Charakteren von Darstellungen.

Beweis

Da sich jede Klassenfunktion als Linearkombination irreduzibler Charaktere schreiben lässt, und eine Bilinearform ist, können wir ohne Einschränkung bzw. als Charakter einer irreduziblen Darstellung von in bzw. von in annehmen. Wir setzen für
Dann gilt:

Dabei haben wir nur die Definition der Induktion auf Klassenfunktionen eingesetzt und die Eigenschaften der Charaktere ausgenutzt.

Alternativer Beweis

In der alternativen Beschreibung der induzierten Darstellung über die Gruppenalgebra, ist die Frobeniusreziprozität ein Spezialfall der Gleichung für den Wechsel zwischen Ringen:

Diese Gleichung ist per definitionem äquivalent zu

Und da diese Bilinearform mit der Bilinearform auf den dazugehörigen Charakteren übereinstimmt, folgt der Satz ganz ohne Nachrechnen.

Frobenius-Reziprozität für kompakte Gruppen Bearbeiten

Die Frobenius-Reziprozität überträgt sich mit der modifizierten Definition des Skalarproduktes und der Bilinearform auf kompakte Gruppen, wobei der Satz anstatt für Klassenfunktionen hier für quadratisch integrierbare Funktionen auf gilt und die Untergruppe abgeschlossen sein muss.

Weblinks Bearbeiten

Frobenius reciprocity (nLab)

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 03, 2023, 09:49 am

Frobenius Reziprozitat ist ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie Er setzt induzierte Darstellungen und die Einschrankung von Darstellungen miteinander in Beziehung Die Frobenius Reziprozitat sagt uns einerseits dass die Abbildungen Res displaystyle text Res und Ind displaystyle text Ind adjungiert zueinander sind Betrachten wir andererseits mit W displaystyle W eine irreduzible Darstellung von H displaystyle H und sei V displaystyle V eine irreduzible Darstellung von G displaystyle G dann erhalten wir mit der Frobenius Reziprozitat ausserdem dass W displaystyle W so oft in Res V displaystyle text Res V enthalten ist wie Ind W displaystyle text Ind W in V displaystyle V Sie ist nach Ferdinand Georg Frobenius benannt Inhaltsverzeichnis 1 Notation 2 Frobenius Reziprozitat 3 Frobenius Reziprozitat fur kompakte Gruppen 4 WeblinksNotation BearbeitenMit Hilfe der Einschrankung engl restriction kann man aus einer Darstellung ϕ displaystyle phi nbsp einer Gruppe G displaystyle G nbsp eine Darstellung Res ϕ displaystyle text Res phi nbsp einer Untergruppe H displaystyle H nbsp erhalten Umgekehrt kann man aus einer gegebenen Darstellung ps displaystyle psi nbsp einer Untergruppe H displaystyle H nbsp die sogenannte induzierte Darstellung Ind ps displaystyle text Ind psi nbsp der ganzen Gruppe G displaystyle G nbsp erhalten Fur Darstellungen und ihre Charaktere wie auch allgemeiner fur Klassenfunktionen ist ein Skalarprodukt definiert Die allgemeine Form der Frobeniusreziprozitat verwendet das Skalarprodukt von Klassenfunktionen Frobenius Reziprozitat BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine endliche Gruppe und H G displaystyle H subset G nbsp eine Untergruppe Seien ps C class H displaystyle psi in mathbb C text class H nbsp f C class G displaystyle varphi in mathbb C text class G nbsp Klassenfunktionen dann gilt ps Res f H Ind ps f G displaystyle langle psi text Res varphi rangle H langle text Ind psi varphi rangle G nbsp Die Aussage gilt insbesondere fur das Skalarprodukt von Charakteren von Darstellungen BeweisDa sich jede Klassenfunktion als Linearkombination irreduzibler Charaktere schreiben lasst und displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp eine Bilinearform ist konnen wir ohne Einschrankung ps displaystyle psi nbsp bzw f displaystyle varphi nbsp als Charakter einer irreduziblen Darstellung von H displaystyle H nbsp in W displaystyle W nbsp bzw von G displaystyle G nbsp in V displaystyle V nbsp annehmen Wir setzen ps s 0 displaystyle psi s 0 nbsp fur s G H displaystyle s in G setminus H nbsp Dann gilt Ind ps f G 1 G t G Ind ps t f t 1 1 G t G 1 H s G s 1 t s H ps s 1 t s f t 1 1 G 1 H t G s G ps s 1 t s f s 1 t s 1 1 G 1 H t G s G ps t f t 1 1 H t G ps t f t 1 1 H t H ps t f t 1 1 H t H ps t Res f t 1 ps Res f H displaystyle begin aligned langle text Ind psi varphi rangle G amp frac 1 G sum t in G text Ind psi t varphi t 1 amp frac 1 G sum t in G frac 1 H sum s in G atop s 1 ts in H psi s 1 ts varphi t 1 amp frac 1 G frac 1 H sum t in G sum s in G psi s 1 ts varphi s 1 ts 1 amp frac 1 G frac 1 H sum t in G sum s in G psi t varphi t 1 amp frac 1 H sum t in G psi t varphi t 1 amp frac 1 H sum t in H psi t varphi t 1 amp frac 1 H sum t in H psi t text Res varphi t 1 amp langle psi text Res varphi rangle H end aligned nbsp Dabei haben wir nur die Definition der Induktion auf Klassenfunktionen eingesetzt und die Eigenschaften der Charaktere ausgenutzt displaystyle Box nbsp Alternativer BeweisIn der alternativen Beschreibung der induzierten Darstellung uber die Gruppenalgebra ist die Frobeniusreziprozitat ein Spezialfall der Gleichung fur den Wechsel zwischen Ringen Hom C H W U Hom C G C G C H W U displaystyle text Hom mathbb C H W U text Hom mathbb C G mathbb C G otimes mathbb C H W U nbsp Diese Gleichung ist per definitionem aquivalent zu W Res U H W U H Ind W U G displaystyle langle W text Res U rangle H langle W U rangle H langle text Ind W U rangle G nbsp Und da diese Bilinearform mit der Bilinearform auf den dazugehorigen Charakteren ubereinstimmt folgt der Satz ganz ohne Nachrechnen displaystyle Box nbsp Frobenius Reziprozitat fur kompakte Gruppen BearbeitenDie Frobenius Reziprozitat ubertragt sich mit der modifizierten Definition des Skalarproduktes und der Bilinearform auf kompakte Gruppen wobei der Satz anstatt fur Klassenfunktionen hier fur quadratisch integrierbare Funktionen auf G displaystyle G nbsp gilt und die Untergruppe H displaystyle H nbsp abgeschlossen sein muss Weblinks BearbeitenFrobenius reciprocity nLab Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frobenius Reziprozitat amp oldid 205157497