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Chirale Symmetrie Die von altgriechisch χείρ Hand ist eine mögliche Symmetrie der Lagrangefunktion in der Quantenfeldthe

Chirale Symmetrie

Die Chirale Symmetrie (von altgriechisch χείρ Hand) ist eine mögliche Symmetrie der Lagrangefunktion in der Quantenfeldtheorie, die vielfach – zumindest näherungsweise – gegeben ist und dann eine wichtige Rolle spielt, z. B. bei den Pionen.

Dabei werden linkshändiger und rechtshändiger Anteil der fermionischen Felder unabhängig transformiert. Die chirale Symmetrietransformation kann aufgeteilt werden in eine Komponente, die linkshändigen und rechtshändigen Anteil gleich behandelt (Vektor-Symmetrie), und eine Komponente, die sie „entgegengesetzt“ behandelt (Axiale Symmetrie). Der letztgenannte Anteil verschwindet durch Quark-Kondensation in der erstgenannten Phase.

Beispiel: u- und d-Quarks in der QCD Bearbeiten

Man betrachte die Quantenchromodynamik (QCD) mit den beiden masselosen Quarks u und d. Die Lagrange-Funktion lautet

Das i bedeutet dabei die imaginäre Einheit und den Dirac-Operator in der Feynman-Slash-Notation. Die u und d sind die vierkomponentigen Dirac-Spinoren und der Überstrich bezeichnet die Dirac-Adjungierte.

Nach der Quantenchromodynamik sind die Mesonen aus je einem Quark und einem Antiquark zusammengesetzt, z. B. das aus einem und einem . Das ändert jedoch die folgende Herleitung nicht prinzipiell.

In der Darstellung der linkshändigen und rechtshändigen Spinoren erhält man also zunächst

Es wird definiert

Somit folgt

Die Lagrangefunktion bleibt bei Rotation der mit unitären 2×2-Matrizen L und bei Rotation der mit unitären 2×2-Matrizen R jeweils invariant. Diese Symmetrie der Langrangefunktion wird Flavor-Symmetrie oder Chirale Symmetrie genannt und als notiert. Sie kann in folgende Teilsymmetrien zerlegt werden

Die Vektor-Symmetrie lautet

und entspricht der Baryonenzahl-Erhaltung.

Die entsprechende axiale Operation ist

Sie entspricht keiner Erhaltungsgröße, da sie durch eine Quanten-Anomalie gebrochen wird.

Es stellt sich heraus, dass die verbleibende chirale Symmetrie zur Vektor-Untergruppe (der Isospin-Gruppe) spontan gebrochen wird. Die Symmetriebrechung äußert sich dabei durch ein entsprechendes, vollständiges Quark-Kondensat.

Die Goldstone-Bosonen, die den drei gebrochenen Generatoren der Transformation entsprechen, sind die Pionen. Da die Massen der Quarks nicht gleich sind, ist die nur näherungsweise eine Symmetrie des Systems. Die Pionen sind somit keine „echten“, masselosen Goldstone-Bosonen, sondern sog. Pseudo-Goldstone-Bosonen.

Chiraler Limes Bearbeiten

Von der „chiralen Symmetrie“ zu unterscheiden ist der „chirale Limes“ () einer einzelnen Dirac-Gleichung. Dieser Limes ist am besten bei Neutrinos bzw. ihren Antiteilchen mit ihrer wohldefinierten Chiralität realisiert:

  • „Linksschraube“ bzgl. Spin und Impuls bei Neutrinos:
  • „Rechtsschraube“ bzgl. Spin und Impuls bei Antineutrinos:

sowie in Festkörpern bei den Graphenen.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Die Chirale Symmetrie von altgriechisch xeir Hand ist eine mogliche Symmetrie der Lagrangefunktion in der Quantenfeldtheorie die vielfach zumindest naherungsweise gegeben ist und dann eine wichtige Rolle spielt z B bei den Pionen Dabei werden linkshandiger und rechtshandiger Anteil der fermionischen Felder unabhangig transformiert Die chirale Symmetrietransformation kann aufgeteilt werden in eine Komponente die linkshandigen und rechtshandigen Anteil gleich behandelt Vektor Symmetrie und eine Komponente die sie entgegengesetzt behandelt Axiale Symmetrie Der letztgenannte Anteil verschwindet durch Quark Kondensation in der erstgenannten Phase Inhaltsverzeichnis 1 Beispiel u und d Quarks in der QCD 2 Chiraler Limes 3 Siehe auch 4 WeblinksBeispiel u und d Quarks in der QCD BearbeitenMan betrachte die Quantenchromodynamik QCD mit den beiden masselosen Quarks u und d Die Lagrange Funktion lautet L u i D u d i D d L Gluonen displaystyle mathcal L overline u i displaystyle not D u overline d i displaystyle not D d mathcal L text Gluonen nbsp Das i bedeutet dabei die imaginare Einheit und D displaystyle displaystyle not D nbsp den Dirac Operator in der Feynman Slash Notation Die u und d sind die vierkomponentigen Dirac Spinoren und der Uberstrich bezeichnet die Dirac Adjungierte Nach der Quantenchromodynamik sind die Mesonen aus je einem Quark und einem Antiquark zusammengesetzt z B das p displaystyle pi nbsp aus einem u displaystyle u nbsp und einem d displaystyle overline d nbsp Das andert jedoch die folgende Herleitung nicht prinzipiell In der Darstellung der linkshandigen und rechtshandigen Spinoren erhalt man also zunachst L u L i D u L u R i D u R d L i D d L d R i D d R L Gluonen displaystyle mathcal L overline u L i displaystyle not D u L overline u R i displaystyle not D u R overline d L i displaystyle not D d L overline d R i displaystyle not D d R mathcal L text Gluonen nbsp Es wird definiert q u d displaystyle q begin bmatrix u d end bmatrix nbsp Somit folgt L q L i D q L q R i D q R L Gluonen displaystyle mathcal L overline q L i displaystyle not D q L overline q R i displaystyle not D q R mathcal L text Gluonen nbsp Die Lagrangefunktion bleibt bei Rotation der q L displaystyle q L nbsp mit unitaren 2 2 Matrizen L und bei Rotation der q R displaystyle q R nbsp mit unitaren 2 2 Matrizen R jeweils invariant Diese Symmetrie der Langrangefunktion wird Flavor Symmetrie oder Chirale Symmetrie genannt und als U 2 L U 2 R displaystyle U 2 L times U 2 R nbsp notiert Sie kann in folgende Teilsymmetrien zerlegt werden S U 2 L S U 2 R U 1 V U 1 A displaystyle SU 2 L times SU 2 R times U 1 V times U 1 A nbsp Die Vektor Symmetrie U 1 V displaystyle U 1 V nbsp lautet q L e i 8 q L q R e i 8 q R displaystyle q L rightarrow e i theta q L qquad q R rightarrow e i theta q R nbsp und entspricht der Baryonenzahl Erhaltung Die entsprechende axiale Operation U 1 A displaystyle U 1 A nbsp ist q L e i 8 q L q R e i 8 q R displaystyle q L rightarrow e i theta q L qquad q R rightarrow e i theta q R nbsp Sie entspricht keiner Erhaltungsgrosse da sie durch eine Quanten Anomalie gebrochen wird Es stellt sich heraus dass die verbleibende chirale Symmetrie S U 2 L S U 2 R displaystyle SU 2 L times SU 2 R nbsp zur Vektor Untergruppe S U 2 V displaystyle SU 2 V nbsp der Isospin Gruppe spontan gebrochen wird Die Symmetriebrechung aussert sich dabei durch ein entsprechendes vollstandiges Quark Kondensat Die Goldstone Bosonen die den drei gebrochenen Generatoren der Transformation entsprechen sind die Pionen Da die Massen der Quarks nicht gleich sind ist die S U 2 L S U 2 R displaystyle SU 2 L times SU 2 R nbsp nur naherungsweise eine Symmetrie des Systems Die Pionen sind somit keine echten masselosen Goldstone Bosonen sondern sog Pseudo Goldstone Bosonen Chiraler Limes BearbeitenVon der chiralen Symmetrie zu unterscheiden ist der chirale Limes m 0 displaystyle m to 0 nbsp einer einzelnen Dirac Gleichung Dieser Limes ist am besten bei Neutrinos bzw ihren Antiteilchen mit ihrer wohldefinierten Chiralitat realisiert Linksschraube bzgl Spin s displaystyle vec s nbsp und Impuls p displaystyle vec p nbsp bei Neutrinos s p displaystyle vec s propto vec p nbsp Rechtsschraube bzgl Spin und Impuls bei Antineutrinos s p displaystyle vec s propto vec p nbsp sowie in Festkorpern bei den Graphenen Siehe auch BearbeitenSpontane SymmetriebrechungWeblinks BearbeitenStarke Kraft zwischen rechts und links Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Chirale Symmetrie amp oldid 230125875